🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgende Kenar İle İlgili Özellikler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgende Kenar İle İlgili Özellikler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, kenar uzunlukları \( a = 5 \) cm, \( b = 8 \) cm ve \( c \) cm'dir.
Buna göre, \( c \) kenarının alabileceği tam sayı değerleri kaç tanedir? 🤔
Buna göre, \( c \) kenarının alabileceği tam sayı değerleri kaç tanedir? 🤔
Çözüm:
Bu soruyu Üçgen Eşitsizliği kuralını kullanarak çözeceğiz. 📌
Üçgen eşitsizliğine göre, bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyüktür.
Üçgen eşitsizliğine göre, bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyüktür.
- 👉 Verilen kenarlar \( a = 5 \) ve \( b = 8 \).
- 👉 \( c \) kenarı için eşitsizlik: \( |8 - 5| < c < 8 + 5 \)
- 👉 Mutlak değeri hesaplayalım: \( 3 < c < 13 \)
- 👉 Bu aralıktaki tam sayılar: \( 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 \)
- ✅ Toplamda \( 12 - 4 + 1 = 9 \) tane tam sayı değeri vardır.
Demek ki, \( c \) kenarı 9 farklı tam sayı değeri alabilir. 💡
Örnek 2:
Bir KLM üçgeninde açılarının ölçüleri sırasıyla \( m(\hat{K}) = 70^\circ \), \( m(\hat{L}) = 50^\circ \) ve \( m(\hat{M}) \) dir.
Bu üçgenin kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız. 📐
Bu üçgenin kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız. 📐
Çözüm:
Bu soruyu Açı-Kenar Bağıntısı kuralını kullanarak çözeceğiz. 📌
Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur.
Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur.
- 👉 Öncelikle \( m(\hat{M}) \) açısının ölçüsünü bulalım. Bir üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) dir.
- \( m(\hat{K}) + m(\hat{L}) + m(\hat{M}) = 180^\circ \)
- \( 70^\circ + 50^\circ + m(\hat{M}) = 180^\circ \)
- \( 120^\circ + m(\hat{M}) = 180^\circ \)
- \( m(\hat{M}) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)
- 👉 Şimdi açıları küçükten büyüğe sıralayalım: \( m(\hat{L}) < m(\hat{M}) < m(\hat{K}) \)
- \( 50^\circ < 60^\circ < 70^\circ \)
- 👉 Açıların karşısındaki kenarları sıralayalım:
- \( m(\hat{L}) \) karşısındaki kenar \( k \)
- \( m(\hat{M}) \) karşısındaki kenar \( l \)
- \( m(\hat{K}) \) karşısındaki kenar \( m \)
- ✅ Buna göre, kenar uzunluklarının küçükten büyüğe sıralaması: \( k < l < m \).
Yani, L açısının karşısındaki kenar en küçük, K açısının karşısındaki kenar en büyüktür. 💡
Örnek 3:
Bir XYZ üçgeninde \( |XY| = 7 \) cm ve \( |YZ| = 12 \) cm'dir.
\( |XZ| \) kenarının uzunluğu bir tam sayı olduğuna göre, bu üçgenin çevresinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? 📏
\( |XZ| \) kenarının uzunluğu bir tam sayı olduğuna göre, bu üçgenin çevresinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? 📏
Çözüm:
Üçgenin çevresinin en küçük tam sayı değerini bulmak için, öncelikle Üçgen Eşitsizliği kullanarak \( |XZ| \) kenarının alabileceği değer aralığını belirlemeliyiz. 📌
- 👉 \( |XY| = 7 \) ve \( |YZ| = 12 \) olarak verilmiş. \( |XZ| \) kenarına \( x \) diyelim.
- 👉 Üçgen eşitsizliği: \( |12 - 7| < x < 12 + 7 \)
- \( 5 < x < 19 \)
- 👉 \( x \) bir tam sayı olduğu için, alabileceği en küçük tam sayı değeri \( 6 \) dır.
- 👉 Üçgenin çevresi \( Ç = |XY| + |YZ| + |XZ| \) formülüyle bulunur.
