🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgende kenar-açı ilişkisi Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgende kenar-açı ilişkisi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde \( \hat{A} = 50^\circ \) ve \( \hat{B} = 70^\circ \) ise, en uzun kenar aşağıdakilerden hangisidir? 💡
Çözüm:
- Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olmalıdır.
- \( \hat{C} = 180^\circ - (\hat{A} + \hat{B}) \)
- \( \hat{C} = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)
- Üçgende en büyük açının karşısındaki kenar en uzundur.
- Açıları sıralayalım: \( \hat{B} (70^\circ) > \hat{C} (60^\circ) > \hat{A} (50^\circ) \)
- Bu durumda en uzun kenar \( \hat{B} \) açısının karşısındaki kenar olan AC kenarıdır. ✅
Örnek 2:
Bir üçgenin kenar uzunlukları 7 cm, 9 cm ve 11 cm'dir. Bu üçgenin en küçük açısının ölçüsü kaç derecedir? (Bu soruda doğrudan derece bulunamaz, sadece hangi açının en küçük olduğu söylenebilir.) 📌
Çözüm:
- Üçgende en küçük açının karşısındaki kenar en kısadır.
- Kenar uzunluklarını sıralayalım: 7 cm < 9 cm < 11 cm.
- En kısa kenar 7 cm'dir.
- 7 cm kenarının karşısındaki açı, üçgenin en küçük açısıdır. ✅
Örnek 3:
Bir DEF üçgeninde \( DE = 8 \) cm, \( EF = 10 \) cm ve \( DF = 12 \) cm'dir. Bu üçgenin açılarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız. 👉
Çözüm:
- Üçgende kenar uzunlukları ile karşısındaki açıların büyüklükleri doğru orantılıdır.
- Kenar uzunluklarını büyükten küçüğe sıralayalım: \( DF (12 \text{ cm}) > EF (10 \text{ cm}) > DE (8 \text{ cm}) \)
- Bu sıralamaya göre, en uzun kenar olan \( DF \) kenarının karşısındaki \( \hat{E} \) açısı en büyüktür.
- En kısa kenar olan \( DE \) kenarının karşısındaki \( \hat{F} \) açısı en küçüktür.
- Açıların büyükten küçüğe sıralaması şu şekildedir: \( \hat{E} > \hat{D} > \hat{F} \). ✅
Örnek 4:
Bir GHI üçgeninde \( \hat{G} = 45^\circ \) ve \( GH = HI \) ise, \( \hat{I} \) açısının ölçüsü kaç derecedir? 💡
Çözüm:
- \( GH = HI \) olması, üçgenin ikizkenar bir üçgen olduğunu gösterir.
- İkizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki açılar da eşittir.
- \( GH \) kenarının karşısındaki açı \( \hat{I} \) ve \( HI \) kenarının karşısındaki açı \( \hat{G} \) 'dir.
- Bu durumda \( \hat{I} = \hat{G} \) olmalıdır.
- Soruda \( \hat{G} = 45^\circ \) olarak verilmiş.
- O halde \( \hat{I} = 45^\circ \) 'dir.
- Üçgenin üçüncü açısı \( \hat{H} \) ise \( 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \) olur. ✅
Örnek 5:
Bir harita üzerinde A, B ve C şehirlerinin konumları işaretlenmiştir. A ve B şehirleri arasındaki mesafe 15 km, B ve C şehirleri arasındaki mesafe 20 km'dir. Eğer A açısı (yani \( \hat{A} \)) 90 dereceden küçük ise, C ve A şehirleri arasındaki mesafenin (BC kenarı) alabileceği tam sayı değerleri için olası durumları inceleyiniz. 🗺️
Çözüm:
- Bu soru, üçgen eşitsizliği ve kenar-açı ilişkisinin birleşimidir.
- Öncelikle üçgen eşitsizliğini hatırlayalım: Bir üçgende herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı üçüncü kenarın uzunluğundan büyük, farkının mutlak değeri ise üçüncü kenarın uzunluğundan küçüktür.
- \( |AB - BC| < AC < AB + BC \)
- \( |15 - 20| < AC < 15 + 20 \)
- \( 5 < AC < 35 \)
- Bu eşitsizlik, \( \hat{A} \) açısı hakkında bir bilgi olmadan AC kenarının alabileceği değerleri verir.
