🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgenden Hareketle Ona Benzer Üçgen Oluşturma Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgenden Hareketle Ona Benzer Üçgen Oluşturma Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
📌 Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni verilmiştir.
A açısının ölçüsü \( 60^\circ \), B açısının ölçüsü \( 40^\circ \)dir.
D açısının ölçüsü \( 60^\circ \), E açısının ölçüsü \( 40^\circ \)dir.
Kenar uzunlukları ise \( |AB| = 6 \) cm, \( |BC| = 8 \) cm ve \( |DE| = 9 \) cm olarak verilmiştir.
Buna göre, \( |EF| \) uzunluğu kaç cm'dir?
A açısının ölçüsü \( 60^\circ \), B açısının ölçüsü \( 40^\circ \)dir.
D açısının ölçüsü \( 60^\circ \), E açısının ölçüsü \( 40^\circ \)dir.
Kenar uzunlukları ise \( |AB| = 6 \) cm, \( |BC| = 8 \) cm ve \( |DE| = 9 \) cm olarak verilmiştir.
Buna göre, \( |EF| \) uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
Bu problemi çözmek için Açı-Açı (AA) Benzerlik Teoremi'ni kullanacağız.
Sonuç olarak, \( |EF| \) uzunluğu 12 cm'dir. ✅
- 👉 Öncelikle verilen açıları kontrol edelim:
\( m(\angle A) = m(\angle D) = 60^\circ \)
\( m(\angle B) = m(\angle E) = 40^\circ \) - ✅ İki üçgenin ikişer açısı eşit olduğu için, bu üçgenler benzerdir. Yani, \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) yazabiliriz.
- 💡 Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir. Bu orana benzerlik oranı denir. Karşılıklı kenarları belirlerken, eşit açıların karşısındaki kenarları eşleştirmeliyiz.
A açısının karşısında \( |BC| \), D açısının karşısında \( |EF| \) vardır.
B açısının karşısında \( |AC| \), E açısının karşısında \( |DF| \) vardır.
C açısının karşısında \( |AB| \), F açısının karşısında \( |DE| \) vardır. (C ve F açıları da \( 180 - (60+40) = 80^\circ \) olacağı için eşittir.) - Hesaplamayı yapalım:
\( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{|AC|}{|DF|} \)
Verilen değerleri yerine yazalım:
\[ \frac{6}{9} = \frac{8}{|EF|} \] - Denklemi çözelim:
Kesri sadeleştirelim: \( \frac{2}{3} = \frac{8}{|EF|} \)
İçler dışlar çarpımı yaparak \( |EF| \) uzunluğunu bulalım:
\( 2 \times |EF| = 3 \times 8 \)
\( 2 \times |EF| = 24 \)
\( |EF| = \frac{24}{2} \)
\( |EF| = 12 \) cm
Sonuç olarak, \( |EF| \) uzunluğu 12 cm'dir. ✅
Örnek 2:
📐 Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 6 \) cm, \( |AC| = 9 \) cm ve \( m(\angle A) = 50^\circ \) olarak verilmiştir.
Başka bir DEF üçgeninde ise \( |DE| = 4 \) cm, \( |DF| = 6 \) cm ve \( m(\angle D) = 50^\circ \) olarak verilmiştir.
Bu iki üçgen benzer midir? Eğer benzerlerse, benzerlik oranı kaçtır?
Başka bir DEF üçgeninde ise \( |DE| = 4 \) cm, \( |DF| = 6 \) cm ve \( m(\angle D) = 50^\circ \) olarak verilmiştir.
Bu iki üçgen benzer midir? Eğer benzerlerse, benzerlik oranı kaçtır?
Çözüm:
Bu problemi çözmek için Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Teoremi'ni kullanacağız.
Sonuç olarak, bu iki üçgen benzerdir ve benzerlik oranı \( \frac{3}{2} \)'dir. ✅
- 👉 KAK Benzerlik Teoremi'ne göre, iki üçgenin karşılıklı iki kenarının oranları eşit ve bu kenarlar arasındaki açılar da eşitse, bu üçgenler benzerdir.
