🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgende Eşlik Benzerlik Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgende Eşlik Benzerlik Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni veriliyor. AB kenarının uzunluğu 5 cm, BC kenarının uzunluğu 7 cm ve AC kenarının uzunluğu 9 cm'dir. DEF üçgeninde DE kenarının uzunluğu 5 cm, EF kenarının uzunluğu 7 cm ve FD kenarının uzunluğu 9 cm'dir. Bu iki üçgenin eşliğini inceleyelim. 🤔
Çözüm:
- 📌 SSS Eşlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı tüm kenar uzunlukları birbirine eşitse, bu üçgenler eş üçgenlerdir.
- Verilen bilgilere göre, kenar uzunluklarını karşılaştıralım:
- AB = \( 5 \) cm ve DE = \( 5 \) cm. Yani \( |AB| = |DE| \). ✅
- BC = \( 7 \) cm ve EF = \( 7 \) cm. Yani \( |BC| = |EF| \). ✅
- AC = \( 9 \) cm ve FD = \( 9 \) cm. Yani \( |AC| = |FD| \). ✅
- Tüm karşılıklı kenar uzunlukları eşit olduğundan, ABC üçgeni ile DEF üçgeni SSS (Kenar-Kenar-Kenar) eşlik kuralına göre eştir.
- Bu durumu matematiksel olarak \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) şeklinde gösteririz. 💡
- Eş üçgenlerin karşılıklı açıları da birbirine eşittir. Örneğin, \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) \), \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) \) ve \( m(\widehat{C}) = m(\widehat{F}) \).
Örnek 2:
Bir ABC üçgeni ile bir KLM üçgeni veriliyor. \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{L}) = 60^\circ \), \( m(\widehat{C}) = m(\widehat{M}) = 40^\circ \) ve BC kenarının uzunluğu 8 cm'dir. Eğer KLM üçgeninde LM kenarının uzunluğu da 8 cm ise, bu iki üçgenin eşliğini inceleyip AC kenarının uzunluğunun KM kenarının uzunluğuna eşit olup olmadığını belirleyelim.
Çözüm:
- 📌 AKA Eşlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı iki açısı ve bu açılar arasındaki kenar uzunlukları birbirine eşitse, bu üçgenler eş üçgenlerdir.
- Verilen bilgilere göre:
- \( m(\widehat{B}) = 60^\circ \) ve \( m(\widehat{L}) = 60^\circ \). ✅
- \( m(\widehat{C}) = 40^\circ \) ve \( m(\widehat{M}) = 40^\circ \). ✅
- BC kenarı \( \widehat{B} \) ve \( \widehat{C} \) açıları arasındadır ve \( |BC| = 8 \) cm'dir.
- LM kenarı \( \widehat{L} \) ve \( \widehat{M} \) açıları arasındadır ve \( |LM| = 8 \) cm'dir. ✅
- İki üçgenin iki açısı ve bu açılar arasındaki kenar uzunlukları eşit olduğundan, ABC üçgeni ile KLM üçgeni AKA (Açı-Kenar-Açı) eşlik kuralına göre eştir.
- Bu durumu \( \triangle ABC \cong \triangle KLM \) şeklinde ifade ederiz.
- Eş üçgenlerde karşılıklı kenarların uzunlukları da eşit olacağından, AC kenarının uzunluğu KM kenarının uzunluğuna kesinlikle eşittir. Yani \( |AC| = |KM| \). 💡
Örnek 3:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni veriliyor. \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) = 70^\circ \) ve \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) = 50^\circ \) olarak verilmiştir. AB kenarının uzunluğu 6 cm, BC kenarının uzunluğu 9 cm ve DE kenarının uzunluğu 4 cm'dir. Buna göre EF kenarının uzunluğunu bulalım.
Çözüm:
- 📌 AA Benzerlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı iki açısı birbirine eşitse, bu üçgenler benzer üçgenlerdir. Üçüncü açılar da otomatik olarak eşit olacaktır.
- Verilen bilgilere göre:
- \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) = 70^\circ \). ✅
- \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) = 50^\circ \). ✅
- İki açısı eşit olduğundan \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) benzerdir.
- Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları sabittir. Bu orana benzerlik oranı denir.
- Açıların karşısındaki kenarları oranlayalım:
- Önce \( \widehat{C} \) açısını bulalım: \( m(\widehat{C}) = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
- Benzerlikten dolayı \( m(\widehat{F}) \) açısı da \( 60^\circ \) olacaktır.
- \( \widehat{C} \) açısının karşısındaki AB kenarı ile \( \widehat{F} \) açısının karşısındaki DE kenarını oranlayalım: \( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \). Bu benzerlik oranıdır.
- Şimdi \( \widehat{A} \) açısının karşısındaki BC kenarı ile \( \widehat{D} \) açısının karşısındaki EF kenarını oranlayalım. Bu oran da \( \frac{3}{2} \) olmalıdır.
- Yani \( \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{3}{2} \).
- Verilenleri yerine yazalım: \( \frac{9}{|EF|} = \frac{3}{2} \).
- İçler dışlar çarpımı yaparak \( 3 \cdot |EF| = 9 \cdot 2 \).
- \( 3 \cdot |EF| = 18 \).
- \( |EF| = \frac{18}{3} = 6 \) cm bulunur. 🎉
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde, DE doğru parçası BC kenarına paraleldir. D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası AC kenarı üzerindedir. AD kenarının uzunluğu 4 cm, DB kenarının uzunluğu 2 cm ve AE kenarının uzunluğu 6 cm'dir. Buna göre EC kenarının uzunluğunu bulalım.
Çözüm:
- 📌 Temel Benzerlik Teoremi (Thales Teoremi): Bir üçgenin bir kenarına paralel olan ve diğer iki kenarı kesen bir doğru, kestiği kenarlar üzerinde orantılı parçalar ayırır.
- Verilenler: DE // BC.
- Bu durumda \( \triangle ADE \) ile \( \triangle ABC \) benzerdir. Çünkü:
- \( \widehat{A} \) açısı her iki üçgende de ortaktır.
- DE // BC olduğundan, yöndeş açılardan \( m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ABC}) \) ve \( m(\widehat{AED}) = m(\widehat{ACB}) \).
- Yani AA benzerliği vardır: \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \).
- Benzerlik oranlarını yazalım:
- \( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|} \).
- Bizden EC uzunluğu isteniyor. \( |AC| = |AE| + |EC| \) olduğunu biliyoruz.
- Önce \( |AB| \) uzunluğunu bulalım: \( |AB| = |AD| + |DB| = 4 + 2 = 6 \) cm.
- Şimdi oranları kullanalım: \( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} \).
- Verilenleri yerine yazalım: \( \frac{4}{6} = \frac{6}{|AC|} \).
- Sadeleştirelim: \( \frac{2}{3} = \frac{6}{|AC|} \).
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 2 \cdot |AC| = 3 \cdot 6 \).
- \( 2 \cdot |AC| = 18 \).
- \( |AC| = 9 \) cm.
- Son olarak EC uzunluğunu bulalım: \( |EC| = |AC| - |AE| = 9 - 6 = 3 \) cm. 🎉
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde, D noktası BC kenarı üzerinde ve E noktası AC kenarı üzerindedir. \( m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ACB}) \) olarak verilmiştir. AB kenarının uzunluğu 10 cm, AD kenarının uzunluğu 8 cm ve AE kenarının uzunluğu 5 cm'dir. Buna göre AC kenarının uzunluğunu bulalım.
Çözüm:
- 💡 Bu tür sorularda, benzer üçgenleri doğru bir şekilde eşleştirmek önemlidir.
- \( \triangle ADE \) ve \( \triangle ABC \) üçgenlerini inceleyelim.
- 1. Açımız: \( \widehat{A} \) açısı her iki üçgen için de ortak açıdır. ✅
- 2. Açımız: Soruda verilen \( m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ACB}) \) eşitliği. ✅
- İki üçgenin iki açısı eşit olduğundan, AA benzerlik kuralına göre bu üçgenler benzerdir. Ancak açıların sıralaması önemlidir:
- \( A \leftrightarrow A \) (Ortak açı)
- \( D \leftrightarrow C \) (Verilen eşit açılar)
- \( E \leftrightarrow B \) (Geriye kalan açılar da eşit olmak zorundadır)
- Yani, \( \triangle ADE \sim \triangle ACB \) benzerliği vardır.
