🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgende Eşlik Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgende Eşlik Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni veriliyor.
Aşağıdaki verilen bilgilere göre bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz ve eşlik kuralını açıklayınız. 📌
Verilenler:
\( |AB| = 5 \) cm
\( |BC| = 7 \) cm
\( m(\angle B) = 60^\circ \)
\( |DE| = 5 \) cm
\( |EF| = 7 \) cm
\( m(\angle E) = 60^\circ \)
Aşağıdaki verilen bilgilere göre bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz ve eşlik kuralını açıklayınız. 📌
Verilenler:
\( |AB| = 5 \) cm
\( |BC| = 7 \) cm
\( m(\angle B) = 60^\circ \)
\( |DE| = 5 \) cm
\( |EF| = 7 \) cm
\( m(\angle E) = 60^\circ \)
Çözüm:
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirlemek için Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşlik Kuralı'nı inceleyelim. 💡
✅ Görüldüğü gibi, iki üçgenin ikişer kenarı ve bu kenarlar arasındaki açıları birbirine eşittir.
Bu durumda KAK Eşlik Kuralı'na göre bu iki üçgen eştir. 🎉
Eşliği matematiksel olarak \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) şeklinde gösteririz.
- 👉 Kenar Eşliği: Üçgenlerin birer kenarları eşit mi? Evet, \( |AB| = |DE| = 5 \) cm.
- 👉 Açı Eşliği: Bu kenarlar arasındaki açılar eşit mi? Evet, \( m(\angle B) = m(\angle E) = 60^\circ \).
- 👉 Diğer Kenar Eşliği: Açıyı oluşturan diğer kenarlar eşit mi? Evet, \( |BC| = |EF| = 7 \) cm.
✅ Görüldüğü gibi, iki üçgenin ikişer kenarı ve bu kenarlar arasındaki açıları birbirine eşittir.
Bu durumda KAK Eşlik Kuralı'na göre bu iki üçgen eştir. 🎉
Eşliği matematiksel olarak \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) şeklinde gösteririz.
Örnek 2:
Bir KLM üçgeni ile bir PRS üçgeni veriliyor.
Aşağıdaki bilgilere göre bu iki üçgenin eş olup olmadığını ve hangi eşlik kuralına uyduğunu açıklayınız. 🧐
Verilenler:
\( m(\angle K) = 40^\circ \)
\( m(\angle L) = 80^\circ \)
\( |KL| = 10 \) cm
\( m(\angle P) = 40^\circ \)
\( m(\angle R) = 80^\circ \)
\( |PR| = 10 \) cm
Aşağıdaki bilgilere göre bu iki üçgenin eş olup olmadığını ve hangi eşlik kuralına uyduğunu açıklayınız. 🧐
Verilenler:
\( m(\angle K) = 40^\circ \)
\( m(\angle L) = 80^\circ \)
\( |KL| = 10 \) cm
\( m(\angle P) = 40^\circ \)
\( m(\angle R) = 80^\circ \)
\( |PR| = 10 \) cm
Çözüm:
Bu üçgenlerin eşliğini Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşlik Kuralı ile inceleyelim. 🎯
✅ İki üçgenin ikişer açısı ve bu açılar arasındaki kenarları birbirine eşit olduğu için, AKA Eşlik Kuralı'na göre bu üçgenler eştir. 🤩
Eşliği \( \triangle KLM \cong \triangle PRS \) şeklinde yazarız.
- 👉 Açı Eşliği: Üçgenlerin birer açısı eşit mi? Evet, \( m(\angle K) = m(\angle P) = 40^\circ \).
- 👉 Kenar Eşliği: Bu açılar arasındaki kenarlar eşit mi? Evet, \( |KL| = |PR| = 10 \) cm.
- 👉 Diğer Açı Eşliği: Kenarı oluşturan diğer açılar eşit mi? Evet, \( m(\angle L) = m(\angle R) = 80^\circ \).