- Soruda \( \hat{A} < 90^\circ \) bilgisi verilmiş. Bu bilgi, AC kenarının uzunluğunu daha kesin belirlememize yardımcı olur.
- Eğer \( \hat{A} = 90^\circ \) olsaydı, Pisagor teoreminden \( AC^2 = AB^2 + BC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 \) ve \( AC = 25 \) olurdu.
- \( \hat{A} < 90^\circ \) olduğundan, \( AC \) kenarı \( 90^\circ \) 'lik açının karşısında olduğu için, \( AC \) kenarı 25'ten küçük olmalıdır.
- Bu durumda AC'nin alabileceği tam sayı değerleri, üçgen eşitsizliği ile birlikte değerlendirildiğinde: \( 5 < AC < 25 \) olur.
- Yani AC kenarı 6, 7, ..., 24 tam sayı değerlerini alabilir. ✅
Örnek 6:
Bir inşaat işçisi, bir binanın temelini atmadan önce, köşeleri belirlemek için ip ve çiviler kullanarak bir üçgen oluşturuyor. Oluşturduğu üçgenin bir açısı \( 110^\circ \) olarak ölçülüyor. Bu işçi, en uzun kenarın hangi iki çivi arasında olması gerektiğini nasıl anlar? 🏗️
Çözüm:
- İnşaat işçisinin oluşturduğu şekil bir üçgendir.
- Üçgenin bir açısı \( 110^\circ \) olarak verilmiş.
- Bir üçgenin bir açısı \( 90^\circ \) 'den büyükse, bu üçgen geniş açılı bir üçgendir.
- Geniş açılı bir üçgende, en büyük açı her zaman geniş açıdır (burada \( 110^\circ \)).
- Üçgende en büyük açının karşısındaki kenar her zaman en uzun kenardır.
- Bu durumda işçi, \( 110^\circ \) 'lik açının karşısındaki kenarı ölçerek veya bu kenarın iki ucundaki çivileri belirleyerek en uzun kenarı bulabilir. ✅
Örnek 7:
Bir KLM üçgeninde \( KL = 5 \) cm, \( LM = 7 \) cm ve \( \hat{M} = 80^\circ \) ise, \( \hat{K} \) açısının alabileceği en büyük tam sayı değeri kaç derecedir? (Sinüs teoremi kullanılmadan, sadece kenar-açı ilişkisi ve üçgen eşitsizliği ile çözülmeye çalışılacaktır.) ❓
Çözüm:
- Üçgen eşitsizliğine göre, \( KL + LM > KM \) olmalıdır.
- \( 5 + 7 > KM \Rightarrow 12 > KM \)
- Ayrıca \( |KL - LM| < KM \) olmalıdır.
- \( |5 - 7| < KM \Rightarrow 2 < KM \)
- Yani \( 2 < KM < 12 \) olmalıdır.
- \( \hat{M} = 80^\circ \) olduğundan, bu açı geniş açıdır.
- Geniş açılı üçgende, geniş açının karşısındaki kenar en uzundur.
- Bu durumda \( LM \) kenarı \( KM \) kenarından daha uzun olmalıdır.
- Yani \( 7 > KM \) olmalıdır.
- Bu bilgiyi daha önceki eşitsizlikle birleştirirsek: \( 2 < KM < 7 \) olur.
- Şimdi \( \hat{K} \) açısını düşünelim. \( \hat{K} \) açısının karşısındaki kenar \( LM = 7 \) cm'dir.
- \( \hat{M} = 80^\circ \) açısının karşısındaki kenar \( KL = 5 \) cm'dir.
- \( \hat{K} \) açısının alabileceği en büyük tam sayı değeri için, \( \hat{K} \) açısının \( \hat{M} \) açısından küçük olması gerekir.
- Eğer \( \hat{K} > \hat{M} \) olsaydı, \( KL > LM \) olması gerekirdi ki bu \( 5 > 7 \) çelişkisine yol açar.
- Bu nedenle \( \hat{K} < \hat{M} \) olmalıdır.
- Yani \( \hat{K} < 80^\circ \) olmalıdır.