- Benzerlik oranını yazarken, eşit açıların karşısındaki kenarları oranlamalıyız:
- \( \frac{|AD| \text{ (ADE'de } \widehat{E} \text{ karşısı)}}{|AC| \text{ (ACB'de } \widehat{B} \text{ karşısı)}} = \frac{|AE| \text{ (ADE'de } \widehat{D} \text{ karşısı)}}{|AB| \text{ (ACB'de } \widehat{C} \text{ karşısı)}} = \frac{|DE| \text{ (ADE'de } \widehat{A} \text{ karşısı)}}{|CB| \text{ (ACB'de } \widehat{A} \text{ karşısı)}} \)
- Verilen kenarları yerine yazalım:
- \( |AB| = 10 \) cm
- \( |AD| = 8 \) cm
- \( |AE| = 5 \) cm
- Oranları oluşturalım: \( \frac{8}{|AC|} = \frac{5}{10} = \frac{|DE|}{|CB|} \).
- Benzerlik oranı \( k = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)'dir.
- Bizden AC kenarının uzunluğu isteniyor. İlk oranı kullanarak bulalım:
- \( \frac{8}{|AC|} = \frac{1}{2} \)
- İçler dışlar çarpımı yaparsak: \( |AC| = 8 \cdot 2 = 16 \) cm bulunur. 🎉
Örnek 6:
Bir ağacın boyunu ölçmek isteyen Ayşe, ağaçtan 10 metre uzakta duran bir direğe sırtını dayamıştır. Ayşe'nin direğe olan uzaklığı 2 metre, direğin boyu ise 3 metredir. Ayşe'nin göz hizası yerden 1.5 metredir. Ayşe direğin tepesinden bakarak ağacın tepesini görmektedir. Buna göre ağacın boyu kaç metredir? (Ayşe, direk ve ağaç aynı hizada ve yere diktir).
Çözüm:
- 💡 Bu problemde, Ayşe'nin göz hizasından çizilen yatay bir doğru ve ağaç ile direğin oluşturduğu dikey doğrular arasında benzer üçgenler oluşur.
- Önce verilen bilgileri düzenleyelim:
- Ayşe'nin göz hizası yerden: \( h_A = 1.5 \) m.
- Direğin boyu: \( h_D = 3 \) m.
- Direğin Ayşe'den uzaklığı: \( d_1 = 2 \) m.
- Ağacın direkten uzaklığı: \( d_2 = 10 \) m.
- Ayşe'nin göz hizasını referans alarak üçgenler oluşturalım:
- Direğin Ayşe'nin göz hizasının üzerindeki kısmı: \( h_D' = h_D - h_A = 3 - 1.5 = 1.5 \) m.
- Ağacın Ayşe'nin göz hizasının üzerindeki kısmı: \( h_{Agac}' \) (Bunu bulacağız).
- Ayşe'nin direğe olan yatay uzaklığı: \( D_1 = 2 \) m.
- Ayşe'nin ağaca olan toplam yatay uzaklığı: \( D_{toplam} = d_1 + d_2 = 2 + 10 = 12 \) m.
- Ayşe'nin göz hizasından direğe ve ağaca uzanan çizgiler, iki benzer üçgen oluşturur (AA Benzerliği).
- Küçük üçgen (Ayşe-Direk): Yüksekliği \( h_D' = 1.5 \) m, tabanı \( D_1 = 2 \) m.
- Büyük üçgen (Ayşe-Ağaç): Yüksekliği \( h_{Agac}' \), tabanı \( D_{toplam} = 12 \) m.
