🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgende Eşlik Ve Benzerlik Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgende Eşlik Ve Benzerlik Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni veriliyor.
Verilen bilgilere göre, bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyelim ve eşlerse eşlik kuralını yazalım.
👉 ABC üçgeninde:
Kenar uzunlukları: \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm
Açı ölçüsü: \( m(\widehat{B}) = 60^\circ \)
👉 DEF üçgeninde:
Kenar uzunlukları: \( |DE| = 5 \) cm, \( |EF| = 7 \) cm
Açı ölçüsü: \( m(\widehat{E}) = 60^\circ \)
Verilen bilgilere göre, bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyelim ve eşlerse eşlik kuralını yazalım.
👉 ABC üçgeninde:
Kenar uzunlukları: \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm
Açı ölçüsü: \( m(\widehat{B}) = 60^\circ \)
👉 DEF üçgeninde:
Kenar uzunlukları: \( |DE| = 5 \) cm, \( |EF| = 7 \) cm
Açı ölçüsü: \( m(\widehat{E}) = 60^\circ \)
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için üçgenlerde eşlik kurallarını hatırlayalım.
- 💡 Adım 1: Verilen kenar uzunluklarını ve açı ölçülerini karşılaştıralım.
- ABC üçgeninde \( |AB| = 5 \) cm iken, DEF üçgeninde \( |DE| = 5 \) cm'dir. Yani \( |AB| = |DE| \).
- ABC üçgeninde \( |BC| = 7 \) cm iken, DEF üçgeninde \( |EF| = 7 \) cm'dir. Yani \( |BC| = |EF| \).
- ABC üçgeninde \( m(\widehat{B}) = 60^\circ \) iken, DEF üçgeninde \( m(\widehat{E}) = 60^\circ \)dir. Yani \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) \).
- 📌 Adım 2: Eşlik kuralını belirleyelim.
- İki üçgenin ikişer kenarı ve bu kenarlar arasındaki açıları eşit olduğunda, bu üçgenler Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşlik Kuralı'na göre eştir.
- ✅ Sonuç: Verilen bilgilere göre, ABC üçgeni ile DEF üçgeni KAK Eşlik Kuralı'na göre eştir. Bu durumu \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) şeklinde gösteririz.
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde \( m(\widehat{A}) = 70^\circ \) ve \( m(\widehat{B}) = 50^\circ \) dir.
Bu üçgenin AB kenarının uzunluğu \( |AB| = 8 \) cm'dir.
Bir KLM üçgeninde \( m(\widehat{K}) = 70^\circ \) ve \( m(\widehat{L}) = 50^\circ \) dir.
Bu üçgenin KL kenarının uzunluğu \( |KL| = 8 \) cm'dir.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyip eşlik kuralını yazınız.
Bu üçgenin AB kenarının uzunluğu \( |AB| = 8 \) cm'dir.
Bir KLM üçgeninde \( m(\widehat{K}) = 70^\circ \) ve \( m(\widehat{L}) = 50^\circ \) dir.
Bu üçgenin KL kenarının uzunluğu \( |KL| = 8 \) cm'dir.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyip eşlik kuralını yazınız.
Çözüm:
Bu problemi çözmek için Açı-Kenar-Açı (AKA) eşlik kuralını kullanacağız.
- 💡 Adım 1: Verilen açıları ve kenar uzunluklarını karşılaştıralım.
- ABC üçgeninde \( m(\widehat{A}) = 70^\circ \) ve KLM üçgeninde \( m(\widehat{K}) = 70^\circ \). Demek ki \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{K}) \).
- ABC üçgeninde \( m(\widehat{B}) = 50^\circ \) ve KLM üçgeninde \( m(\widehat{L}) = 50^\circ \). Demek ki \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{L}) \).
- ABC üçgeninde \( |AB| = 8 \) cm ve KLM üçgeninde \( |KL| = 8 \) cm. Demek ki \( |AB| = |KL| \).
- 📌 Adım 2: Eşlik kuralını belirleyelim.
- Her iki üçgende de ikişer açıları ve bu açıların arasındaki kenar uzunlukları eşittir. Bu durum Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşlik Kuralı'na uyar.
- ✅ Sonuç: ABC üçgeni ile KLM üçgeni AKA Eşlik Kuralı'na göre eştir. Bu durumu \( \triangle ABC \cong \triangle KLM \) şeklinde ifade ederiz.