- 👉 Çevrenin en küçük tam sayı değerini bulmak için \( x \)'in en küçük tam sayı değerini kullanmalıyız.
- ✅ Çevre \( = 7 + 12 + 6 = 25 \) cm.
Bu üçgenin çevresinin alabileceği en küçük tam sayı değeri 25 cm'dir. 💡
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde \( m(\hat{A}) = 65^\circ \) ve \( m(\hat{B}) = 45^\circ \) dir.
Bu üçgenin kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız. 🔍
Bu üçgenin kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız. 🔍
Çözüm:
Bu soruda Açı-Kenar Bağıntısı kuralını kullanacağız. 📌
- 👉 İlk olarak \( m(\hat{C}) \) açısının ölçüsünü bulalım. Bir üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) dir.
- \( m(\hat{A}) + m(\hat{B}) + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
- \( 65^\circ + 45^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
- \( 110^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
- \( m(\hat{C}) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \)
- 👉 Şimdi üçgenin açılarını küçükten büyüğe sıralayalım:
- \( m(\hat{B}) < m(\hat{A}) < m(\hat{C}) \)
- \( 45^\circ < 65^\circ < 70^\circ \)
- 👉 Açıların karşısındaki kenarları sıralayalım:
- \( m(\hat{B}) \) karşısındaki kenar \( b \) (AC kenarı)
- \( m(\hat{A}) \) karşısındaki kenar \( a \) (BC kenarı)
- \( m(\hat{C}) \) karşısındaki kenar \( c \) (AB kenarı)
- ✅ Buna göre, kenar uzunluklarının küçükten büyüğe doğru sıralaması: \( b < a < c \).
Yani, AC kenarı en küçük, AB kenarı en büyüktür. 💡
Örnek 5:
Bir ABCD dörtgeninde, köşegen AC çizilmiştir.
\( m(\hat{DAC}) = 30^\circ \), \( m(\hat{ACD}) = 80^\circ \), \( m(\hat{BAC}) = 70^\circ \), \( m(\hat{BCA}) = 50^\circ \) dir.
Buna göre, \( |AD|, |BC|, |AB|, |CD| \) kenarlarını küçükten büyüğe sıralayınız. 🧐
\( m(\hat{DAC}) = 30^\circ \), \( m(\hat{ACD}) = 80^\circ \), \( m(\hat{BAC}) = 70^\circ \), \( m(\hat{BCA}) = 50^\circ \) dir.
Buna göre, \( |AD|, |BC|, |AB|, |CD| \) kenarlarını küçükten büyüğe sıralayınız. 🧐
Çözüm:
Bu soruda Açı-Kenar Bağıntısı kuralını iki farklı üçgen için ayrı ayrı uygulayacağız ve sonra kenarları birleştireceğiz. 📌
1. ADC Üçgeni İçin:
2. ABC Üçgeni İçin:
Kenarları Birleştirme:
1. ADC Üçgeni İçin:
- 👉 Verilen açılar: \( m(\hat{DAC}) = 30^\circ \), \( m(\hat{ACD}) = 80^\circ \)
- 👉 \( m(\hat{ADC}) \) açısını bulalım: \( 180^\circ - (30^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \)
- 👉 Açıları sıralayalım: \( m(\hat{DAC}) < m(\hat{ADC}) < m(\hat{ACD}) \)
- \( 30^\circ < 70^\circ < 80^\circ \)
- 👉 Kenarları sıralayalım: \( |CD| < |AC| < |AD| \) (Karşısındaki kenarlar)
2. ABC Üçgeni İçin:
- 👉 Verilen açılar: \( m(\hat{BAC}) = 70^\circ \), \( m(\hat{BCA}) = 50^\circ \)
- 👉 \( m(\hat{ABC}) \) açısını bulalım: \( 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)
- 👉 Açıları sıralayalım: \( m(\hat{BCA}) < m(\hat{ABC}) < m(\hat{BAC}) \)
- \( 50^\circ < 60^\circ < 70^\circ \)
- 👉 Kenarları sıralayalım: \( |AB| < |AC| < |BC| \) (Karşısındaki kenarlar)
Kenarları Birleştirme:
- ADC üçgeninden: \( |CD| < |AC| < |AD| \)
- ABC üçgeninden: \( |AB| < |AC| < |BC| \)
- Her iki sıralamada da ortak kenar \( |AC| \) dir.