- Benzerlik oranını yazalım:
- \( \frac{\text{Küçük üçgenin yüksekliği}}{\text{Büyük üçgenin yüksekliği}} = \frac{\text{Küçük üçgenin tabanı}}{\text{Büyük üçgenin tabanı}} \)
- \( \frac{h_D'}{h_{Agac}'} = \frac{D_1}{D_{toplam}} \)
- \( \frac{1.5}{h_{Agac}'} = \frac{2}{12} \)
- \( \frac{1.5}{h_{Agac}'} = \frac{1}{6} \)
- İçler dışlar çarpımı yaparak \( h_{Agac}' = 1.5 \cdot 6 = 9 \) m.
- Bu bulduğumuz değer, ağacın Ayşe'nin göz hizasının üzerindeki kısmıdır.
- Ağacın toplam boyu = Ayşe'nin göz hizası + \( h_{Agac}' \).
- Ağacın boyu = \( 1.5 + 9 = 10.5 \) metredir. 🎉
Örnek 7:
Bir mimar, tasarladığı bir binanın maketini yapacaktır. Binanın gerçek yüksekliği 40 metre, genişliği 30 metre ve uzunluğu 60 metredir. Mimar, maketi \( 1:200 \) ölçeğinde yapmaya karar veriyor. Buna göre maketin yüksekliği, genişliği ve uzunluğu kaç cm olacaktır?
Çözüm:
- 📌 Ölçek: Bir harita veya modeldeki uzunluğun, gerçekteki uzunluğa oranıdır. Benzerlik oranı gibi düşünebiliriz.
- Verilen ölçek \( 1:200 \) demek, maketteki 1 birimin gerçekte 200 birime eşit olduğu anlamına gelir.
- Tüm ölçüleri aynı birime çevirelim. Gerçek ölçüler metre cinsinden, maket ölçüleri cm cinsinden isteniyor. \( 1 \) metre = \( 100 \) cm.
- Gerçek yükseklik: \( 40 \) m = \( 40 \cdot 100 = 4000 \) cm.
- Gerçek genişlik: \( 30 \) m = \( 30 \cdot 100 = 3000 \) cm.
- Gerçek uzunluk: \( 60 \) m = \( 60 \cdot 100 = 6000 \) cm.
- Şimdi her bir ölçüyü ölçek oranına göre bulalım:
- Maketin Yüksekliği:
\( \text{Maket Yüksekliği} = \frac{\text{Gerçek Yükseklik}}{\text{Ölçek Paydası}} = \frac{4000 \text{ cm}}{200} = 20 \) cm. ✅ - Maketin Genişliği:
\( \text{Maket Genişliği} = \frac{\text{Gerçek Genişlik}}{\text{Ölçek Paydası}} = \frac{3000 \text{ cm}}{200} = 15 \) cm. ✅ - Maketin Uzunluğu:
\( \text{Maket Uzunluğu} = \frac{\text{Gerçek Uzunluk}}{\text{Ölçek Paydası}} = \frac{6000 \text{ cm}}{200} = 30 \) cm. ✅ - Sonuç olarak, maketin boyutları: Yükseklik \( 20 \) cm, Genişlik \( 15 \) cm ve Uzunluk \( 30 \) cm olacaktır. 🏗️
Örnek 8:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni veriliyor. AB kenarının uzunluğu 6 cm, BC kenarının uzunluğu 9 cm ve \( m(\widehat{B}) = 50^\circ \)'dir. DEF üçgeninde DE kenarının uzunluğu 4 cm, EF kenarının uzunluğu 6 cm ve \( m(\widehat{E}) = 50^\circ \)'dir. Bu iki üçgenin benzerliğini inceleyip AC kenarının uzunluğunun DF kenarının uzunluğuna oranını bulalım.
Çözüm:
- 📌 KAK Benzerlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı iki kenarının uzunlukları orantılı ve bu kenarlar arasındaki açılar eşitse, bu üçgenler benzer üçgenlerdir.
- Verilen bilgilere göre:
- Açılar: \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) = 50^\circ \). ✅ (Açılar eşit)
- Kenarlar: Bu açıları çevreleyen kenarları oranlayalım.
- ABC üçgeninde \( \widehat{B} \) açısını çevreleyen kenarlar \( |AB| = 6 \) cm ve \( |BC| = 9 \) cm.