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde \( m(\widehat{A}) = 80^\circ \) ve \( m(\widehat{B}) = 40^\circ \) dir.
Bir DEF üçgeninde \( m(\widehat{D}) = 80^\circ \) ve \( m(\widehat{E}) = 40^\circ \) dir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyelim ve benzerlik kuralını yazalım.
Bir DEF üçgeninde \( m(\widehat{D}) = 80^\circ \) ve \( m(\widehat{E}) = 40^\circ \) dir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyelim ve benzerlik kuralını yazalım.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için üçgenlerde benzerlik kurallarını hatırlayalım.
- 💡 Adım 1: Verilen açı ölçülerini karşılaştıralım.
- ABC üçgeninde \( m(\widehat{A}) = 80^\circ \) iken, DEF üçgeninde \( m(\widehat{D}) = 80^\circ \)dir. Yani \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) \).
- ABC üçgeninde \( m(\widehat{B}) = 40^\circ \) iken, DEF üçgeninde \( m(\widehat{E}) = 40^\circ \)dir. Yani \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) \).
- 📌 Adım 2: Benzerlik kuralını belirleyelim.
- İki üçgenin karşılıklı iki açısı eşit ise, bu üçgenler Açı-Açı (AA) Benzerlik Kuralı'na göre benzerdir. Üçüncü açılar da otomatik olarak eşit olacaktır (çünkü üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) dir).
- ✅ Sonuç: Verilen bilgilere göre, ABC üçgeni ile DEF üçgeni AA Benzerlik Kuralı'na göre benzerdir. Bu durumu \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) şeklinde gösteririz.
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde, DE doğru parçası BC kenarına paraleldir. (Yani \( DE \parallel BC \)).
D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası AC kenarı üzerindedir.
Verilen uzunluklar şöyledir:
\( |AD| = 4 \) cm
\( |DB| = 6 \) cm
\( |AE| = 3 \) cm
Buna göre, \( |EC| \) uzunluğunu bulalım.
D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası AC kenarı üzerindedir.
Verilen uzunluklar şöyledir:
\( |AD| = 4 \) cm
\( |DB| = 6 \) cm
\( |AE| = 3 \) cm
Buna göre, \( |EC| \) uzunluğunu bulalım.
Çözüm:
Bu tür bir problem, Temel Benzerlik Teoremi (Thales Teoremi) ile çözülür.
- 💡 Adım 1: Temel Benzerlik Teoremi'ni uygulayalım.
- Eğer bir üçgende bir kenara paralel bir doğru çizilirse, bu doğru diğer iki kenarı orantılı olarak böler.
- Yani, \( \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \) eşitliği geçerlidir.
- 📌 Adım 2: Verilen değerleri formülde yerine koyalım.
- \( |AD| = 4 \) cm
- \( |DB| = 6 \) cm
- \( |AE| = 3 \) cm
- Formülümüz \( \frac{4}{6} = \frac{3}{|EC|} \) olur.
- 📈 Adım 3: Denklemi çözerek \( |EC| \) uzunluğunu bulalım.
- İçler dışlar çarpımı yaparsak: \( 4 \times |EC| = 6 \times 3 \)
- \( 4 \times |EC| = 18 \)
- \( |EC| = \frac{18}{4} \)
- \( |EC| = \frac{9}{2} \)
- \( |EC| = 4.5 \) cm
- ✅ Sonuç: \( |EC| \) uzunluğu \( 4.5 \) cm'dir.
Örnek 5:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni veriliyor.
👉 ABC üçgeninde:
Kenar uzunlukları: \( |AB| = 6 \) cm, \( |BC| = 9 \) cm
Açı ölçüsü: \( m(\widehat{B}) = 50^\circ \)
👉 DEF üçgeninde:
Kenar uzunlukları: \( |DE| = 4 \) cm, \( |EF| = 6 \) cm
Açı ölçüsü: \( m(\widehat{E}) = 50^\circ \)
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyelim ve benzerlik kuralını yazalım.
👉 ABC üçgeninde:
Kenar uzunlukları: \( |AB| = 6 \) cm, \( |BC| = 9 \) cm
Açı ölçüsü: \( m(\widehat{B}) = 50^\circ \)
👉 DEF üçgeninde:
Kenar uzunlukları: \( |DE| = 4 \) cm, \( |EF| = 6 \) cm
Açı ölçüsü: \( m(\widehat{E}) = 50^\circ \)
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyelim ve benzerlik kuralını yazalım.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Kenar-Açı-Kenar (KAK) benzerlik kuralını kullanacağız.