✅ İki üçgenin ikişer açısı ve bu açılar arasındaki kenarları birbirine eşit olduğu için, AKA Eşlik Kuralı'na göre bu üçgenler eştir. 🤩
Eşliği \( \triangle KLM \cong \triangle PRS \) şeklinde yazarız.
Örnek 3:
Bir XYZ üçgeni ile bir JKL üçgeni veriliyor.
Aşağıdaki bilgilere göre bu iki üçgenin eş olup olmadığını ve hangi eşlik kuralına uyduğunu açıklayınız. 🤔
Verilenler:
\( |XY| = 6 \) cm
\( |YZ| = 8 \) cm
\( |ZX| = 10 \) cm
\( |JK| = 6 \) cm
\( |KL| = 8 \) cm
\( |LJ| = 10 \) cm
Aşağıdaki bilgilere göre bu iki üçgenin eş olup olmadığını ve hangi eşlik kuralına uyduğunu açıklayınız. 🤔
Verilenler:
\( |XY| = 6 \) cm
\( |YZ| = 8 \) cm
\( |ZX| = 10 \) cm
\( |JK| = 6 \) cm
\( |KL| = 8 \) cm
\( |LJ| = 10 \) cm
Çözüm:
Bu iki üçgenin eşliğini Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşlik Kuralı ile kontrol edelim. 📏
✅ Görüldüğü üzere, her iki üçgenin karşılıklı tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir.
Bu durum, KKK Eşlik Kuralı'nı sağlamaktadır. Dolayısıyla \( \triangle XYZ \cong \triangle JKL \) olur. Harika! ✨
- 👉 Birinci Kenar Eşliği: \( |XY| = |JK| = 6 \) cm.
- 👉 İkinci Kenar Eşliği: \( |YZ| = |KL| = 8 \) cm.
- 👉 Üçüncü Kenar Eşliği: \( |ZX| = |LJ| = 10 \) cm.
✅ Görüldüğü üzere, her iki üçgenin karşılıklı tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir.
Bu durum, KKK Eşlik Kuralı'nı sağlamaktadır. Dolayısıyla \( \triangle XYZ \cong \triangle JKL \) olur. Harika! ✨
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = |AC| \) ve AD doğru parçası, BC kenarını D noktasında kesmektedir. 📐
Eğer AD doğru parçası, A açısının açıortayı ise, \( \triangle ABD \) ile \( \triangle ACD \) üçgenlerinin neden eş olduğunu açıklayınız.
Eğer AD doğru parçası, A açısının açıortayı ise, \( \triangle ABD \) ile \( \triangle ACD \) üçgenlerinin neden eş olduğunu açıklayınız.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için ikizkenar üçgen özelliklerini ve açıortay kavramını kullanacağız. 🧠
- 📌 Adım 1: Verilenleri Analiz Edelim.
Bize verilenler:- \( \triangle ABC \) bir ikizkenar üçgendir çünkü \( |AB| = |AC| \).
- AD doğru parçası, A açısının açıortayıdır. Bu demektir ki \( m(\angle BAD) = m(\angle CAD) \).
- AD kenarı, her iki üçgen için de ortak kenardır.
- 📌 Adım 2: Eşlik Kuralını Uygulayalım.
Şimdi \( \triangle ABD \) ve \( \triangle ACD \) üçgenlerini inceleyelim:- Kenar: \( |AB| = |AC| \) (Verilmiştir).
- Açı: \( m(\angle BAD) = m(\angle CAD) \) (AD açıortay olduğu için).
- Kenar: \( |AD| = |AD| \) (Ortak kenar).
- ✅ Sonuç: İki üçgenin ikişer kenarı ve bu kenarlar arasındaki açıları eşit olduğu için, Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşlik Kuralı'na göre \( \triangle ABD \cong \triangle ACD \) olur.
Bu eşlik sayesinde \( |BD| = |CD| \) ve \( m(\angle B) = m(\angle C) \) gibi sonuçlar da çıkarabiliriz.