- Öncelikle verilen açıları kontrol edelim:
\( m(\angle A) = m(\angle D) = 50^\circ \)
Açıların eşit olduğunu gördük. Şimdi bu açıları oluşturan kenarların oranlarını kontrol edelim. - Kenarların oranlarını bulalım:
Birinci oran: \( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)
İkinci oran: \( \frac{|AC|}{|DF|} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \) - ✅ Gördüğümüz gibi, \( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|AC|}{|DF|} = \frac{3}{2} \) ve aralarındaki açılar da eşit (\( m(\angle A) = m(\angle D) \)).
Bu şartlar sağlandığı için, \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) şeklinde bu iki üçgen benzerdir. - 💡 Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranına eşittir.
Benzerlik oranı \( k = \frac{3}{2} \) veya \( k = \frac{2}{3} \) olarak ifade edilebilir, hangi üçgenin diğerine oranlandığına bağlıdır. Genellikle büyük üçgenin küçük üçgene oranı tercih edilir.
Sonuç olarak, bu iki üçgen benzerdir ve benzerlik oranı \( \frac{3}{2} \)'dir. ✅
Örnek 3:
📏 Bir XYZ üçgeninin kenar uzunlukları \( |XY| = 5 \) cm, \( |YZ| = 7 \) cm ve \( |ZX| = 9 \) cm'dir.
Başka bir PQR üçgeninin kenar uzunlukları ise \( |PQ| = 10 \) cm, \( |QR| = 14 \) cm ve \( |RP| = 18 \) cm'dir.
Bu iki üçgen benzer midir? Eğer benzerlerse, benzerlik oranı kaçtır?
Başka bir PQR üçgeninin kenar uzunlukları ise \( |PQ| = 10 \) cm, \( |QR| = 14 \) cm ve \( |RP| = 18 \) cm'dir.
Bu iki üçgen benzer midir? Eğer benzerlerse, benzerlik oranı kaçtır?
Çözüm:
Bu problemi çözmek için Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Teoremi'ni kullanacağız.
Sonuç olarak, bu iki üçgen benzerdir ve benzerlik oranı \( \frac{1}{2} \)'dir. ✅
- 👉 KKK Benzerlik Teoremi'ne göre, iki üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ise, bu üçgenler benzerdir.
- Öncelikle karşılıklı kenarların oranlarını bulalım. Kenarları küçükten büyüğe doğru sıralayarak eşleştirmek genellikle kolaylık sağlar.
\( \triangle XYZ \) kenarları: 5, 7, 9
\( \triangle PQR \) kenarları: 10, 14, 18 - Kenarların oranlarını hesaplayalım:
En kısa kenarların oranı: \( \frac{|XY|}{|PQ|} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
Ortanca kenarların oranı: \( \frac{|YZ|}{|QR|} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \)
En uzun kenarların oranı: \( \frac{|ZX|}{|RP|} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} \) - ✅ Gördüğümüz gibi, karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir: \( \frac{1}{2} \).
Bu şart sağlandığı için, \( \triangle XYZ \sim \triangle PQR \) şeklinde bu iki üçgen benzerdir. - 💡 Benzerlik oranı, bu eşit olan kenar oranlarına eşittir.
Benzerlik oranı \( k = \frac{1}{2} \) dir.
Sonuç olarak, bu iki üçgen benzerdir ve benzerlik oranı \( \frac{1}{2} \)'dir. ✅
Örnek 4:
📏 Bir ABC üçgeninde, BC kenarına paralel olan bir DE doğrusu, AB kenarını D noktasında, AC kenarını E noktasında kesmektedir.
\( |AD| = 3 \) cm, \( |DB| = 6 \) cm ve \( |AE| = 4 \) cm olduğuna göre, \( |EC| \) uzunluğu kaç cm'dir?
\( |AD| = 3 \) cm, \( |DB| = 6 \) cm ve \( |AE| = 4 \) cm olduğuna göre, \( |EC| \) uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
Bu problemi çözmek için Temel Orantı Teoremi'ni (Tales Teoremi'nin özel bir durumu) kullanacağız.