- 💡 Adım 1: Karşılıklı kenarların oranlarını ve aralarındaki açıları karşılaştıralım.
- Öncelikle açıları kontrol edelim: \( m(\widehat{B}) = 50^\circ \) ve \( m(\widehat{E}) = 50^\circ \). Açılar eşittir.
- Şimdi bu açıları oluşturan kenarların oranlarına bakalım:
- \( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)
- \( \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \)
- 📌 Adım 2: Benzerlik kuralını belirleyelim.
- İki üçgenin ikişer kenarının oranları eşit ve bu kenarlar arasındaki açılar eşit ise, bu üçgenler Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Kuralı'na göre benzerdir.
- ✅ Sonuç: Verilen bilgilere göre, ABC üçgeni ile DEF üçgeni KAK Benzerlik Kuralı'na göre benzerdir. Benzerlik oranı \( \frac{3}{2} \)dir. Bu durumu \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) şeklinde gösteririz.
Örnek 6:
Bir duvarın dibinde 3 metre uzunluğunda bir merdiven bulunmaktadır. Merdivenin ayağı duvardan 1.8 metre uzaktadır.
Aynı duvara, merdivenin ayağının bulunduğu noktadan 1 metre daha uzağa, yani duvardan toplam 2.8 metre uzağa, daha uzun bir merdiven dayandığında, bu merdivenin ucu, ilk merdivenin duvar üzerinde değdiği noktadan 0.5 metre daha yukarıya ulaşmaktadır.
İlk merdivenin duvar üzerinde ulaştığı yüksekliği ve ikinci merdivenin uzunluğunu bulmak için üçgenlerde benzerlik veya Pisagor teoremi kullanılabilir. Ancak burada Pisagor teoremini doğrudan kullanmıyoruz, sadece benzerlik kavramına odaklanıyoruz.
Bu soruyu çözmek için, durumu iki dik üçgen olarak hayal edelim ve benzerlikten faydalanalım. (Not: 9. sınıf müfredatında Pisagor Teoremi de yer almaktadır.)
Öncelikle ilk merdivenin duvarda ulaştığı yüksekliği bulalım. Ardından ikinci merdivenle oluşan durumu değerlendirip benzerlikten faydalanarak ikinci merdivenin boyunu bulmaya çalışalım.
Aynı duvara, merdivenin ayağının bulunduğu noktadan 1 metre daha uzağa, yani duvardan toplam 2.8 metre uzağa, daha uzun bir merdiven dayandığında, bu merdivenin ucu, ilk merdivenin duvar üzerinde değdiği noktadan 0.5 metre daha yukarıya ulaşmaktadır.
İlk merdivenin duvar üzerinde ulaştığı yüksekliği ve ikinci merdivenin uzunluğunu bulmak için üçgenlerde benzerlik veya Pisagor teoremi kullanılabilir. Ancak burada Pisagor teoremini doğrudan kullanmıyoruz, sadece benzerlik kavramına odaklanıyoruz.
Bu soruyu çözmek için, durumu iki dik üçgen olarak hayal edelim ve benzerlikten faydalanalım. (Not: 9. sınıf müfredatında Pisagor Teoremi de yer almaktadır.)
Öncelikle ilk merdivenin duvarda ulaştığı yüksekliği bulalım. Ardından ikinci merdivenle oluşan durumu değerlendirip benzerlikten faydalanarak ikinci merdivenin boyunu bulmaya çalışalım.
Çözüm:
Bu bir "Günlük Hayattan Örnek" olup, iki farklı dik üçgen durumu üzerinden çözülecektir.
- 💡 Adım 1: İlk merdivenin yüksekliğini bulalım.
- İlk merdiven, duvar ve yer ile bir dik üçgen oluşturur. Merdiven hipotenüs, duvar yüksekliği ve yerdeki uzaklık dik kenarlardır.
- Merdiven uzunluğu \( c_1 = 3 \) m, yerdeki uzaklık \( a_1 = 1.8 \) m. Duvar yüksekliği \( h_1 \) olsun.
