💡 9. Sınıf Matematik: Üçgende Kenar Ve Açı İlişkisi Çözümlü Örnekler

Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, \( m(\hat{C}) \) açısını hesaplayabiliriz:

• \( m(\hat{A}) + m(\hat{B}) + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
• \( 50^\circ + 70^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
• \( 120^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
• \( m(\hat{C}) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)

Açıları sıralayalım: \( m(\hat{B}) = 70^\circ \), \( m(\hat{C}) = 60^\circ \), \( m(\hat{A}) = 50^\circ \).
Bir üçgende büyük açının karşısındaki kenar en uzundur. Buna göre kenarlar arasındaki sıralama şöyledir:

• En büyük açı \( \hat{B} \) olduğundan, karşısındaki b kenarı en uzundur.
• Bir sonraki büyük açı \( \hat{C} \) olduğundan, karşısındaki c kenarı ortancadır.
• En küçük açı \( \hat{A} \) olduğundan, karşısındaki a kenarı en kısadır.

Dolayısıyla kenarlar arasındaki sıralama: \( b > c > a \) olur. ✅

Bir üçgende kenar uzunlukları arasındaki sıralama, bu kenarların karşısındaki açıların büyüklük sıralaması ile aynıdır.
Kenar uzunluklarını sıralayalım: \( b=10 \) cm, \( a=8 \) cm, \( c=6 \) cm.
Buna göre kenar uzunlukları arasındaki sıralama \( b > a > c \) şeklindedir.
Bu sıralamaya göre karşısındaki açılar da aynı şekilde sıralanacaktır:

• En uzun kenar b olduğundan, karşısındaki B açısı en büyüktür.
• Ortanca kenar a olduğundan, karşısındaki A açısı ortancadır.
• En kısa kenar c olduğundan, karşısındaki C açısı en küçüktür.

Dolayısıyla açılar arasındaki sıralama: \( m(\hat{B}) > m(\hat{A}) > m(\hat{C}) \) olur. 👉

Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkından ise büyüktür.
Üçüncü kenara x diyelim.
Kenar uzunlukları \( 7 \) cm ve \( 12 \) cm olduğuna göre, x için şu eşitsizlik geçerlidir:

• Fark: \( |12 - 7| < x \)
• Toplam: \( x < 12 + 7 \)

Bu eşitsizlikleri birleştirdiğimizde: \( 5 < x < 19 \) olur.
x bir tam sayı olacağından, alabileceği değerler \( 6, 7, 8, ..., 18 \) şeklindedir.
Bu tam sayıların toplamını bulmak için aritmetik dizi toplam formülünü kullanabiliriz veya basitçe değerleri toplayabiliriz. Ancak burada bizden istenen değerlerin kendisidir, toplamı değil. Soruda bir hata olmuş, eğer toplamı isteniyorsa hesaplanır. Şimdilik alabileceği değerleri listeleyelim.
Üçüncü kenarın alabileceği tam sayı değerleri: \( \{6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18\} \).
Eğer bu değerlerin toplamı istenirse: \( \frac{(6+18) \cdot 13}{2} = \frac{24 \cdot 13}{2} = 12 \cdot 13 = 156 \) olur. ➕

Ağaçların boyları, üçgenin kenar uzunluklarını temsil etmektedir. En uzun ağacın boyu en uzun kenarı, en kısa ağacın boyu ise en kısa kenarı temsil eder.
Üçgenin kenar uzunluklarını sırasıyla \( a, b, c \) olarak adlandıralım.
Verilenlere göre, en uzun kenar \( 15 \) m ve en kısa kenar \( 8 \) m'dir. Üçüncü kenara x diyelim.
Üçgen eşitsizliğine göre:

• \( |15 - 8| < x < 15 + 8 \)
• \( 7 < x < 23 \)

x bir tam sayı olduğuna göre, \( x \in \{8, 9, ..., 22\} \) olabilir.
Ancak, x'in en kısa kenar veya en uzun kenar olamayacağını da göz önünde bulundurmalıyız. Eğer x en kısa kenar olsaydı, \( x \le 8 \) olurdu. Eğer x en uzun kenar olsaydı, \( x \ge 15 \) olurdu.
Soruda en kısa patika ve en uzun patika arasındaki farkın en büyük tam sayı değeri soruluyor. Bu, üçgenin kenar uzunlukları arasındaki en büyük farkı bulmak anlamına gelir.
Kenar uzunluklarımız \( 8, x, 15 \) şeklinde.
Olası kenar sıralamaları ve farkları:

• Eğer \( x \) ortanca ise: Kenarlar \( 8, x, 15 \). En büyük fark \( 15 - 8 = 7 \) olur.
• Eğer \( x \) en kısa ise: Kenarlar \( x, 8, 15 \). Üçgen eşitsizliğine göre \( x > 7 \) olmalı. En büyük fark \( 15 - x \) olur. x'in alabileceği en küçük tam sayı değeri \( 8 \) olduğundan, en büyük fark \( 15 - 8 = 7 \) olur.
• Eğer \( x \) en uzun ise: Kenarlar \( 8, 15, x \). Üçgen eşitsizliğine göre \( x < 23 \) olmalı. En büyük fark \( x - 8 \) olur. x'in alabileceği en büyük tam sayı değeri \( 22 \) olduğundan, en büyük fark \( 22 - 8 = 14 \) olur.

Bu durumda, en kısa patika ile en uzun patika arasındaki farkın alabileceği en büyük tam sayı değeri \( 14 \) olur. 🏆

Bir üçgende en büyük açı, en uzun kenarın karşısındaki açıdır.
Verilen kenar uzunlukları \( 5 \) m, \( 12 \) m ve \( 13 \) m'dir.
Bu kenarlar arasında en uzun olanı \( 13 \) m'dir.
Dolayısıyla, en büyük açı \( 13 \) metrelik kenarın karşısındaki açıdır.
Bu üçgenin kenar uzunlukları arasında özel bir ilişki vardır: \( 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \) ve \( 13^2 = 169 \).
Bu durum, \( 5^2 + 12^2 = 13^2 \) eşitliğinin sağlanması, üçgenin bir dik üçgen olduğunu gösterir. 📐
Dik üçgende en büyük açı \( 90^\circ \) (dik açı)dır. Bu açı, en uzun kenar olan \( 13 \) m'lik kenarın karşısındaki açıdır.
Bu nedenle, en büyük açının değeri \( 90^\circ \) olur. ✅

Bir üçgende en küçük açı, en kısa kenarın karşısındaki açıdır.
Verilen kenar uzunlukları \( a=10 \), \( b=12 \) ve \( c=14 \)'tür.
Bu kenarlar arasında en kısa olanı \( a=10 \) birimdir.
Dolayısıyla, en küçük açı \( a \) kenarının karşısındaki A açısıdır. 👉

Bu soruda doğrudan sinüs teoremi kullanmak 9. sınıf müfredatı dışında kalır. Ancak, açı ve kenar ilişkisi mantığıyla bir yaklaşım sunulabilir.
Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, \( m(\hat{C}) \) açısını hesaplayalım:

• \( m(\hat{A}) + m(\hat{B}) + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
• \( 45^\circ + 60^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
• \( 105^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
• \( m(\hat{C}) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \)

Açıları sıralayalım: \( m(\hat{C}) = 75^\circ \), \( m(\hat{B}) = 60^\circ \), \( m(\hat{A}) = 45^\circ \).
Bu durumda kenarlar arasındaki sıralama \( c > b > a \) şeklinde olmalıdır.
Bize verilen \( c=10 \) cm'dir.
Bu bilgiye göre a kenarının uzunluğu c kenarının uzunluğundan (10 cm) daha küçük olmalıdır.
Ayrıca, a kenarı b kenarından da küçük olmalıdır.
Kesin bir sayısal değer bulmak için sinüs teoremi gereklidir: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \).
Sinüs teoremini kullanmadan, sadece kenar-açı ilişkisine dayanarak a kenarının uzunluğunun 10 cm'den küçük olacağını ve b kenarının uzunluğundan da küçük olacağını söyleyebiliriz. Bu, a'nın yaklaşık bir değerini vermez ancak ilişkiyi gösterir. ✅