Örnek 5:
Şekildeki ABCD dörtgeninde, E noktası AC köşegeninin orta noktasıdır. midpoint_of_AC
Ayrıca, \( |AE| = |EC| \) ve \( m(\angle BAE) = m(\angle DCE) \) olduğu biliniyor.
Eğer \( m(\angle ABE) = m(\angle CDE) \) ise, \( \triangle ABE \) ve \( \triangle CDE \) üçgenlerinin eş olduğunu ispatlayınız.
Ayrıca, \( |AE| = |EC| \) ve \( m(\angle BAE) = m(\angle DCE) \) olduğu biliniyor.
Eğer \( m(\angle ABE) = m(\angle CDE) \) ise, \( \triangle ABE \) ve \( \triangle CDE \) üçgenlerinin eş olduğunu ispatlayınız.
Çözüm:
Bu problemi Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşlik Kuralı ile çözeceğiz. 🔍
- 📌 Adım 1: Verilen Bilgileri Listeleyelim.
- \( |AE| = |EC| \) (E noktası AC'nin orta noktasıdır).
- \( m(\angle BAE) = m(\angle DCE) \) (Verilmiştir).
- \( m(\angle ABE) = m(\angle CDE) \) (Verilmiştir).
- 📌 Adım 2: Eşlik Kuralı İçin Gerekli Şartları Sağlayalım.
\( \triangle ABE \) ve \( \triangle CDE \) üçgenlerini karşılaştıralım:- Açı: \( m(\angle BAE) = m(\angle DCE) \) (Verildi).
- Kenar: \( |AE| = |EC| \) (Verildi).
- Açı: \( m(\angle AEB) \) ve \( m(\angle CED) \) açıları ters açılar olduğu için birbirine eşittir. Yani \( m(\angle AEB) = m(\angle CED) \).
- ✅ Sonuç: Gördüğümüz gibi, iki üçgenin ikişer açısı ve bu açılar arasındaki kenarları birbirine eşittir.
Bu durumda, AKA Eşlik Kuralı'na göre \( \triangle ABE \cong \triangle CDE \) olur. Bu eşlikten \( |AB| = |CD| \) ve \( |BE| = |DE| \) sonuçları da çıkarılabilir. Başarılı! 🌟
Örnek 6:
Bir mühendis, bir köprü inşaatında iki farklı destek elemanının aynı uzunlukta ve aynı açılarda yerleştirildiğini kontrol ediyor. 🌉
Destek elemanlarından biri olan AB çubuğunun uzunluğu \( 15 \) metre, diğer destek elemanı olan CD çubuğunun uzunluğu da \( 15 \) metredir.
AB çubuğunun zeminle yaptığı açı \( 70^\circ \) iken, CD çubuğunun zeminle yaptığı açı da \( 70^\circ \)dir.
Ayrıca, zemin üzerindeki B ve D noktalarından köprüye uzanan BE ve DF halatları vardır.
Eğer \( |BE| = |DF| \) ve bu halatlar da zeminle \( 40^\circ \) açı yapıyorsa, bu iki destek sisteminin (ABE üçgeni ve CDF üçgeni) eş olup olmadığını belirleyiniz.
Destek elemanlarından biri olan AB çubuğunun uzunluğu \( 15 \) metre, diğer destek elemanı olan CD çubuğunun uzunluğu da \( 15 \) metredir.
AB çubuğunun zeminle yaptığı açı \( 70^\circ \) iken, CD çubuğunun zeminle yaptığı açı da \( 70^\circ \)dir.
Ayrıca, zemin üzerindeki B ve D noktalarından köprüye uzanan BE ve DF halatları vardır.
Eğer \( |BE| = |DF| \) ve bu halatlar da zeminle \( 40^\circ \) açı yapıyorsa, bu iki destek sisteminin (ABE üçgeni ve CDF üçgeni) eş olup olmadığını belirleyiniz.