- Pisagor Teoremi'ne göre: \( a_1^2 + h_1^2 = c_1^2 \)
- \( (1.8)^2 + h_1^2 = 3^2 \)
- \( 3.24 + h_1^2 = 9 \)
- \( h_1^2 = 9 - 3.24 \)
- \( h_1^2 = 5.76 \)
- \( h_1 = \sqrt{5.76} = 2.4 \) metre.
- Demek ki, ilk merdivenin duvarda ulaştığı yükseklik \( 2.4 \) metredir.
- 📌 Adım 2: İkinci merdivenin duvarda ulaştığı yüksekliği bulalım.
- İkinci merdiven, ilk merdivenin ulaştığı noktadan \( 0.5 \) metre daha yukarıya ulaşıyor.
- Yani ikinci merdivenin ulaştığı yükseklik \( h_2 = h_1 + 0.5 = 2.4 + 0.5 = 2.9 \) metredir.
- 📈 Adım 3: İkinci merdivenin yerdeki uzaklığını bulalım.
- İkinci merdivenin ayağı, ilk merdivenin ayağının bulunduğu noktadan 1 metre daha uzakta.
- Yani ikinci merdivenin yerdeki uzaklığı \( a_2 = a_1 + 1 = 1.8 + 1 = 2.8 \) metredir.
- 🔍 Adım 4: İkinci merdivenin uzunluğunu bulalım.
- İkinci merdiven de duvar ve yer ile bir dik üçgen oluşturur. Yer uzaklığı \( a_2 = 2.8 \) m, duvar yüksekliği \( h_2 = 2.9 \) m. Merdiven uzunluğu \( c_2 \) olsun.
- Pisagor Teoremi'ne göre: \( a_2^2 + h_2^2 = c_2^2 \)
- \( (2.8)^2 + (2.9)^2 = c_2^2 \)
- \( 7.84 + 8.41 = c_2^2 \)
- \( 16.25 = c_2^2 \)
- \( c_2 = \sqrt{16.25} \) metre. Bu değeri yaklaşık olarak \( 4.03 \) metre olarak alabiliriz.
- ✅ Sonuç: İlk merdivenin ulaştığı yükseklik \( 2.4 \) metre, ikinci merdivenin uzunluğu yaklaşık olarak \( \sqrt{16.25} \) metredir. (Bu soruda benzerlikten ziyade Pisagor daha doğal olsa da, benzerlik sorusu olarak kurulduğunda iki farklı dik üçgenin oranları karşılaştırılabilir, ancak burada oranlar eşit olmadığı için benzerlik yoktur. Ancak benzerlik olmasa bile, her bir durumu ayrı ayrı dik üçgen olarak ele alıp hesaplama yapabiliriz. Soru metnindeki "benzerlikten faydalanalım" kısmı, iki farklı senaryoda oluşan dik üçgenleri karşılaştırma ve oranlama fikrine yönlendirse de, burada direkt bir benzerlik durumu oluşmamıştır. Bu durum, öğrencilerin her zaman benzerlik aramak yerine doğru teoremi seçmelerinin önemini gösterir.)
Örnek 7:
Bir A noktasında bulunan bir kişi, karşısındaki bir binanın yüksekliğini tahmin etmek istiyor.
Kişi, A noktasından binaya doğru 10 metre yürüdüğünde B noktasına geliyor. B noktasında, yerden 1.5 metre yüksekliğindeki bir direğin tepesi ile binanın tepesi aynı hizada görünüyor.
A noktasından direğe olan uzaklık 5 metredir.
Bu bilgilere göre, binanın yüksekliğini tahmin edelim. (Göz hizasını yerden 0 metre olarak kabul ediniz.)
Kişi, A noktasından binaya doğru 10 metre yürüdüğünde B noktasına geliyor. B noktasında, yerden 1.5 metre yüksekliğindeki bir direğin tepesi ile binanın tepesi aynı hizada görünüyor.
A noktasından direğe olan uzaklık 5 metredir.
Bu bilgilere göre, binanın yüksekliğini tahmin edelim. (Göz hizasını yerden 0 metre olarak kabul ediniz.)
Çözüm:
Bu problem, benzer üçgenler kullanarak çözülebilecek tipik bir günlük hayat uygulamasıdır.
- 💡 Adım 1: Oluşan üçgenleri tanımlayalım.
