💡 9. Sınıf Matematik: Üçgende Eşitsizlik Çözümlü Örnekler

Üçgende iki kenar uzunluğu verildiğinde, üçüncü kenarın uzunluğu için eşitsizlik bağıntısı kullanılır. Bu bağıntı şöyledir:

• İki kenar uzunluğunun farkının mutlak değeri < \( |AC| \) < İki kenar uzunluğunun toplamı

Verilen kenar uzunlukları: \( |AB| = 7 \) ve \( |BC| = 10 \).
Bu durumda eşitsizliğimiz: \[ |10 - 7| < |AC| < 10 + 7 \] \[ 3 < |AC| < 17 \]
\( |AC| \) kenarının alabileceği tam sayılar 4, 5, 6, ..., 16'dır.
Bu tam sayıların toplamını bulmak için aritmetik dizi toplam formülünü kullanabiliriz veya basitçe terim sayısını bulup ortalamasıyla çarpabiliriz.
Terim sayısı: \( 16 - 4 + 1 = 13 \)
Toplam: \( \frac{13 \times (4 + 16)}{2} = \frac{13 \times 20}{2} = 13 \times 10 = 130 \)
Dolayısıyla, \( |AC| \) kenarının alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 130'dur. ✅

Üçgen eşitsizliğini kullanarak \( x \) için bir aralık bulmalıyız. Kenar uzunlukları \( a = x \), \( b = x+2 \) ve \( c = x+5 \) olsun.
En uzun kenar \( x+5 \) olduğundan, eşitsizlikleri bu kenara göre kurmak daha pratiktir:

• \( x+5 < x + (x+2) \)

Bu eşitsizliği çözelim: \[ x+5 < 2x + 2 \] \[ 5 - 2 < 2x - x \] \[ 3 < x \]
Ayrıca, her bir kenar uzunluğu pozitif olmalıdır:

• \( x > 0 \)
• \( x+2 > 0 \implies x > -2 \)
• \( x+5 > 0 \implies x > -5 \)

Bu koşulların hepsi birlikte \( x > 3 \) olmasını gerektirir.
Üçgenin çevresi \( Ç = x + (x+2) + (x+5) = 3x + 7 \) olur.
\( x > 3 \) olduğundan, çevrenin alabileceği en küçük tam sayı değerini bulmak için \( x \)'in en küçük tam sayı değerini, yani \( x=4 \) almalıyız.
Çevre \( Ç = 3(4) + 7 = 12 + 7 = 19 \) cm olur.
Dolayısıyla, bu üçgenin çevresinin alabileceği en küçük tam sayı değeri 19'dur. 💯

Üçgen eşitsizliğine göre, bir üçgenin bir kenar uzunluğu diğer iki kenar uzunluğunun toplamından küçük, farkından büyük olmalıdır.
\( |BC| \) kenarının uzunluğu için eşitsizliği yazalım: \[ |12 - 8| < |BC| < 12 + 8 \] \[ 4 < |BC| < 20 \]
Burada \( |BC| \) kenarının alabileceği tam sayı değerleri 5, 6, 7, ..., 19'dur.
Bu değerlerin sayısını bulmak için:

• Son terim - İlk terim + 1

Sayı = \( 19 - 5 + 1 = 15 \)
Yani, \( |BC| \) kenarının alabileceği 15 farklı tam sayı değeri vardır. 🔢

Bu problem, üçgen eşitsizliğinin bir uygulamasıdır. A, B ve C bankları bir üçgenin köşeleri olarak düşünülebilir.
Verilenler:

• \( |AB| = 60 \) metre
• \( |BC| = 80 \) metre

Aranan: \( |AC| \) kenarının alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı.
Üçgen eşitsizliğini uygulayalım: \[ |80 - 60| < |AC| < 80 + 60 \] \[ 20 < |AC| < 140 \]
\( |AC| \) kenarının alabileceği tam sayı değerleri 21, 22, ..., 139'dur.
Bu tam sayıların toplamını bulmak için aritmetik dizi formülünü kullanabiliriz.

• İlk terim: \( a_1 = 21 \)
• Son terim: \( a_n = 139 \)
• Terim sayısı: \( n = 139 - 21 + 1 = 119 \)

Toplam \( S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \)
\( S_{119} = \frac{119}{2} (21 + 139) \) \( S_{119} = \frac{119}{2} (160) \) \( S_{119} = 119 \times 80 \) \( S_{119} = 9520 \)
Bu nedenle, A ve C bankları arasındaki mesafenin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 9520 metredir. 🚶‍♀️

Bu durum, yine üçgen eşitsizliği ile çözülebilir. Ustabaşısının elindeki iki tel parçası, üçgenin iki kenarı olarak düşünülebilir.
Verilenler:

• Birinci tel uzunluğu = 10 metre
• İkinci tel uzunluğu = 15 metre

Üçüncü telin uzunluğunu \( x \) metre olarak kabul edelim.
Üçgen eşitsizliğine göre: \[ |15 - 10| < x < 15 + 10 \] \[ 5 < x < 25 \]
Burada \( x \), üçüncü telin uzunluğunu temsil etmektedir ve tam sayı olmalıdır.
\( x \) alabileceği tam sayılar: 6, 7, 8, ..., 24'tür.
Bu alabileceği farklı tam sayı değerlerinin sayısını bulmak için:

• Son terim - İlk terim + 1

Sayı = \( 24 - 6 + 1 = 19 \)
Dolayısıyla, üçüncü tel parçası 19 farklı tam sayı değeri alabilir. 🛠️

Üçgen eşitsizliğine göre, bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın toplamından küçük olmalıdır.
\( c < a + b \)
Verilen değerleri yerine koyalım: \[ c < 5 + 12 \] \[ c < 17 \]
\( c \) kenarının alabileceği en büyük tam sayı değeri, 17'den küçük olan en büyük tam sayıdır.
Bu değer 16'dır. ✅

Üçgen eşitsizliğini \( x \) kenarı için uygulayalım:

• İki kenarın farkının mutlak değeri < \( x \) < İki kenarın toplamı

Verilen kenar uzunlukları 9 ve 15'tir.
\[ |15 - 9| < x < 15 + 9 \] \[ 6 < x < 24 \]
\( x \) kenarının alabileceği tam sayı değerleri 7, 8, 9, ..., 23'tür.
Bu değerlerin sayısını bulmak için:

• Son terim - İlk terim + 1

Sayı = \( 23 - 7 + 1 = 17 \)
Yani, \( x \) için 17 farklı tam sayı değeri vardır. 👍

Öncelikle \( y \) kenarı için üçgen eşitsizliğini kuralım: \[ |14 - 10| < y < 14 + 10 \] \[ 4 < y < 24 \]
Bu eşitsizliğe göre:

• \( y \) kenarının alabileceği en küçük tam sayı değeri, 4'ten büyük en küçük tam sayıdır. Bu değer 5'tir.
• \( y \) kenarının alabileceği en büyük tam sayı değeri, 24'ten küçük en büyük tam sayıdır. Bu değer 23'tür.

Soruda istenen, bu iki değerin toplamıdır.
Toplam = En küçük tam sayı değeri + En büyük tam sayı değeri
Toplam = \( 5 + 23 = 28 \)
Dolayısıyla, \( |AC| \) kenarının alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerlerinin toplamı 28'dir. 🌟