- \( |CD| \) ve \( |AB| \) kenarlarının her ikisi de \( |AC| \) kenarından küçüktür. Ancak kendi aralarındaki sıralamayı bilmiyoruz.
- \( |AD| \) ve \( |BC| \) kenarlarının her ikisi de \( |AC| \) kenarından büyüktür. Ancak kendi aralarındaki sıralamayı bilmiyoruz.
- Ancak, en küçük ve en büyük kenarları belirleyebiliriz:
- En küçük kenar \( |CD| \) veya \( |AB| \) olabilir. Verilen açılardan \( m(\hat{DAC}) = 30^\circ \) ve \( m(\hat{BCA}) = 50^\circ \) olduğundan, \( 30^\circ \) karşısındaki \( |CD| \) en küçüktür.
- En büyük kenar \( |AD| \) veya \( |BC| \) olabilir. Verilen açılardan \( m(\hat{ACD}) = 80^\circ \) ve \( m(\hat{BAC}) = 70^\circ \) olduğundan, \( 80^\circ \) karşısındaki \( |AD| \) en büyüktür.
- Sıralama için daha dikkatli olalım:
- \( |CD| < |AC| \) (çünkü \( m(\hat{DAC}) = 30^\circ \) en küçük açı)
- \( |AB| < |AC| \) (çünkü \( m(\hat{BCA}) = 50^\circ \) en küçük açı)
- Yani \( |CD| \) ve \( |AB| \) kenarları \( |AC| \) den küçüktür.
- \( |AC| < |AD| \) (çünkü \( m(\hat{ACD}) = 80^\circ \) en büyük açı)
- \( |AC| < |BC| \) (çünkü \( m(\hat{BAC}) = 70^\circ \) en büyük açı)
- Yani \( |AD| \) ve \( |BC| \) kenarları \( |AC| \) den büyüktür.
- Küçükten büyüğe sıralama yaparken, \( |CD| \) ve \( |AB| \) kendi aralarında, \( |AD| \) ve \( |BC| \) kendi aralarında nasıl sıralanır?
- \( m(\hat{DAC}) = 30^\circ \) karşısında \( |CD| \) var.
- \( m(\hat{BCA}) = 50^\circ \) karşısında \( |AB| \) var.
- \( 30^\circ < 50^\circ \) olduğu için \( |CD| < |AB| \) dir.
- \( m(\hat{BAC}) = 70^\circ \) karşısında \( |BC| \) var.
- \( m(\hat{ADC}) = 70^\circ \) karşısında \( |AC| \) var.
- \( m(\hat{ACD}) = 80^\circ \) karşısında \( |AD| \) var.
- \( 70^\circ \) karşısındaki \( |BC| \) ile \( 70^\circ \) karşısındaki \( |AC| \) yi karşılaştıramayız.
- Ancak \( |AC| \) her iki üçgende de ortak kenardır.
- ADC'de en büyük kenar \( |AD| \) (\( 80^\circ \) karşısında).
- ABC'de en büyük kenar \( |BC| \) (\( 70^\circ \) karşısında).
- Bu durumda, \( m(\hat{ACD}) = 80^\circ \) ve \( m(\hat{BAC}) = 70^\circ \) olduğu için \( |AD| \) en büyük kenardır.
- Yani \( |CD| < |AB| < |AC| < |BC| < |AD| \) sıralaması doğrudur.
- ✅ Sonuç olarak, kenarların küçükten büyüğe sıralaması: \( |CD| < |AB| < |AC| < |BC| < |AD| \).