- Göz hizasını yer seviyesi olarak kabul ettiğimizde, A noktasından binanın tepesine ve direğin tepesine uzanan hayali doğrular, yer seviyesi ile iki benzer dik üçgen oluşturur.
- Küçük üçgen: Direğin yerden yüksekliği (dikey kenar) ve A noktasından direğe olan yatay uzaklık (yatay kenar) ile oluşur.
- Büyük üçgen: Binanın yerden yüksekliği (dikey kenar) ve A noktasından binaya olan yatay uzaklık (yatay kenar) ile oluşur.
- 📌 Adım 2: Verilen değerleri belirleyelim.
- Direğin yüksekliği \( h_d = 1.5 \) m.
- A noktasından direğe olan uzaklık \( d_d = 5 \) m.
- A noktasından binaya olan uzaklık \( d_b = 5 + 10 = 15 \) m. (Direkten sonra 10 metre daha yürünmüş.)
- Binanın yüksekliği \( h_b \) olsun.
- 📈 Adım 3: Benzerlik oranını kullanalım.
- Küçük üçgen ile büyük üçgen benzerdir (AA benzerliği, çünkü her ikisi de yere dik ve tepe açısı ortaktır).
- Benzerlik oranına göre: \( \frac{\text{direğin yüksekliği}}{\text{binanın yüksekliği}} = \frac{\text{direğe olan uzaklık}}{\text{binaya olan uzaklık}} \)
- Yani, \( \frac{h_d}{h_b} = \frac{d_d}{d_b} \)
- Verilen değerleri yerine koyalım: \( \frac{1.5}{h_b} = \frac{5}{15} \)
- Denklemi sadeleştirelim: \( \frac{1.5}{h_b} = \frac{1}{3} \)
- 📊 Adım 4: Binanın yüksekliğini hesaplayalım.
- İçler dışlar çarpımı yaparak \( h_b \)'yi bulalım: \( 1 \times h_b = 1.5 \times 3 \)
- \( h_b = 4.5 \) metre.
- ✅ Sonuç: Binanın yüksekliği \( 4.5 \) metredir.
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası AC kenarı üzerinde ve F noktası BC kenarı üzerinde bulunmaktadır.
\( |AD| = 3 \) cm, \( |DB| = 9 \) cm, \( |AE| = 4 \) cm, \( |EC| = 8 \) cm, \( |AF| = 5 \) cm ve \( |FC| = 10 \) cm'dir.
ABC üçgeni ile ADE üçgeni arasında bir benzerlik olup olmadığını KKK benzerlik kuralına göre inceleyelim.
\( |AD| = 3 \) cm, \( |DB| = 9 \) cm, \( |AE| = 4 \) cm, \( |EC| = 8 \) cm, \( |AF| = 5 \) cm ve \( |FC| = 10 \) cm'dir.
ABC üçgeni ile ADE üçgeni arasında bir benzerlik olup olmadığını KKK benzerlik kuralına göre inceleyelim.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Kenar-Kenar-Kenar (KKK) benzerlik kuralını kullanacağız. Bu kurala göre, iki üçgenin karşılıklı kenarlarının oranları eşitse, bu üçgenler benzerdir.
- 💡 Adım 1: ADE üçgeninin kenar uzunluklarını belirleyelim.
- \( |AD| = 3 \) cm
- \( |AE| = 4 \) cm
- Ancak \( |DE| \) uzunluğu verilmemiş. KKK benzerliği için her iki üçgenin de üç kenar uzunluğuna ihtiyacımız var.
- 📌 Adım 2: ABC üçgeninin kenar uzunluklarını belirleyelim.
- \( |AB| = |AD| + |DB| = 3 + 9 = 12 \) cm
- \( |AC| = |AE| + |EC| = 4 + 8 = 12 \) cm
- \( |BC| = |BF| + |FC| \) şeklinde verilmemiş, sadece \( |AF| \) ve \( |FC| \) verilmiş. Bu bilgilere göre \( |BC| \) hakkında doğrudan bilgiye sahip değiliz. Bu durumda, ADE üçgeni ile ABC üçgeni arasında KKK benzerliği kurmak için yeterli bilgiye sahip değiliz.
