📄 9. Sınıf Matematik: Üçgenden Hareketle Ona Benzer Üçgen Oluşturma Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Verilen \(\triangle ABC\) üçgeninin kenar uzunlukları \(AB = 6\) cm, \(BC = 9\) cm ve \(AC = 12\) cm'dir. En kısa kenar \(AB = 6\) cm'dir.
\(\triangle DEF\) üçgeni \(\triangle ABC\) üçgenine benzerdir ve en kısa kenarı \(DE = 4\) cm'dir.
Bu durumda, karşılıklı kenarlar orantılı olacağından, en kısa kenarları eşleştirmeliyiz: \(AB\) kenarı \(DE\) kenarına karşılık gelir.
Benzerlik oranı \(k = \frac{DE}{AB} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\) olur.
Şimdi diğer kenarları bulalım:
\(EF\) kenarı \(BC\) kenarına karşılık gelir: \(\frac{EF}{BC} = k \Rightarrow \frac{EF}{9} = \frac{2}{3}\).
İçler dışlar çarpımı yaparak \(3 \cdot EF = 2 \cdot 9 \Rightarrow 3 \cdot EF = 18 \Rightarrow EF = 6\) cm bulunur.
\(DF\) kenarı \(AC\) kenarına karşılık gelir: \(\frac{DF}{AC} = k \Rightarrow \frac{DF}{12} = \frac{2}{3}\).
İçler dışlar çarpımı yaparak \(3 \cdot DF = 2 \cdot 12 \Rightarrow 3 \cdot DF = 24 \Rightarrow DF = 8\) cm bulunur.
Sonuç olarak, \(\triangle DEF\) üçgeninin kenar uzunlukları \(DE = 4\) cm, \(EF = 6\) cm ve \(DF = 8\) cm'dir.

💡 Çözüm Adımları:

Verilen bilgilere göre, \(AD = 3\) cm, \(DB = 6\) cm, \(AE = 4\) cm, \(EC = 8\) cm ve \(DE = 5\) cm'dir.
Öncelikle \(AB\) ve \(AC\) kenarlarının toplam uzunluklarını bulalım:
\(AB = AD + DB = 3 + 6 = 9\) cm.
\(AC = AE + EC = 4 + 8 = 12\) cm.
Şimdi \(\triangle ADE\) ve \(\triangle ABC\) üçgenleri arasındaki kenar oranlarına bakalım:
\(\frac{AD}{AB} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\).
\(\frac{AE}{AC} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\).
Görüldüğü gibi, \(AD\) kenarının \(AB\) kenarına oranı ile \(AE\) kenarının \(AC\) kenarına oranı birbirine eşittir (\(\frac{1}{3}\)).
Ayrıca, \(\angle A\) açısı her iki üçgende de ortak açıdır.
Bu durumda, Kenar-Açı-Kenar (KAK) benzerlik kuralına göre \(\triangle ADE \sim \triangle ABC\) (\(\triangle ADE\) üçgeni \(\triangle ABC\) üçgenine benzerdir).
Benzerlik oranı \(k = \frac{1}{3}\) olduğundan, diğer karşılıklı kenarların oranı da bu orana eşit olmalıdır:
\(\frac{DE}{BC} = k \Rightarrow \frac{5}{BC} = \frac{1}{3}\).
İçler dışlar çarpımı yaparak \(1 \cdot BC = 5 \cdot 3 \Rightarrow BC = 15\) cm bulunur.
Sonuç olarak, \(BC\) kenarının uzunluğu \(15\) cm'dir.

