Eğer \( KL = 8 \) cm, \( RS = 10 \) cm ve \( PR = 2x - 2 \) cm ise \( x \) değeri kaçtır? 📏
Çözüm ve Açıklama
Eşlik sembolünün sırası, hangi kenarların birbirine eşit olduğunu gösterir:
\( \triangle KLM \cong \triangle PRS \) ifadesinde birinci ve ikinci harfler (KL ve PR) birbirine karşılık gelir.
Bu durumda \( KL = PR \) olmalıdır.
Verilen değerleri yerine koyalım:
\( 8 = 2x - 2 \)
\( 8 + 2 = 2x \)
\( 10 = 2x \)
\( x = 5 \) bulunur. 💡
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir ABC üçgeninde \( AB = AC \) (ikizkenar üçgen) olarak verilmiştir. BC tabanı üzerinde, B köşesine olan uzaklığı ile C köşesine olan uzaklığı eşit olacak şekilde D ve E noktaları işaretleniyor (\( BD = CE \)).
Buna göre \( \triangle ABD \) ile \( \triangle ACE \) üçgenlerinin eş olup olmadığını Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.) kuralına göre inceleyiniz. 🧐
Çözüm ve Açıklama
İncelememizi şu adımlarla yapalım:
1. Kenar: Soruda \( AB = AC \) olduğu verilmiştir (İkizkenar üçgenin yan kenarları).
2. Açı: İkizkenar üçgende taban açıları eşittir. Bu nedenle \( m(B) = m(C) \) olur.
3. Kenar: Soruda \( BD = CE \) olduğu verilmiştir.
Sonuç olarak, her iki üçgende de ikişer kenar ve bu kenarlar arasındaki açılar eşittir.
Bu durum K.A.K. eşlik kuralını sağlar.
Dolayısıyla \( \triangle ABD \cong \triangle ACE \) sonucuna varılır. ✨
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
\( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) olduğu biliniyor.
ABC üçgeninin çevresi \( 36 \) cm, \( DE = 10 \) cm ve \( EF = 14 \) cm olduğuna göre, \( AC \) kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 🔍
Çözüm ve Açıklama
Eş üçgenlerin çevreleri ve karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir:
\( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) ise:
\( AB = DE = 10 \) cm
\( BC = EF = 14 \) cm
\( AC = DF \) cm
ABC üçgeninin çevresi: \( AB + BC + AC = 36 \) cm
Değerleri yerine yazalım: \( 10 + 14 + AC = 36 \)
\( 24 + AC = 36 \)
\( AC = 12 \) cm bulunur. ✅
5
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Bir ABCD karesi içerisinde, karenin [BC] ve [CD] kenarları üzerinde sırasıyla E ve F noktaları alınıyor. Eğer \( BE = CF \) ise \( \triangle ABE \) ve \( \triangle BCF \) üçgenlerinin eşliğini gösteriniz.
Bu eşliğe dayanarak \( AE \) ve \( BF \) uzunlukları arasındaki ilişki nedir? 🧠
Çözüm ve Açıklama
Karenin özelliklerini kullanarak eşliği ispatlayalım:
Kenar: ABCD bir kare olduğu için tüm kenarları eşittir. Dolayısıyla \( AB = BC \).
Açı: Karenin tüm iç açıları \( 90^\circ \)'dir. Dolayısıyla \( m(B) = m(C) = 90^\circ \).
Kenar: Soruda \( BE = CF \) olarak verilmiştir.
Bu üç veri (Kenar-Açı-Kenar) birleştiğinde:
\( \triangle ABE \cong \triangle BCF \) (K.A.K. kuralı) elde edilir.
Eş üçgenlerin karşılıklı tüm elemanları eşit olduğu için hipotenüs uzunlukları da eşittir:
Sonuç: \( AE = BF \) olur. 🚀
6
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir mobilya ustası, birbirinin tıpatıp aynısı olan iki adet üçgen raf tasarlıyor. Bu raflardan birincisinin açıları \( 40^\circ \) ve \( 60^\circ \), bu iki açının arasındaki kenar uzunluğu ise \( 50 \) cm'dir.
İkinci rafın da eş olması için \( 40^\circ \) ve \( 60^\circ \)'lik açılarının arasındaki kenar uzunluğu kaç cm olmalıdır? 🛠️
Çözüm ve Açıklama
Bu durum Açı-Kenar-Açı (A.K.A.) eşlik kuralı ile ilgilidir:
İki üçgenin (rafın) eş olabilmesi için karşılıklı ikişer açılarının ve bu açıların ortak olan kenarının eşit olması gerekir.
Birinci rafta \( 40^\circ \) ve \( 60^\circ \)'lik açıların arasındaki kenar \( 50 \) cm'dir.
