📄 9. Sınıf Matematik: Üçgende Kenar İle İlgili Özellikler Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Üçgen eşitsizliğine göre, bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları farkının mutlak değerinden büyük, toplamından ise küçük olmalıdır.
Verilen kenarlar \(AB = 8\) cm ve \(BC = 15\) cm'dir. Üçüncü kenar \(AC = x\) cm'dir.
Bu durumda üçgen eşitsizliği şu şekilde yazılır:
\(|15 - 8| < x < 15 + 8\)
\(|7| < x < 23\)
\(7 < x < 23\)
Bu eşitsizliğe göre, x'in alabileceği tam sayı değerleri 8'den başlar ve 22'ye kadar devam eder.
En küçük tam sayı değeri: 8
En büyük tam sayı değeri: 22

💡 Çözüm Adımları:

Bir üçgende iç açıların toplamı \(180^\circ\) olduğundan, üçüncü açıyı bulmamız gerekir.
\(m(\widehat{K}) = 45^\circ\)
\(m(\widehat{L}) = 75^\circ\)
\(m(\widehat{M}) = 180^\circ - (m(\widehat{K}) + m(\widehat{L}))\)
\(m(\widehat{M}) = 180^\circ - (45^\circ + 75^\circ)\)
\(m(\widehat{M}) = 180^\circ - 120^\circ\)
\(m(\widehat{M}) = 60^\circ\)
Şimdi açıları sıralayalım:
\(m(\widehat{K}) = 45^\circ\)
\(m(\widehat{M}) = 60^\circ\)
\(m(\widehat{L}) = 75^\circ\)
Açılar arasındaki ilişki: \(m(\widehat{K}) < m(\widehat{M}) < m(\widehat{L})\)
Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur.
\(K\) açısının karşısındaki kenar \(l\) (KM kenarı)
\(L\) açısının karşısındaki kenar \(k\) (LM kenarı)
\(M\) açısının karşısındaki kenar \(m\) (KL kenarı)
Bu durumda kenar sıralaması da açı sıralaması ile aynı yönde olacaktır:
\(l < m < k\) (KM < KL < LM)

💡 Çözüm Adımları:

Bir üçgenin kenar uzunlukları pozitif olmak zorundadır ve üçgen eşitsizliğini sağlamalıdır.
1. Kenar uzunlukları pozitif olmalı:
\(x+3 > 0 \Rightarrow x > -3\)
\(2x-1 > 0 \Rightarrow 2x > 1 \Rightarrow x > 0.5\)
Bu iki eşitsizlikten \(x > 0.5\) olmalıdır.

2. Üçgen eşitsizliği:
Herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları farkının mutlak değerinden büyük, toplamından ise küçük olmalıdır.
a) \(|(x+3) - (2x-1)| < 10 < (x+3) + (2x-1)|\)
\(|x+3-2x+1| < 10 < 3x+2\)
\(|-x+4| < 10\)
Bu ifade iki eşitsizliğe ayrılır:
\(-10 < -x+4 < 10\)
\(-10 < -x+4 \Rightarrow -14 < -x \Rightarrow 14 > x\)
\(-x+4 < 10 \Rightarrow -x < 6 \Rightarrow x > -6\)
Bu ikisinden \(-6 < x < 14\) bulunur.
Ayrıca \(10 < 3x+2\) kısmına bakarsak:
\(8 < 3x \Rightarrow x > \frac{8}{3} \Rightarrow x > 2.66...\)

b) Diğer kenarlar için de eşitsizlikleri kontrol edelim (en uzun kenar 10 cm varsayımıyla veya genel olarak):
\(|10 - (x+3)| < 2x-1 < 10 + (x+3)|\)
\(|7-x| < 2x-1\)
Bu durumda \(2x-1 > 0\) olduğundan \(x > 0.5\) zaten sağlanıyor.
\(7-x < 2x-1 \Rightarrow 8 < 3x \Rightarrow x > \frac{8}{3}\)
\(-(7-x) < 2x-1 \Rightarrow x-7 < 2x-1 \Rightarrow -6 < x\)
Bu ikisinden \(x > \frac{8}{3}\) ve \(x > -6\) elde edilir.
Ayrıca \(2x-1 < 10+x+3 \Rightarrow 2x-1 < x+13 \Rightarrow x < 14\)

c) \(|10 - (2x-1)| < x+3 < 10 + (2x-1)|\)
\(|11-2x| < x+3\)
Bu durumda \(x+3 > 0\) olduğundan \(x > -3\) zaten sağlanıyor.
\(11-2x < x+3 \Rightarrow 8 < 3x \Rightarrow x > \frac{8}{3}\)
\(-(11-2x) < x+3 \Rightarrow 2x-11 < x+3 \Rightarrow x < 14\)

Tüm eşitsizlikleri birleştirelim:
1. \(x > 0.5\)
2. \(x > 2.66...\) (yani \(x > \frac{8}{3}\))
3. \(x < 14\)

Bu koşulları sağlayan x değeri için en dar aralık \(\frac{8}{3} < x < 14\) olur.
\(2.66... < x < 14\)
x'in alabileceği tam sayı değerleri 3, 4, 5, ..., 13'tür.
Bu değerler: \(3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\).