Sonuç olarak, \( |EC| \) uzunluğu 8 cm'dir. ✅
- 👉 Temel Orantı Teoremi'ne göre, bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı orantılı parçalara ayırır.
Yani, eğer \( DE \parallel BC \) ise, o zaman \( \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \) olur. - Verilen değerleri formülde yerine yazalım:
\( |AD| = 3 \) cm
\( |DB| = 6 \) cm
\( |AE| = 4 \) cm
\( |EC| = ? \)
\[ \frac{3}{6} = \frac{4}{|EC|} \] - Denklemi çözelim:
Kesri sadeleştirelim: \( \frac{1}{2} = \frac{4}{|EC|} \)
İçler dışlar çarpımı yaparak \( |EC| \) uzunluğunu bulalım:
\( 1 \times |EC| = 2 \times 4 \)
\( |EC| = 8 \) cm
Sonuç olarak, \( |EC| \) uzunluğu 8 cm'dir. ✅
Örnek 5:
📐 Bir ABC üçgeninde, BC kenarına paralel olan DE doğru parçası çizilmiştir. D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası AC kenarı üzerindedir.
Verilen uzunluklar: \( |AD| = x \) cm, \( |DB| = 4 \) cm, \( |AE| = 6 \) cm ve \( |EC| = x+2 \) cm.
Buna göre, \( x \) kaçtır?
Verilen uzunluklar: \( |AD| = x \) cm, \( |DB| = 4 \) cm, \( |AE| = 6 \) cm ve \( |EC| = x+2 \) cm.
Buna göre, \( x \) kaçtır?
Çözüm:
Bu problemi çözmek için yine Temel Orantı Teoremi'ni kullanacağız.
Sonuç olarak, \( x \) değeri 4'tür. ✅
- 👉 \( DE \parallel BC \) olduğu için, Temel Orantı Teoremi'ne göre kenarlar orantılıdır:
\( \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \) - Verilen cebirsel ifadeleri formülde yerine yazalım:
\[ \frac{x}{4} = \frac{6}{x+2} \] - Denklemi çözelim. İçler dışlar çarpımı yapalım:
\( x \times (x+2) = 4 \times 6 \)
\( x^2 + 2x = 24 \) - Denklemi düzenleyip ikinci dereceden bir denklem elde edelim:
\( x^2 + 2x - 24 = 0 \) - Bu denklemi çarpanlarına ayırarak çözelim. Çarpımları \( -24 \), toplamları \( +2 \) olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar \( +6 \) ve \( -4 \)tür.
\( (x+6)(x-4) = 0 \) - Bu denklemin iki olası çözümü vardır:
\( x+6 = 0 \implies x = -6 \)
\( x-4 = 0 \implies x = 4 \) - 💡 Uzunluk negatif olamayacağı için \( x = -6 \) değeri geçersizdir.
Bu nedenle, \( x = 4 \) olmalıdır.
Sonuç olarak, \( x \) değeri 4'tür. ✅
Örnek 6:
💡 Bir ağacın boyunu bulmak isteyen Ali, ağacın gölgesi ile kendi gölgesinin uçlarının aynı noktaya düştüğünü fark ediyor.
Ali'nin boyu 1.8 metre ve Ali'nin gölgesinin boyu 2.4 metredir. Ağacın gölgesinin boyu ise 12 metredir.
Buna göre, ağacın boyu kaç metredir? (Ali ve ağacın yere dik olduğu kabul edilecektir.)
Ali'nin boyu 1.8 metre ve Ali'nin gölgesinin boyu 2.4 metredir. Ağacın gölgesinin boyu ise 12 metredir.
Buna göre, ağacın boyu kaç metredir? (Ali ve ağacın yere dik olduğu kabul edilecektir.)
Çözüm:
Bu problemde, benzer üçgenler oluşturarak ağacın boyunu hesaplayabiliriz. Güneş ışınları paralel geldiği için, Ali'nin ve ağacın oluşturduğu gölgeler benzer dik üçgenler meydana getirir.