Dikkatli bir karşılaştırma ile doğru sıralamaya ulaştık! 💡
Örnek 6:
Esra, bahçesine yeni bir üçgen şeklinde çiçeklik yapmak istiyor. Çiçekliğin iki kenarının uzunluğunu 10 metre ve 18 metre olarak belirlemiştir. Üçüncü kenarın uzunluğu ise bir tam sayı olmalıdır. Esra, çiçekliğin etrafına dekoratif taş döşeyeceği için, üçüncü kenarın uzunluğunu en fazla kaç metre seçebilir? 🌸
Çözüm:
Bu bir Yeni Nesil problemidir ve Üçgen Eşitsizliği prensibini günlük hayata uyarlar. 📌
- 👉 Esra'nın çiçekliğinin kenar uzunlukları 10 metre, 18 metre ve üçüncü kenar için \( x \) metredir.
- 👉 Üçgen eşitsizliğine göre, \( x \) kenarının uzunluğu diğer iki kenarın toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyük olmalıdır.
- \( |18 - 10| < x < 18 + 10 \)
- \( 8 < x < 28 \)
- 👉 \( x \) bir tam sayı olduğu için, bu aralıktaki en büyük tam sayı değeri çiçekliğin üçüncü kenarının alabileceği en fazla uzunluğu gösterir.
- ✅ Bu aralıktaki en büyük tam sayı değeri \( 27 \) dir.
Esra, çiçekliğin üçüncü kenarını en fazla 27 metre seçebilir. Bu sayede üçgen şeklindeki çiçekliği oluşturabilir. 💡
Örnek 7:
Bir mühendis, bir köprü inşaatında iki destek ayağını (A ve B noktaları) aralarında 100 metre mesafe olacak şekilde yerleştirmiştir. Üçüncü bir destek ayağını (C noktası) ise bu iki ayağa bağlayarak üçgen şeklinde bir yapı oluşturmayı planlamaktadır. C ayağının A'ya olan uzaklığı 70 metre ise, C ayağının B'ye olan uzaklığı (metre cinsinden bir tam sayı olarak) hangi aralıkta olmalıdır ki bu üçgen şeklindeki yapı sağlam bir şekilde ayakta kalabilsin? 🌉
Çözüm:
Bu durum, gerçek hayatta yapıların sağlamlığı için Üçgen Eşitsizliği kuralının nasıl kullanıldığını gösterir. 📌
- 👉 Köprü destek ayakları A, B ve C noktalarını bir üçgenin köşeleri gibi düşünelim.
- 👉 Verilen kenar uzunlukları: \( |AB| = 100 \) metre, \( |AC| = 70 \) metre.
- 👉 \( |BC| \) kenarına \( x \) diyelim.
- 👉 Üçgen eşitsizliğine göre, bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyük olmalıdır.
- \( |100 - 70| < x < 100 + 70 \)
- \( 30 < x < 170 \)
- ✅ \( x \) kenarının uzunluğu (yani C ayağının B'ye olan uzaklığı) 30 metreden büyük ve 170 metreden küçük olmalıdır.
Bu aralık dışında seçilen bir uzunluk, üçgenin oluşturulamamasına veya yapının dengesiz olmasına neden olur. Bu nedenle, C ayağının B'ye olan uzaklığı \( (30, 170) \) metre aralığında olmalıdır. 💡
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde \( m(\hat{A}) > m(\hat{B}) \) ve \( m(\hat{C}) = 60^\circ \) dir.
\( |AB| = 8 \) cm ve \( |BC| = 10 \) cm olduğuna göre, \( |AC| \) kenarının uzunluğu için kaç farklı tam sayı değeri vardır? 🤔
\( |AB| = 8 \) cm ve \( |BC| = 10 \) cm olduğuna göre, \( |AC| \) kenarının uzunluğu için kaç farklı tam sayı değeri vardır? 🤔
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için hem Açı-Kenar Bağıntısı hem de Üçgen Eşitsizliği kurallarını birlikte kullanmalıyız. 📌
1. Açı-Kenar Bağıntısını Kullanarak bir eşitsizlik elde edelim:
2. Üçgen Eşitsizliğini Kullanarak bir aralık belirleyelim:
3. Açıların Sıralaması ve \( m(\hat{C}) = 60^\circ \) Bilgisini Kullanarak Daha Keskin Bir Aralık Bulalım:
4. Tüm Eşitsizlikleri Birleştirelim:
1. Açı-Kenar Bağıntısını Kullanarak bir eşitsizlik elde edelim:
- 👉 \( m(\hat{A}) > m(\hat{B}) \) olduğu verilmiş.