- Ayrıca, \( \hat{K} \) açısının karşısındaki kenar \( LM = 7 \) cm ve \( \hat{L} \) açısının karşısındaki kenar \( KM \) (2 ile 7 arasında) olduğundan, \( \hat{K} \) açısı \( \hat{L} \) açısından daha büyük olmalıdır.
- Üçgenin iç açıları toplamı \( \hat{K} + \hat{L} + \hat{M} = 180^\circ \)
- \( \hat{K} + \hat{L} + 80^\circ = 180^\circ \Rightarrow \hat{K} + \hat{L} = 100^\circ \)
- \( \hat{K} < 80^\circ \) ve \( \hat{K} + \hat{L} = 100^\circ \) koşullarıyla, \( \hat{K} \) 'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri 49 olabilir. Eğer \( \hat{K} = 49^\circ \) ise \( \hat{L} = 51^\circ \) olur. Bu durumda \( \hat{L} > \hat{K} \) olur. Kenar uzunluklarına baktığımızda \( LM (7) > KL (5) \) olduğundan \( \hat{K} > \hat{L} \) olmalıydı. Bu bir çelişkidir.
- Tekrar düşünelim: \( \hat{K} \) açısının karşısındaki kenar \( LM = 7 \) cm'dir. \( \hat{M} = 80^\circ \) açısının karşısındaki kenar \( KL = 5 \) cm'dir.
- \( LM > KL \) olduğundan, \( \hat{K} > \hat{M} \) olmalıdır. Yani \( \hat{K} > 80^\circ \) olmalıdır.
- Ancak, \( \hat{M} = 80^\circ \) geniş açı olduğundan, diğer iki açının toplamı \( 100^\circ \) olmalıdır.
- Eğer \( \hat{K} > 80^\circ \) olursa, \( \hat{L} \) negatif olur ki bu mümkün değildir.
- Burada bir hata var. Soruyu tekrar gözden geçirelim.
- Soruda verilenler: \( KL = 5 \), \( LM = 7 \), \( \hat{M} = 80^\circ \).
- \( \hat{M} = 80^\circ \) olduğundan, \( \hat{K} \) ve \( \hat{L} \) açıları dar açılar olmalıdır.
- \( \hat{K} + \hat{L} = 100^\circ \).
- \( \hat{M} \) açısının karşısındaki kenar \( KL = 5 \) cm.
- \( \hat{K} \) açısının karşısındaki kenar \( LM = 7 \) cm.
- \( \hat{L} \) açısının karşısındaki kenar \( KM \) (2 ile 7 arasında).
- \( LM > KL \) olduğundan, \( \hat{K} > \hat{M} \) olmalıdır. Bu \( \hat{K} > 80^\circ \) anlamına gelir.
- Ancak \( \hat{K} + \hat{L} = 100^\circ \) ve \( \hat{L} > 0 \) olduğundan, \( \hat{K} \) en fazla \( 99^\circ \) olabilir.
- Bu iki koşul birbiriyle çelişiyor. Soruda bir hata olabilir veya "Sinüs teoremi kullanılmadan" ibaresi bizi yanıltıyor.
- Eğer soru "en küçük açının alabileceği en büyük tam sayı değeri" şeklinde olsaydı daha anlamlı olurdu.
- Mevcut haliyle, \( \hat{K} > \hat{M} \) olması gerektiği için \( \hat{K} > 80^\circ \) olmalıdır.
- Aynı zamanda \( \hat{K} < 100^\circ \) olmalıdır.
- \( \hat{K} \) açısının alabileceği en büyük tam sayı değeri 99'dur.
- Bu durumda \( \hat{L} = 1^\circ \) olur.
- Kontrol edelim: \( \hat{K} = 99^\circ, \hat{L} = 1^\circ, \hat{M} = 80^\circ \). Toplam \( 180^\circ \).
- Kenar uzunlukları: \( LM = 7 \) (karşısı \( \hat{K} \)), \( KL = 5 \) (karşısı \( \hat{L} \)).
- \( \hat{K} > \hat{M} \) olmalıydı, yani \( 99^\circ > 80^\circ \) (doğru).
- \( \hat{M} > \hat{L} \) olmalıydı, yani \( 80^\circ > 1^\circ \) (doğru).