Sonuç olarak, ağacın boyu 9 metredir. ✅
- 👉 Ali ve ağaç yere dik durduğu için, yer ile \( 90^\circ \) açı yaparlar.
Güneş ışınları her iki durumda da aynı açıyla geldiği için, Ali'nin başının tepesiyle gölgesinin ucu arasındaki çizgi ile ağacın tepesiyle gölgesinin ucu arasındaki çizgi, yerle aynı açıyı yapar.
Bu durumda, Açı-Açı (AA) Benzerlik Teoremi'ne göre iki dik üçgen benzerdir. - Birinci üçgen: Ali'nin boyu, Ali'nin gölgesi ve Ali'nin başından gölgesinin ucuna çizilen hipotenüs.
İkinci üçgen: Ağacın boyu, ağacın gölgesi ve ağacın tepesinden gölgesinin ucuna çizilen hipotenüs. - Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir:
\( \frac{\text{Ali'nin boyu}}{\text{Ağacın boyu}} = \frac{\text{Ali'nin gölgesinin boyu}}{\text{Ağacın gölgesinin boyu}} \) - Verilen değerleri yerine yazalım:
Ali'nin boyu = \( 1.8 \) m
Ali'nin gölgesinin boyu = \( 2.4 \) m
Ağacın gölgesinin boyu = \( 12 \) m
Ağacın boyu = \( x \) m (aradığımız değer)
\[ \frac{1.8}{x} = \frac{2.4}{12} \] - Denklemi çözelim:
Önce sağ tarafı sadeleştirelim: \( \frac{2.4}{12} = \frac{24}{120} = \frac{1}{5} \)
Şimdi denklem şu hale gelir:
\( \frac{1.8}{x} = \frac{1}{5} \)
İçler dışlar çarpımı yapalım:
\( 1 \times x = 1.8 \times 5 \)
\( x = 9 \)
Sonuç olarak, ağacın boyu 9 metredir. ✅
Örnek 7:
🪞 Elif, bir ağacın boyunu ölçmek için yere bir ayna koyar. Aynadan ağacın tepesini görecek şekilde aynadan 2 metre uzaklıkta durur.
Elif'in göz hizasının yerden yüksekliği 1.6 metredir. Aynanın ağaca olan uzaklığı ise 8 metredir.
Buna göre, ağacın boyu kaç metredir? (Elif ve ağacın yere dik olduğu, aynanın yansıtma açısının gelen açıya eşit olduğu varsayılacaktır.)
Elif'in göz hizasının yerden yüksekliği 1.6 metredir. Aynanın ağaca olan uzaklığı ise 8 metredir.
Buna göre, ağacın boyu kaç metredir? (Elif ve ağacın yere dik olduğu, aynanın yansıtma açısının gelen açıya eşit olduğu varsayılacaktır.)
Çözüm:
Bu problemde, ışığın yansıması prensibi ve benzer üçgenler kullanarak ağacın boyunu hesaplayabiliriz. Aynaya gelen ışın ile yansıyan ışın arasındaki açılar (gelen açı = yansıyan açı) eşit olduğu için benzer üçgenler oluşur.
Sonuç olarak, ağacın boyu 6.4 metredir. ✅
- 👉 Elif ve ağaç yere dik olduğu için, yer ile \( 90^\circ \) açı yaparlar.
Aynadan yansıyan ışığın gelen açısı ile yansıyan açısı eşit olduğu için, Elif'in gözünden aynaya gelen ışın ile ağacın tepesinden aynaya gelen ışın, ayna düzlemiyle eşit açılar yapar. Bu da iki dik üçgenin benzer olmasını sağlar (Açı-Açı (AA) Benzerlik Teoremi). - Birinci üçgen: Elif'in göz hizası, Elif'in aynaya uzaklığı ve Elif'in gözünden aynadaki yansıma noktasına olan çizgi.