💡 Çözüm Adımları:

\(\triangle XYZ\) üçgeninin açıları:
\(m(\hat{X}) = 40^\circ\)
\(m(\hat{Y}) = 80^\circ\)
Üçüncü açısı \(m(\hat{Z}) = 180^\circ - (40^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\).
\(\triangle PRQ\) üçgeninin açıları:
\(m(\hat{P}) = 40^\circ\)
\(m(\hat{R}) = 60^\circ\)
Üçüncü açısı \(m(\hat{Q}) = 180^\circ - (40^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\).
Şimdi iki üçgenin açılarını karşılaştıralım:
\(m(\hat{X}) = 40^\circ\) ve \(m(\hat{P}) = 40^\circ\) (Eşit)
\(m(\hat{Y}) = 80^\circ\) ve \(m(\hat{Q}) = 80^\circ\) (Eşit)
\(m(\hat{Z}) = 60^\circ\) ve \(m(\hat{R}) = 60^\circ\) (Eşit)
Her iki üçgenin de karşılıklı tüm açıları birbirine eşit olduğu için, Açı-Açı (AA) benzerlik kuralına göre \(\triangle XYZ \sim \triangle PQR\) (\(\triangle XYZ\) üçgeni \(\triangle PQR\) üçgenine benzerdir). Dikkat: Köşeleri doğru eşleştirmek önemlidir. X'e P, Y'ye Q, Z'ye R karşılık gelir.
Benzerlik oranını bulmak için karşılıklı kenar oranlarını kullanırız. \(XY\) kenarı \(PQ\) kenarına karşılık gelir (\(X\) ve \(Y\) açıları \(P\) ve \(Q\) açılarına eşit olduğu için). Ancak bize \(PR\) kenarı verilmiş. \(PR\) kenarı \(X\) ve \(R\) açıları arasındaki kenardır, yani \(X\) ve \(Z\) açıları arasındaki \(XZ\) kenarına karşılık gelir. \(XY\) kenarı \(P\) ve \(Q\) açıları arasındaki kenara, yani \(PQ\) kenarına karşılık gelir.
\(XY = 10\) cm verilmiş. \(PR = 15\) cm verilmiş. Bu durumda, \(XZ\) kenarı \(PR\) kenarına karşılık gelir. Ancak \(XZ\) uzunluğu verilmemiş. Elimizdeki tek eşleşen kenar çifti \(XY\) ve \(PQ\) değildir. \(XY\) kenarı \(m(\hat{Z}) = 60^\circ\) ve \(m(\hat{X}) = 40^\circ\) arasındaki kenardır. \(PQ\) kenarı ise \(m(\hat{R}) = 60^\circ\) ve \(m(\hat{P}) = 40^\circ\) arasındaki kenardır. Dolayısıyla \(XY\) ve \(PR\) karşılıklı kenarlar değildir.
Karşılıklı kenarlar:
\(XY\) ile \(PQ\) (\(40^\circ\) ve \(80^\circ\) arasındaki kenarlar)
\(YZ\) ile \(RQ\) (\(80^\circ\) ve \(60^\circ\) arasındaki kenarlar)
\(XZ\) ile \(PR\) (\(40^\circ\) ve \(60^\circ\) arasındaki kenarlar)
Bize \(XY = 10\) cm ve \(PR = 15\) cm verilmiş. \(XY\) ve \(PR\) karşılıklı kenarlar olmadığından, benzerlik oranını doğrudan bu değerlerden bulamayız. Soruda \(PR\) yerine \(PQ\) verilseydi hesaplayabilirdik. Ancak, üçgenlerin benzer olduğu kesindir, sadece verilen kenar uzunlukları benzerlik oranını doğrudan hesaplamaya yetmiyor, çünkü karşılıklı kenarların eşleşmesi net değil. Eğer \(XY\) ve \(PQ\) veya \(XZ\) ve \(PR\) gibi karşılıklı kenarlar verilseydi, oran \(\frac{10}{PQ}\) veya \(\frac{XZ}{15}\) olurdu.
Sonuç: Üçgenler benzerdir çünkü tüm iç açıları aynıdır. Ancak verilen \(XY\) ve \(PR\) kenarları karşılıklı kenarlar olmadığından, benzerlik oranı bu verilerle hesaplanamaz. (Eğer \(PQ=15\) cm verilseydi, benzerlik oranı \(\frac{10}{15} = \frac{2}{3}\) olurdu.)