Çözüm:
Bu tür bir mühendislik probleminde eşlik kavramı, yapıların simetrisi ve dayanıklılığı için çok önemlidir. 🏗️
- 📌 Adım 1: Verilen Bilgileri Üçgenler Üzerinde Tanımlayalım.
İki üçgenimiz var: \( \triangle ABE \) ve \( \triangle CDF \).- Kenar: \( |AB| = 15 \) metre ve \( |CD| = 15 \) metre. Yani \( |AB| = |CD| \).
- Açı: AB çubuğunun zeminle yaptığı açı \( m(\angle BAE) = 70^\circ \). CD çubuğunun zeminle yaptığı açı \( m(\angle DCF) = 70^\circ \). (Burada A ve C noktaları köprünün üst kısmında, E ve F ise zeminde kabul edilmiştir. Soruda zeminle yapılan açı denildiği için, B ve D noktalarının zeminle temas ettiği varsayılabilir veya A ve C noktalarının köprünün üst kısmındaki bağlantı noktaları olduğu düşünülebilir. Genellikle destek çubukları zeminden yukarı doğru çıkar. Soruyu bu şekilde yorumlayalım: A ve C zemindeki noktalar, B ve D ise destek çubuklarının köprüye bağlandığı noktalar olsun. O zaman \( m(\angle CAB) = 70^\circ \) ve \( m(\angle ECD) = 70^\circ \) gibi olur. Ancak soruda "AB çubuğunun zeminle yaptığı açı" dendiği için, A noktasının zeminde olduğunu ve B noktasının yukarıda olduğunu varsayalım. Dolayısıyla \( m(\angle EAB) = 70^\circ \) ve \( m(\angle FCD) = 70^\circ \) olur.)
Halatların zeminle yaptığı açılar: \( m(\angle BEA) = 40^\circ \) ve \( m(\angle DFC) = 40^\circ \).
- 📌 Adım 2: Üçgenlerin Eşliğini İnceleyelim.
\( \triangle ABE \) ve \( \triangle CDF \) üçgenleri için:- Açı: \( m(\angle EAB) = m(\angle FCD) = 70^\circ \) (Verildi).
- Açı: \( m(\angle AEB) = m(\angle CFD) = 40^\circ \) (Verildi).
- Bu iki açıyı kullanarak üçüncü açıyı bulabiliriz:
\( m(\angle ABE) = 180^\circ - (70^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \).
\( m(\angle CDF) = 180^\circ - (70^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \).
Yani \( m(\angle ABE) = m(\angle CDF) = 70^\circ \). - Kenar: \( |AB| = |CD| = 15 \) metre (Verildi).
- ✅ Sonuç: Şimdi elimizde iki üçgenin ikişer açısı ve birer kenarı var. Bu durumda Açı-Açı-Kenar (AAK) Eşlik Kuralı'nı kullanabiliriz.
\( m(\angle EAB) = m(\angle FCD) \), \( m(\angle ABE) = m(\angle CDF) \) ve \( |AB| = |CD| \) olduğu için, \( \triangle ABE \cong \triangle CDF \) olur.
Mühendis, bu destek sistemlerinin eş olduğunu güvenle söyleyebilir! 🎉
Örnek 7:
Bir tasarımcı, bir logo için iki adet üçgen şekli kullanmak istiyor. 🎨
İlk üçgen (ABC), \( |AB| = 8 \) cm, \( |BC| = 10 \) cm ve \( |AC| = 6 \) cm kenar uzunluklarına sahiptir.
İkinci üçgen (DEF) ise, \( |DE| = 8 \) cm, \( |EF| = 10 \) cm ve \( |DF| = 6 \) cm kenar uzunluklarına sahiptir.
Tasarımcı, bu iki üçgenin aynı olduğunu (eş olduğunu) doğrulamak istiyor. Bu üçgenlerin eş olduğunu nasıl kanıtlarsınız?