- ⚠️ Düzeltme ve Yeniden Değerlendirme: Soru metninde bir hata veya eksiklik var. KKK benzerliği için her iki üçgenin de 3 kenar uzunluğu bilinmelidir. ADE üçgeninin \( |DE| \) kenarı ve ABC üçgeninin \( |BC| \) kenarı doğrudan verilmemiştir. Ancak, eğer soru ADE ile ABC üçgeni arasında Kenar-Açı-Kenar (KAK) benzerliği kurmayı hedefliyorsa, o zaman açı bilgisi gereklidir.
Soru KKK benzerliği dediği için, elimizdeki verilerle KKK benzerliğini direkt kuramayız. Ancak, Temel Benzerlik Teoremi veya AA Benzerliği ile benzerlik olup olmadığını kontrol edebiliriz. Eğer D ve E noktaları kenarlar üzerinde ve \( DE \parallel BC \) ise, o zaman ADE üçgeni ile ABC üçgeni AA benzerliği ile benzer olurdu. Bu durumda kenar oranları eşit olurdu. - 👉 Adım 3: Kenar oranlarını kontrol edelim (eğer bir benzerlik varsa).
- \( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \)
- \( \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \)
- Bu oranlar eşit değildir (\( \frac{1}{4} \neq \frac{1}{3} \)).
- ✅ Sonuç: Kenar oranları eşit olmadığı için (yani \( \frac{|AD|}{|AB|} \neq \frac{|AE|}{|AC|} \)), ADE üçgeni ile ABC üçgeni arasında benzerlik yoktur. Bu durumda KKK benzerliği de sağlanmaz. Soru metnindeki \( |AF| \) ve \( |FC| \) bilgileri de bu benzerlik için doğrudan kullanılmamaktadır. Bu tür sorular, öğrencilerin tüm bilgileri kullanmak yerine doğru kuralı ve gerekli bilgiyi seçmelerini öğretir.
Örnek 9:
Bir mühendis, bir köprünün modelini yaparken, köprü ayaklarının belirli bir oranda küçültülmüş kopyalarını kullanmaktadır.
Gerçek köprünün bir ayağının yüksekliği \( 20 \) metre ve zemindeki genişliği \( 5 \) metredir.
Modelde kullanılan ayaklardan birinin yüksekliği \( 50 \) cm'dir.
Buna göre, modeldeki ayağın zemindeki genişliği kaç cm olmalıdır?
Gerçek köprünün bir ayağının yüksekliği \( 20 \) metre ve zemindeki genişliği \( 5 \) metredir.
Modelde kullanılan ayaklardan birinin yüksekliği \( 50 \) cm'dir.
Buna göre, modeldeki ayağın zemindeki genişliği kaç cm olmalıdır?
Çözüm:
Bu bir benzerlik problemidir. Gerçek köprü ayağı ile modeldeki köprü ayağı benzer geometrik şekillerdir.
- 💡 Adım 1: Verilen uzunlukları aynı birime çevirelim.
- Gerçek köprü ayağının yüksekliği \( H_g = 20 \) metre \( = 2000 \) cm.
- Gerçek köprü ayağının zemindeki genişliği \( G_g = 5 \) metre \( = 500 \) cm.
- Modeldeki ayağın yüksekliği \( H_m = 50 \) cm.
- Modeldeki ayağın zemindeki genişliği \( G_m \) olsun.
- 📌 Adım 2: Benzerlik oranını belirleyelim.
- İki benzer şekil arasında karşılıklı kenarların oranları sabittir. Bu sabite benzerlik oranı denir.
- \( \frac{H_m}{H_g} = \frac{G_m}{G_g} \)
- 📈 Adım 3: Bilinen değerleri formülde yerine koyalım.
- \( \frac{50}{2000} = \frac{G_m}{500} \)
- 📊 Adım 4: Denklemi çözerek \( G_m \)'yi bulalım.
- Önce sol tarafı sadeleştirelim: \( \frac{50}{2000} = \frac{1}{40} \)
- Yani, \( \frac{1}{40} = \frac{G_m}{500} \)
- İçler dışlar çarpımı yaparsak: \( 40 \times G_m = 1 \times 500 \)
- \( 40 \times G_m = 500 \)
- \( G_m = \frac{500}{40} \)
- \( G_m = \frac{50}{4} \)
- \( G_m = 12.5 \) cm.
- ✅ Sonuç: Modeldeki ayağın zemindeki genişliği \( 12.5 \) cm olmalıdır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgende-eslik-ve-benzerlik/sorular