İkinci üçgen: Ağacın boyu, aynanın ağaca uzaklığı ve ağacın tepesinden aynadaki yansıma noktasına olan çizgi. - Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir:
\( \frac{\text{Elif'in göz hizası}}{\text{Ağacın boyu}} = \frac{\text{Elif'in aynaya uzaklığı}}{\text{Aynanın ağaca uzaklığı}} \) - Verilen değerleri yerine yazalım:
Elif'in göz hizası = \( 1.6 \) m
Elif'in aynaya uzaklığı = \( 2 \) m
Aynanın ağaca uzaklığı = \( 8 \) m
Ağacın boyu = \( x \) m (aradığımız değer)
\[ \frac{1.6}{x} = \frac{2}{8} \] - Denklemi çözelim:
Önce sağ tarafı sadeleştirelim: \( \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \)
Şimdi denklem şu hale gelir:
\( \frac{1.6}{x} = \frac{1}{4} \)
İçler dışlar çarpımı yapalım:
\( 1 \times x = 1.6 \times 4 \)
\( x = 6.4 \)
Sonuç olarak, ağacın boyu 6.4 metredir. ✅
Örnek 8:
trapezium AB // DC olan bir ABCD yamuğunda, köşegenler K noktasında kesişmektedir.
\( |AB| = 12 \) cm ve \( |DC| = 4 \) cm'dir.
\( |AK| = 9 \) cm olduğuna göre, \( |KC| \) uzunluğu kaç cm'dir?
\( |AB| = 12 \) cm ve \( |DC| = 4 \) cm'dir.
\( |AK| = 9 \) cm olduğuna göre, \( |KC| \) uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
Bu problemde, köşegenlerin kesişimiyle oluşan üçgenlerin benzerliğini kullanarak \( |KC| \) uzunluğunu bulacağız.
Sonuç olarak, \( |KC| \) uzunluğu 3 cm'dir. ✅
- 👉 Yamukta \( AB \parallel DC \) olduğu için, paralellikten dolayı bazı açılar eşit olacaktır.
\( \triangle ABK \) ve \( \triangle CDK \) üçgenlerine odaklanalım. - Açıları inceleyelim:
1. \( \angle AKB \) ve \( \angle CKD \) açıları ters açılardır, dolayısıyla birbirine eşittirler. \( m(\angle AKB) = m(\angle CKD) \).
2. \( AB \parallel DC \) olduğu için, \( \angle BAK \) ve \( \angle DCK \) açıları iç ters açılardır, dolayısıyla birbirine eşittirler. \( m(\angle BAK) = m(\angle DCK) \).
(Aynı şekilde, \( \angle ABK \) ve \( \angle CDK \) açıları da iç ters açılardır ve eşittirler.) - ✅ İki üçgenin ikişer açısı eşit olduğu için (Hatta üç açısı da eşit), Açı-Açı (AA) Benzerlik Teoremi'ne göre \( \triangle ABK \sim \triangle CDK \) üçgenleri benzerdir.
- Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir. Eşit açıların karşısındaki kenarları eşleştirelim:
\( \frac{|AB|}{|CD|} = \frac{|AK|}{|CK|} = \frac{|BK|}{|DK|} \) - Verilen değerleri bu orantıda yerine yazalım:
\( |AB| = 12 \) cm
\( |CD| = 4 \) cm
\( |AK| = 9 \) cm
\( |KC| = ? \) (Bu, \( |CK| \) ile aynıdır.)
\[ \frac{12}{4} = \frac{9}{|KC|} \] - Denklemi çözelim:
Sol tarafı sadeleştirelim: \( \frac{12}{4} = 3 \)
Şimdi denklem şu hale gelir:
\( 3 = \frac{9}{|KC|} \)
İçler dışlar çarpımı yapalım:
\( 3 \times |KC| = 9 \)
\( |KC| = \frac{9}{3} \)
\( |KC| = 3 \) cm
Sonuç olarak, \( |KC| \) uzunluğu 3 cm'dir. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgenden-hareketle-ona-benzer-ucgen-olusturma/sorular