İlk üçgen (ABC), \( |AB| = 8 \) cm, \( |BC| = 10 \) cm ve \( |AC| = 6 \) cm kenar uzunluklarına sahiptir.
İkinci üçgen (DEF) ise, \( |DE| = 8 \) cm, \( |EF| = 10 \) cm ve \( |DF| = 6 \) cm kenar uzunluklarına sahiptir.
Tasarımcı, bu iki üçgenin aynı olduğunu (eş olduğunu) doğrulamak istiyor. Bu üçgenlerin eş olduğunu nasıl kanıtlarsınız?
Çözüm:
Tasarımcının bu iki üçgenin eş olduğunu doğrulaması için Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşlik Kuralı'nı kullanabiliriz. 💡
- 📌 Adım 1: Üçgenlerin Kenar Uzunluklarını Karşılaştıralım.
- \( \triangle ABC \) için kenarlar: \( 8 \) cm, \( 10 \) cm, \( 6 \) cm.
- \( \triangle DEF \) için kenarlar: \( 8 \) cm, \( 10 \) cm, \( 6 \) cm.
- 📌 Adım 2: Karşılıklı Kenarların Eşliğini Belirleyelim.
- Birinci kenar: \( |AB| = |DE| = 8 \) cm.
- İkinci kenar: \( |BC| = |EF| = 10 \) cm.
- Üçüncü kenar: \( |AC| = |DF| = 6 \) cm.
- ✅ Sonuç: Her iki üçgenin de karşılıklı tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir.
Bu durum, KKK Eşlik Kuralı'nı doğrudan karşılamaktadır. Dolayısıyla, tasarımcı bu iki üçgenin birbirine eş olduğunu ve logonun simetrik bir şekilde tasarlandığını rahatlıkla doğrulayabilir. \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) 🎉
Örnek 8:
Bir marangoz, iki pencere pervazını aynı ölçülerde kesmek istiyor. 🔨
İlk pervaz için üçgen bir destek parçası hazırlıyor. Bu destek parçasının iki kenar uzunluğu \( 20 \) cm ve \( 30 \) cm, bu kenarlar arasındaki açı ise \( 90^\circ \) (dik açı) olarak belirleniyor.
İkinci pervaz için de aynı şekilde bir destek parçası hazırlayacak. Marangozun, ikinci destek parçasını da ilkine eş olacak şekilde kesmesi için hangi ölçüleri kullanması gerekir ve bu hangi eşlik kuralına örnektir?
İlk pervaz için üçgen bir destek parçası hazırlıyor. Bu destek parçasının iki kenar uzunluğu \( 20 \) cm ve \( 30 \) cm, bu kenarlar arasındaki açı ise \( 90^\circ \) (dik açı) olarak belirleniyor.
İkinci pervaz için de aynı şekilde bir destek parçası hazırlayacak. Marangozun, ikinci destek parçasını da ilkine eş olacak şekilde kesmesi için hangi ölçüleri kullanması gerekir ve bu hangi eşlik kuralına örnektir?
Çözüm:
Marangozun işini doğru yapması için eşlik kurallarını kullanması gerekir. 🛠️
- 📌 Adım 1: İlk Destek Parçasının Özelliklerini Belirleyelim.
İlk üçgen destek parçasının (diyelim ki \( \triangle ABC \)) özellikleri:- Birinci kenar: \( |AB| = 20 \) cm.
- İkinci kenar: \( |BC| = 30 \) cm.
- Bu iki kenar arasındaki açı: \( m(\angle B) = 90^\circ \).
- 📌 Adım 2: İkinci Destek Parçasını ( \( \triangle DEF \) ) Eş Yapmak İçin Gerekli Ölçüleri Bulalım.
Marangoz, ikinci destek parçasını ilkine eş yapabilmek için Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşlik Kuralı'nı uygulamalıdır.- İkinci üçgenin ( \( \triangle DEF \) ) de aynı kenar uzunluklarına ve bu kenarlar arasındaki aynı açıya sahip olması gerekir.