- DEF üçgeninde \( \widehat{E} \) açısını çevreleyen kenarlar \( |DE| = 4 \) cm ve \( |EF| = 6 \) cm.
- Oranları kontrol edelim:
- \( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \).
- \( \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \).
- Kenarların oranları eşit (\( \frac{3}{2} \)) ve bu kenarlar arasındaki açılar da eşit olduğundan, ABC üçgeni ile DEF üçgeni KAK (Kenar-Açı-Kenar) benzerlik kuralına göre benzerdir.
- Bu durumu \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) şeklinde gösteririz.
- Benzerlik oranı \( k = \frac{3}{2} \)'dir.
- Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları benzerlik oranına eşittir.
- Bizden AC kenarının DF kenarına oranı isteniyor. Bu oran da benzerlik oranına eşit olmalıdır.
- Yani \( \frac{|AC|}{|DF|} = k = \frac{3}{2} \). 🎉
Örnek 9:
Bir ABC üçgeninde, D noktası AB kenarı üzerinde ve E noktası AC kenarı üzerindedir. DE doğru parçası BC kenarına paralel değildir, ancak \( m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ABC}) \) ve \( m(\widehat{AED}) = m(\widehat{ACB}) \) olarak verilmiştir. AD kenarının uzunluğu 5 cm, AB kenarının uzunluğu 8 cm ve DE kenarının uzunluğu 4 cm'dir. Buna göre BC kenarının uzunluğunu bulalım.
Çözüm:
- 📌 AA Benzerlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı iki açısı birbirine eşitse, bu üçgenler benzer üçgenlerdir.
- Verilen bilgilere göre:
- \( m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ABC}) \). ✅
- \( m(\widehat{AED}) = m(\widehat{ACB}) \). ✅
- Ayrıca, \( \widehat{A} \) açısı her iki üçgende de ortaktır.
- Bu durumda, \( \triangle ADE \) ile \( \triangle ABC \) üçgenleri AA (Açı-Açı) benzerlik kuralına göre benzerdir.
- Benzerlik oranını yazarken, eşit açıların karşısındaki kenarları oranlarız:
- \( \frac{|AD| \text{ (ADE'de } \widehat{AED} \text{ karşısı)}}{|AB| \text{ (ABC'de } \widehat{ACB} \text{ karşısı)}} \) - Bu yanlış. Açıların karşısındaki kenarları doğru eşleştirelim.
- Doğru eşleştirme: \( \frac{|AD| \text{ (ADE'de } m(\widehat{AED}) \text{ karşısı)}}{|AC| \text{ (ABC'de } m(\widehat{ABC}) \text{ karşısı)}} = \frac{|AE| \text{ (ADE'de } m(\widehat{ADE}) \text{ karşısı)}}{|AB| \text{ (ABC'de } m(\widehat{ACB}) \text{ karşısı)}} = \frac{|DE| \text{ (ADE'de } m(\widehat{A}) \text{ karşısı)}}{|BC| \text{ (ABC'de } m(\widehat{A}) \text{ karşısı)}} \)
- Ancak, eğer \( m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ABC}) \) ve \( m(\widehat{AED}) = m(\widehat{ACB}) \) ise, bu zaten paralel doğruların (Temel Benzerlik Teoremi) koşuludur ve üçgenlerin benzerlik sırası \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) şeklindedir.
- Yani: \( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|} \).
- Verilenleri yerine yazalım:
- \( |AD| = 5 \) cm
- \( |AB| = 8 \) cm
- \( |DE| = 4 \) cm
- Benzerlik oranını bulalım: \( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{5}{8} \).
- Bu oran, diğer karşılıklı kenarlar için de geçerlidir. Bizden BC kenarının uzunluğu isteniyor:
- \( \frac{|DE|}{|BC|} = \frac{5}{8} \).
- \( \frac{4}{|BC|} = \frac{5}{8} \).
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 5 \cdot |BC| = 4 \cdot 8 \).
- \( 5 \cdot |BC| = 32 \).
- \( |BC| = \frac{32}{5} = 6.4 \) cm bulunur. 🎉
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgende-eslik-benzerlik/sorular