İkinci rafın birinciyle eş (tıpatıp aynı) olması istendiği için, aynı açılar arasındaki kenar uzunluğu da birebir aynı olmalıdır.
Cevap: İkinci rafın kenar uzunluğu da \( 50 \) cm olmalıdır. 📏
7
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir izci kampında çocuklar, yere çaktıkları kazıklarla iki adet eş üçgensel bölge oluşturuyorlar. \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) olacak şekilde planlanan bu bölgelerde:
\( m(A) = 2x + 10^\circ \) ve \( m(D) = x + 40^\circ \) olduğu ölçülmüştür. Buna göre \( x \) açısı kaç derecedir? ⛺
Çözüm ve Açıklama
Yeni nesil sorularda eşlik tanımını doğrudan uygulamak yeterlidir:
Eşlik tanımına göre \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) ise, birinci sıradaki açılar birbirine eşittir.
Yani \( m(A) = m(D) \) olmalıdır.
Denklemi kuralım:
\( 2x + 10 = x + 40 \)
Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri diğer tarafa toplayalım:
\( 2x - x = 40 - 10 \)
\( x = 30^\circ \) bulunur. 🌟
8
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Bir ABC üçgeninde AB kenarı üzerinde bir D noktası, AC kenarı üzerinde bir E noktası alınıyor. \( \triangle ABE \cong \triangle ACD \) olduğu biliniyor.
Eğer \( m(ABE) = 20^\circ \) ve \( m(ADC) = 110^\circ \) ise, \( m(A) \) açısı kaç derecedir? 📐
Çözüm ve Açıklama
Eşlikten faydalanarak açıları taşıyalım:
\( \triangle ABE \cong \triangle ACD \) verildiğine göre karşılıklı açılar eşittir.
\( m(ABE) = m(ACD) = 20^\circ \)
\( m(AEB) = m(ADC) = 110^\circ \)
Şimdi sadece ABE üçgenine odaklanalım. Bir üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \)'dir:
\( m(A) + m(ABE) + m(AEB) = 180^\circ \)
\( m(A) + 20^\circ + 110^\circ = 180^\circ \)
\( m(A) + 130^\circ = 180^\circ \)
\( m(A) = 50^\circ \) olarak bulunur. 🎯
9. Sınıf Matematik: Üçgende eşitlik soru Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeni ile DEF üçgeni arasında yapılan bir eşlemede \( AB = DE \), \( BC = EF \) ve \( AC = DF \) olduğu biliniyor.
Eğer \( m(A) = 75^\circ \) ve \( m(E) = 45^\circ \) ise, \( m(C) \) açısının ölçüsü kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Bu soruyu adım adım çözelim:
Verilen bilgilere göre, her iki üçgenin de karşılıklı tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir.
Bu durum Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) eşlik kuralını sağlar. Yani \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) diyebiliriz. ✅
Eş üçgenlerde karşılıklı açıların ölçüleri de birbirine eşittir:
\( m(A) = m(D) = 75^\circ \)
\( m(B) = m(E) = 45^\circ \)
Bir üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan ABC üçgeni için:
Eğer \( KL = 8 \) cm, \( RS = 10 \) cm ve \( PR = 2x - 2 \) cm ise \( x \) değeri kaçtır? 📏
Çözüm:
Eşlik sembolünün sırası, hangi kenarların birbirine eşit olduğunu gösterir:
\( \triangle KLM \cong \triangle PRS \) ifadesinde birinci ve ikinci harfler (KL ve PR) birbirine karşılık gelir.
Bu durumda \( KL = PR \) olmalıdır.
Verilen değerleri yerine koyalım:
\( 8 = 2x - 2 \)
\( 8 + 2 = 2x \)
\( 10 = 2x \)
\( x = 5 \) bulunur. 💡
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde \( AB = AC \) (ikizkenar üçgen) olarak verilmiştir. BC tabanı üzerinde, B köşesine olan uzaklığı ile C köşesine olan uzaklığı eşit olacak şekilde D ve E noktaları işaretleniyor (\( BD = CE \)).
Buna göre \( \triangle ABD \) ile \( \triangle ACE \) üçgenlerinin eş olup olmadığını Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.) kuralına göre inceleyiniz. 🧐
Çözüm:
İncelememizi şu adımlarla yapalım:
1. Kenar: Soruda \( AB = AC \) olduğu verilmiştir (İkizkenar üçgenin yan kenarları).
2. Açı: İkizkenar üçgende taban açıları eşittir. Bu nedenle \( m(B) = m(C) \) olur.
3. Kenar: Soruda \( BD = CE \) olduğu verilmiştir.
Sonuç olarak, her iki üçgende de ikişer kenar ve bu kenarlar arasındaki açılar eşittir.
Bu durum K.A.K. eşlik kuralını sağlar.