- Yani, \( |DE| = 20 \) cm olmalı.
- \( |EF| = 30 \) cm olmalı.
- Bu iki kenar arasındaki açı olan \( m(\angle E) = 90^\circ \) olmalı.
- ✅ Sonuç: Marangoz, ikinci destek parçasının kenarlarını \( 20 \) cm ve \( 30 \) cm, bu kenarlar arasındaki açıyı da \( 90^\circ \) olarak keserse, ilk destek parçasına tamamen eş bir parça elde etmiş olur. Bu durum, günlük hayatta KAK Eşlik Kuralı'nın bir uygulamasıdır. 📏 Böylece pencereler simetrik ve doğru bir şekilde monte edilebilir!
Örnek 9:
Bir mimar, bir binanın cephesinde tekrarlayan dekoratif üçgen paneller kullanmak istiyor. 🏢
Bu panellerden birinin tüm iç açıları \( 50^\circ, 60^\circ, 70^\circ \) olarak tasarlanıyor ve \( 60^\circ \) ile \( 70^\circ \) açıları arasındaki kenar uzunluğu \( 120 \) cm olarak belirleniyor.
Mimar, tüm panellerin birbirine tam olarak eş olmasını istiyor. İkinci bir panelin de ilkine eş olduğunu garantilemek için hangi ölçüleri kullanması gerekir ve bu hangi eşlik kuralına örnektir?
Bu panellerden birinin tüm iç açıları \( 50^\circ, 60^\circ, 70^\circ \) olarak tasarlanıyor ve \( 60^\circ \) ile \( 70^\circ \) açıları arasındaki kenar uzunluğu \( 120 \) cm olarak belirleniyor.
Mimar, tüm panellerin birbirine tam olarak eş olmasını istiyor. İkinci bir panelin de ilkine eş olduğunu garantilemek için hangi ölçüleri kullanması gerekir ve bu hangi eşlik kuralına örnektir?
Çözüm:
Mimarın tasarımında eşlik kavramı, estetik ve üretim kolaylığı açısından kritik öneme sahiptir. 📐
- 📌 Adım 1: İlk Panel Üçgeninin Özelliklerini Belirleyelim.
İlk dekoratif panelin (diyelim ki \( \triangle ABC \)) özellikleri:- İç açılar: \( m(\angle A) = 50^\circ \), \( m(\angle B) = 60^\circ \), \( m(\angle C) = 70^\circ \).
- \( 60^\circ \) ile \( 70^\circ \) açıları arasındaki kenar (yani \( |BC| \)) uzunluğu \( 120 \) cm.
- 📌 Adım 2: İkinci Paneli ( \( \triangle DEF \) ) Eş Yapmak İçin Gerekli Ölçüleri Bulalım.
Mimar, tüm panellerin eş olmasını istediği için Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşlik Kuralı'nı uygulamalıdır.- İkinci panelin de aynı iç açılara sahip olması gerekir: \( m(\angle D) = 50^\circ \), \( m(\angle E) = 60^\circ \), \( m(\angle F) = 70^\circ \).
- En önemlisi, \( 60^\circ \) ile \( 70^\circ \) açıları arasındaki kenar uzunluğunun da ilk paneldekiyle aynı olması gerekir. Yani \( |EF| = 120 \) cm olmalı.
- ✅ Sonuç: Mimar, ikinci paneli de \( 60^\circ \) ve \( 70^\circ \) açılarının arasındaki kenar uzunluğunu \( 120 \) cm olarak keser ve açıları da bu şekilde ayarlarsa, ilk panele tamamen eş bir panel elde etmiş olur. Bu durum, AKA Eşlik Kuralı'nın günlük hayattaki mükemmel bir örneğidir. 🤩 Bu sayede tüm paneller birbirinin aynı olacak ve binanın cephesi istediği gibi görünecektir!
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgende-eslik/sorular