- 👉 Büyük açı karşısında büyük kenar bulunur kuralına göre, \( m(\hat{A}) \) karşısındaki kenar \( |BC| \) ve \( m(\hat{B}) \) karşısındaki kenar \( |AC| \) dir.
- 👉 Yani \( |BC| > |AC| \) olmalıdır.
- 👉 \( |BC| = 10 \) cm verildiğine göre, \( 10 > |AC| \) eşitsizliğini elde ederiz.
2. Üçgen Eşitsizliğini Kullanarak bir aralık belirleyelim:
- 👉 Kenar uzunlukları \( |AB| = 8 \), \( |BC| = 10 \), \( |AC| = x \) olsun.
- 👉 Üçgen eşitsizliği: \( |10 - 8| < x < 10 + 8 \)
- \( 2 < x < 18 \)
3. Açıların Sıralaması ve \( m(\hat{C}) = 60^\circ \) Bilgisini Kullanarak Daha Keskin Bir Aralık Bulalım:
- 👉 Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) dir. \( m(\hat{A}) + m(\hat{B}) + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
- \( m(\hat{A}) + m(\hat{B}) + 60^\circ = 180^\circ \)
- \( m(\hat{A}) + m(\hat{B}) = 120^\circ \)
- 👉 Ayrıca \( m(\hat{A}) > m(\hat{B}) \) olduğu verilmişti.
- 👉 Eğer \( m(\hat{A}) = m(\hat{B}) \) olsaydı, her ikisi de \( 60^\circ \) olurdu.
- 👉 \( m(\hat{A}) > m(\hat{B}) \) olduğu için, \( m(\hat{A}) \) kesinlikle \( 60^\circ \) den büyük olmalıdır. (Çünkü \( m(\hat{A}) = 60^\circ \) olsa \( m(\hat{B}) = 60^\circ \) olurdu, bu da çelişir.)
- 👉 \( m(\hat{A}) > 60^\circ \) ise, \( m(\hat{A}) \) karşısındaki kenar \( |BC| \) de \( m(\hat{C}) \) karşısındaki kenar \( |AB| \) den daha büyük olmalıdır.
- \( m(\hat{A}) > m(\hat{C}) \) olduğu için \( |BC| > |AB| \) olmalıdır.
- \( 10 > 8 \) olduğu için bu bilgi zaten sağlanıyor.
- 👉 Şimdi \( m(\hat{B}) \) açısını ele alalım. \( m(\hat{A}) > 60^\circ \) olduğu için, \( m(\hat{B}) \) kesinlikle \( 60^\circ \) den küçük olmalıdır. (Çünkü toplamları \( 120^\circ \)).
- 👉 Yani \( m(\hat{B}) < 60^\circ \) dir.
- 👉 \( m(\hat{B}) \) karşısındaki kenar \( |AC| \) ve \( m(\hat{C}) \) karşısındaki kenar \( |AB| \) dir.
- 👉 \( m(\hat{B}) < m(\hat{C}) \) olduğu için \( |AC| < |AB| \) olmalıdır.
- 👉 \( |AC| < 8 \) cm sonucunu elde ederiz.
4. Tüm Eşitsizlikleri Birleştirelim:
- Birinci adımdan: \( |AC| < 10 \)
- İkinci adımdan: \( 2 < |AC| < 18 \)
- Üçüncü adımdan: \( |AC| < 8 \)
- Tüm bu eşitsizlikleri birleştirdiğimizde, \( |AC| \) için en dar aralık: \( 2 < |AC| < 8 \)
- 👉 \( |AC| \) bir tam sayı olduğu için, alabileceği değerler: \( 3, 4, 5, 6, 7 \) dir.
- ✅ Toplamda \( 7 - 3 + 1 = 5 \) farklı tam sayı değeri vardır.
\( |AC| \) kenarının uzunluğu için 5 farklı tam sayı değeri vardır. 💡
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgende-kenar-ile-ilgili-ozellikler/sorular