Bu problemde, en uzak iki ada arasındaki mesafe en uzun kenarı temsil eder ve bu kenar \( 20 \) km'dir. Bu kenarın karşısındaki açı \( 90^\circ \) olarak verilmiştir. Bu, üçgenin dik üçgen olduğu anlamına gelir.
Dik üçgende, \( 90^\circ \) açının karşısındaki kenar hipotenüstür. Ancak burada, \( 90^\circ \) açının karşısındaki kenar \( 20 \) km olarak verilmiş. Bu durum, sorunun ifadesinde bir çelişki veya farklı bir yorum gerektirebilir. Eğer \( 90^\circ \) açı bu iki ada arasındaki çizgi üzerinde ise, o zaman bu çizgi hipotenüs olmaz.
Soruyu şu şekilde yorumlayalım: Üçgenin iki kenarı \( 12 \) km ve \( x \) km olsun, ve bu iki kenarın arasındaki açı \( 90^\circ \) olsun. O zaman hipotenüs \( 20 \) km olur. Bu durumda \( 12^2 + x^2 = 20^2 \) olur. \( 144 + x^2 = 400 \), \( x^2 = 256 \), \( x = 16 \) olur. Kenarlar \( 12, 16, 20 \) olur. En büyük açı \( 90^\circ \) olur ve bu kenarın karşısındadır.
Ancak soruda "en uzak iki ada arasındaki mesafenin \( 20 \) km olduğunu ve bu iki adanın arasındaki açının \( 90^\circ \) olduğunu gözlemlemiştir" deniyor. Bu, \( 20 \) km'lik kenarın karşısındaki açının \( 90^\circ \) olduğunu ima eder ki bu mümkün değildir (dik üçgende hipotenüs en uzun kenardır ve karşısındaki açı \( 90^\circ \) olamaz).
Soruyu şu şekilde yeniden yorumlayalım: Üçgenin kenar uzunlukları \( a, b, c \) olsun. En uzun kenar \( c=20 \) km olsun. \( 90^\circ \) açı, bu kenarın üzerindeki bir köşede olsun. Bu durumda \( 90^\circ \) açı, \( 20 \) km'lik kenarın bir ucunda olamaz, çünkü o zaman üçgen oluşmaz.
En makul yorum şudur: Üçgenin bir dik üçgen olduğu ve dik kenarlarından birinin \( 12 \) km olduğu, hipotenüsün ise \( 20 \) km olduğu varsayılırsa, diğer dik kenarı \( x \) buluruz: \( 12^2 + x^2 = 20^2 \implies x = 16 \) km. Bu durumda kenarlar \( 12, 16, 20 \) olur. En büyük açı \( 90^\circ \) olur ve \( 20 \) km'lik kenarın karşısındadır.
Şimdi, bu dik üçgende \( 20 \) km'lik kenara (hipotenüse) indirilen yüksekliği bulalım. Dik üçgende yükseklik \( h \) için alan formülünden yararlanırız: \( \frac{1}{2} \cdot \text{dik kenar}_1 \cdot \text{dik kenar}_2 = \frac{1}{2} \cdot \text{hipotenüs} \cdot h \).

• \( \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot h \)
• \( 12 \cdot 16 = 20 \cdot h \)
• \( 192 = 20h \)
• \( h = \frac{192}{20} = \frac{96}{10} = 9.6 \) km

Dolayısıyla, üçüncü adanın en uzak iki ada arasındaki çizgiye olan dik uzaklığı \( 9.6 \) km'dir. 🗺️

Bir üçgende en kısa kenar, en küçük açının karşısındaki kenardır.
Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, \( m(\hat{C}) \) açısını hesaplayalım:

• \( m(\hat{A}) + m(\hat{B}) + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
• \( 30^\circ + 80^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
• \( 110^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
• \( m(\hat{C}) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \)

Açıları sıralayalım: \( m(\hat{B}) = 80^\circ \), \( m(\hat{C}) = 70^\circ \), \( m(\hat{A}) = 30^\circ \).
En küçük açı \( m(\hat{A}) = 30^\circ \)'dir.
Bu nedenle, en kısa kenar A açısının karşısındaki a kenarıdır. ✅