Dolayısıyla \( \triangle ABD \cong \triangle ACE \) sonucuna varılır. ✨
Örnek 4:
\( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) olduğu biliniyor.
ABC üçgeninin çevresi \( 36 \) cm, \( DE = 10 \) cm ve \( EF = 14 \) cm olduğuna göre, \( AC \) kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 🔍
Çözüm:
Eş üçgenlerin çevreleri ve karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir:
\( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) ise:
\( AB = DE = 10 \) cm
\( BC = EF = 14 \) cm
\( AC = DF \) cm
ABC üçgeninin çevresi: \( AB + BC + AC = 36 \) cm
Değerleri yerine yazalım: \( 10 + 14 + AC = 36 \)
\( 24 + AC = 36 \)
\( AC = 12 \) cm bulunur. ✅
Örnek 5:
Bir ABCD karesi içerisinde, karenin [BC] ve [CD] kenarları üzerinde sırasıyla E ve F noktaları alınıyor. Eğer \( BE = CF \) ise \( \triangle ABE \) ve \( \triangle BCF \) üçgenlerinin eşliğini gösteriniz.
Bu eşliğe dayanarak \( AE \) ve \( BF \) uzunlukları arasındaki ilişki nedir? 🧠
Çözüm:
Karenin özelliklerini kullanarak eşliği ispatlayalım:
Kenar: ABCD bir kare olduğu için tüm kenarları eşittir. Dolayısıyla \( AB = BC \).
Açı: Karenin tüm iç açıları \( 90^\circ \)'dir. Dolayısıyla \( m(B) = m(C) = 90^\circ \).
Kenar: Soruda \( BE = CF \) olarak verilmiştir.
Bu üç veri (Kenar-Açı-Kenar) birleştiğinde:
\( \triangle ABE \cong \triangle BCF \) (K.A.K. kuralı) elde edilir.
Eş üçgenlerin karşılıklı tüm elemanları eşit olduğu için hipotenüs uzunlukları da eşittir:
Sonuç: \( AE = BF \) olur. 🚀
Örnek 6:
Bir mobilya ustası, birbirinin tıpatıp aynısı olan iki adet üçgen raf tasarlıyor. Bu raflardan birincisinin açıları \( 40^\circ \) ve \( 60^\circ \), bu iki açının arasındaki kenar uzunluğu ise \( 50 \) cm'dir.
İkinci rafın da eş olması için \( 40^\circ \) ve \( 60^\circ \)'lik açılarının arasındaki kenar uzunluğu kaç cm olmalıdır? 🛠️
Çözüm:
Bu durum Açı-Kenar-Açı (A.K.A.) eşlik kuralı ile ilgilidir:
İki üçgenin (rafın) eş olabilmesi için karşılıklı ikişer açılarının ve bu açıların ortak olan kenarının eşit olması gerekir.
Birinci rafta \( 40^\circ \) ve \( 60^\circ \)'lik açıların arasındaki kenar \( 50 \) cm'dir.
İkinci rafın birinciyle eş (tıpatıp aynı) olması istendiği için, aynı açılar arasındaki kenar uzunluğu da birebir aynı olmalıdır.
Cevap: İkinci rafın kenar uzunluğu da \( 50 \) cm olmalıdır. 📏
Örnek 7:
Bir izci kampında çocuklar, yere çaktıkları kazıklarla iki adet eş üçgensel bölge oluşturuyorlar. \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) olacak şekilde planlanan bu bölgelerde:
\( m(A) = 2x + 10^\circ \) ve \( m(D) = x + 40^\circ \) olduğu ölçülmüştür. Buna göre \( x \) açısı kaç derecedir? ⛺
Çözüm:
Yeni nesil sorularda eşlik tanımını doğrudan uygulamak yeterlidir:
Eşlik tanımına göre \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) ise, birinci sıradaki açılar birbirine eşittir.
Yani \( m(A) = m(D) \) olmalıdır.
Denklemi kuralım:
\( 2x + 10 = x + 40 \)
Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri diğer tarafa toplayalım:
\( 2x - x = 40 - 10 \)
\( x = 30^\circ \) bulunur. 🌟
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde AB kenarı üzerinde bir D noktası, AC kenarı üzerinde bir E noktası alınıyor. \( \triangle ABE \cong \triangle ACD \) olduğu biliniyor.
Eğer \( m(ABE) = 20^\circ \) ve \( m(ADC) = 110^\circ \) ise, \( m(A) \) açısı kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Eşlikten faydalanarak açıları taşıyalım:
\( \triangle ABE \cong \triangle ACD \) verildiğine göre karşılıklı açılar eşittir.
\( m(ABE) = m(ACD) = 20^\circ \)
\( m(AEB) = m(ADC) = 110^\circ \)
Şimdi sadece ABE üçgenine odaklanalım. Bir üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \)'dir: