💡 9. Sınıf Matematik: Üçgenin açı ve kenar özellikleri Çözümlü Örnekler

Üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \)dir. Bu özelliği kullanarak \( \hat{C} \) açısını bulabiliriz.

• Verilen açıları toplarız: \( 70^\circ + 50^\circ = 120^\circ \).
• Toplam açıdan bu toplamı çıkarırız: \( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).

Sonuç olarak, \( \hat{C} = 60^\circ \) bulunur. ✅

İkizkenar üçgenlerde taban açıları birbirine eşittir.

• Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \)dir. Tepe açısı \( 40^\circ \) ise, geriye kalan \( 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \) taban açılarına aittir.
• Bu \( 140^\circ \)luk kısım iki eşit taban açısına bölüneceği için, bir taban açısı \( \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ \) olur.

Dolayısıyla, taban açılarından biri \( 70^\circ \)dir. 👉

Bir üçgende büyük açı, büyük kenarın karşısındadır ve küçük açı, küçük kenarın karşısındadır.

• Kenar uzunlukları \( 5 < 7 < 9 \) şeklindedir.
• Bu durum, bu kenarların karşısındaki açıların da aynı sırayla küçükten büyüğe sıralanacağı anlamına gelir.
• Yani, \( a \) kenarının karşısındaki \( \hat{A} \) açısı en küçüktür, \( b \) kenarının karşısındaki \( \hat{B} \) açısı ortanca, \( c \) kenarının karşısındaki \( \hat{C} \) açısı ise en büyüktür.

Kenar uzunluklarına göre sıralama: \( a < b < c \). Açılara göre sıralama: \( \hat{A} < \hat{B} < \hat{C} \). 📌

Bu soruda Pisagor teoreminin tersini düşünebiliriz. Eğer bir üçgende en uzun kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamına eşitse, bu üçgen dik üçgendir ve en uzun kenarın karşısındaki açı \( 90^\circ \)dır.

• En uzun kenar \( 17 \) cm'dir.
• Diğer iki kenarın kareleri toplamı: \( 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 \).
• En uzun kenarın karesi: \( 17^2 = 289 \).
• Kareler toplamı en uzun kenarın karesine eşit olduğu için (\( 289 = 289 \)), bu bir dik üçgendir.

En uzun kenarın (\( 17 \) cm) karşısındaki açı \( 90^\circ \)dır. Bu, üçgenin en büyük açısıdır. ✅

Bu soruda üçgen eşitsizliğini ve açı-kenar ilişkisini kullanacağız. Oyuncunun pozisyonu ve iki kale direği bir üçgen oluşturur.

• Üçgenin kenarları \( 7.32 \) m, \( 20 \) m ve \( 22 \) m olacaktır.
• En uzun kenar \( 22 \) m'dir. Bu kenarın karşısındaki açı, oyuncunun bulunduğu açı olacaktır.
• Eğer \( 20^2 + 7.32^2 < 22^2 \) ise, bu açı geniş açıdır.
• Hesaplayalım: \( 20^2 = 400 \), \( 7.32^2 \approx 53.58 \), \( 22^2 = 484 \).
• \( 400 + 53.58 = 453.58 \).
• Karşılaştırma: \( 453.58 < 484 \).

Bu durum, \( 22 \) metrelik kenarın karşısındaki açının geniş açı olduğunu gösterir. Yani oyuncunun bulunduğu pozisyon ile kale direkleri arasındaki açı geniş açıdır. 🤯

Burada kosinüs teoremini kullanmamız gerekecek, ancak 9. sınıf müfredatında kosinüs teoremi henüz işlenmediği için, bu soruyu sadece açı-kenar ilişkisi ve sezgisel olarak ele alacağız. Geniş açı karşısındaki kenarın daha uzun olacağını biliyoruz.

• Üçgenin iki kenarı \( 6 \) m ve \( 8 \) m'dir.
• Bu iki kenarın arasındaki açı \( 120^\circ \) gibi geniş bir açıdır.
• Büyük bir açı, karşısındaki kenarın da büyük olmasını sağlar.
• Eğer bu açı \( 90^\circ \) olsaydı, Pisagor teoreminden \( c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \Rightarrow c = 10 \) metre olurdu.
• Ancak açı \( 120^\circ \) olduğu için, üçüncü kenar \( 10 \) metreden daha uzun olacaktır.

Bu nedenle, çatı makasının en alt noktasının uzunluğu 10 metreden daha fazla olmalıdır. (Kesin hesap için kosinüs teoremi gerekir, ancak müfredat dışı olduğu için bu şekilde bırakıyoruz.) 📏

Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \)dir.

• \( \hat{A} \) ve \( \hat{B} \) açılarını toplarız: \( 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ \).
• \( \hat{C} \) açısını bulmak için toplamdan bu toplamı çıkarırız: \( 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \).
• Yani, \( \hat{C} = 45^\circ \).
• Bu durumda, \( \hat{B} = \hat{C} = 45^\circ \) olur.

Eşit açılara sahip üçgenler ikizkenar üçgenlerdir. Bu nedenle, \( \hat{B} \) ve \( \hat{C} \) açılarının karşısındaki kenarlar da eşit uzunlukta olacaktır. Yani, \( b = c \) olur. Bu üçgen bir ikizkenar dik üçgendir. ✅

Bir üçgende kenar uzunlukları ile karşısındaki açıların büyüklükleri doğru orantılıdır. En uzun kenarın karşısındaki açı en büyüktür, en kısa kenarın karşısındaki açı ise en küçüktür.

• Kenar uzunluklarını küçükten büyüğe sıralayalım: \( a = 10 \) cm, \( b = 12 \) cm, \( c = 15 \) cm.
• Bu sıralama \( 10 < 12 < 15 \) şeklindedir.
• Dolayısıyla, en kısa kenar \( a \) olduğu için, onun karşısındaki \( \hat{A} \) açısı en küçüktür.
• En uzun kenar \( c \) olduğu için, onun karşısındaki \( \hat{C} \) açısı en büyüktür.
• Ortanca kenar \( b \) olduğu için, onun karşısındaki \( \hat{B} \) açısı ortanca büyüklüktedir.

Sonuç olarak: En küçük açı \( \hat{A} \), en büyük açı \( \hat{C} \)'dir. 👉