- \( LM > KL \) olmalıydı, yani \( 7 > 5 \) (doğru).
- Bu durumda \( \hat{K} \) açısının alabileceği en büyük tam sayı değeri 99'dur. ✅
Örnek 8:
Bir bisiklet yarışı parkuru, A noktasından başlayıp B noktasına giden düz bir yol, B noktasından C noktasına giden bir yokuş ve C noktasından tekrar A noktasına dönen bir inişten oluşmaktadır. A noktasındaki açı \( 60^\circ \), B noktasındaki açı \( 75^\circ \) olarak verilmiştir. Parkurun en uzun etabının hangi iki nokta arasında olduğunu belirleyiniz. 🚴
Çözüm:
- Parkur, A, B ve C noktalarını birleştiren bir üçgen oluşturmaktadır.
- Üçgenin A açısı \( \hat{A} = 60^\circ \) ve B açısı \( \hat{B} = 75^\circ \) olarak verilmiş.
- Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, C açısını bulabiliriz:
- \( \hat{C} = 180^\circ - (\hat{A} + \hat{B}) \)
- \( \hat{C} = 180^\circ - (60^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \)
- Açıları büyükten küçüğe sıralayalım: \( \hat{B} (75^\circ) > \hat{A} (60^\circ) > \hat{C} (45^\circ) \)
- Üçgende en büyük açının karşısındaki kenar en uzundur.
- Bu durumda en uzun kenar, \( \hat{B} \) açısının karşısındaki AC kenarıdır.
- Yani parkurun en uzun etabı A ve C noktaları arasındaki iniş bölümüdür. ✅
Örnek 9:
Bir gemi kaptanı, ufukta gördüğü iki farklı geminin (X ve Y) konumunu belirlemek istiyor. Kendi gemisinin bulunduğu noktaya P diyelim. Kaptan, P noktasındaki açıyı \( 40^\circ \) olarak ölçüyor. X gemisine olan uzaklık 10 km, Y gemisine olan uzaklık ise 15 km'dir. Hangi geminin kaptana daha yakın olduğunu nasıl anlar? 🚢
Çözüm:
- Bu durum, P, X ve Y noktalarının oluşturduğu bir üçgen olarak düşünülebilir.
- Kaptan gemisinin bulunduğu nokta P'dir.
- P noktasındaki açı \( \hat{P} = 40^\circ \) olarak ölçülmüş.
- PX mesafesi 10 km ve PY mesafesi 15 km'dir.
- Üçgende kenar-açı ilişkisine göre, küçük açının karşısındaki kenar daha kısadır ve büyük açının karşısındaki kenar daha uzundur.
- Burada verilenler kenar uzunlukları ve bir açı.
- Soruda "hangi geminin kaptana daha yakın olduğu" soruluyor.
- Kaptan gemisi P'de olduğuna göre, X gemisine olan uzaklık PX = 10 km ve Y gemisine olan uzaklık PY = 15 km'dir.
- Doğrudan uzaklıklar verildiği için, daha küçük olan uzaklık kaptana daha yakın olan gemiyi gösterir.
- 10 km < 15 km olduğundan, X gemisi kaptana daha yakındır. ✅
- Eğer soru, "hangi açının daha büyük olduğunu belirleyiniz" şeklinde olsaydı, \( \hat{P} = 40^\circ \) açısının karşısındaki XY kenarının uzunluğunu bilmemiz gerekirdi. Ama burada doğrudan uzaklıklar verilmiş.
Örnek 10:
Bir ikizkenar üçgenin tepe açısı \( 100^\circ \) ise, diğer iki açısı kaçar derecedir? 📐
Çözüm:
- İkizkenar üçgende tepe açısı dışındaki iki açı birbirine eşittir.
- Bu iki açıya \( x \) diyelim.
- Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olmalıdır.
- \( 100^\circ + x + x = 180^\circ \)
- \( 100^\circ + 2x = 180^\circ \)
- \( 2x = 180^\circ - 100^\circ \)
- \( 2x = 80^\circ \)
- \( x = 40^\circ \)
- O halde diğer iki açı 40'ar derecedir. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgende-kenar-aci-iliskisi/sorular