💡 9. Sınıf Matematik: Üçgende eşitlik soru Çözümlü Örnekler

Bu soruyu adım adım çözelim:

• Verilen bilgilere göre, her iki üçgenin de karşılıklı tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir.
• Bu durum Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) eşlik kuralını sağlar. Yani \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) diyebiliriz. ✅
• Eş üçgenlerde karşılıklı açıların ölçüleri de birbirine eşittir:
• \( m(A) = m(D) = 75^\circ \)
• \( m(B) = m(E) = 45^\circ \)
• Bir üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan ABC üçgeni için:
• \( m(A) + m(B) + m(C) = 180^\circ \)
• \( 75^\circ + 45^\circ + m(C) = 180^\circ \)
• \( 120^\circ + m(C) = 180^\circ \)
• \( m(C) = 60^\circ \) olarak bulunur. 🎯

Eşlik sembolünün sırası, hangi kenarların birbirine eşit olduğunu gösterir:

• \( \triangle KLM \cong \triangle PRS \) ifadesinde birinci ve ikinci harfler (KL ve PR) birbirine karşılık gelir.
• Bu durumda \( KL = PR \) olmalıdır.
• Verilen değerleri yerine koyalım:
• \( 8 = 2x - 2 \)
• \( 8 + 2 = 2x \)
• \( 10 = 2x \)
• \( x = 5 \) bulunur. 💡

İncelememizi şu adımlarla yapalım:

• 1. Kenar: Soruda \( AB = AC \) olduğu verilmiştir (İkizkenar üçgenin yan kenarları).
• 2. Açı: İkizkenar üçgende taban açıları eşittir. Bu nedenle \( m(B) = m(C) \) olur.
• 3. Kenar: Soruda \( BD = CE \) olduğu verilmiştir.
• Sonuç olarak, her iki üçgende de ikişer kenar ve bu kenarlar arasındaki açılar eşittir.
• Bu durum K.A.K. eşlik kuralını sağlar.
• Dolayısıyla \( \triangle ABD \cong \triangle ACE \) sonucuna varılır. ✨

Eş üçgenlerin çevreleri ve karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir:

• \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) ise:
• \( AB = DE = 10 \) cm
• \( BC = EF = 14 \) cm
• \( AC = DF \) cm
• ABC üçgeninin çevresi: \( AB + BC + AC = 36 \) cm
• Değerleri yerine yazalım: \( 10 + 14 + AC = 36 \)
• \( 24 + AC = 36 \)
• \( AC = 12 \) cm bulunur. ✅

Karenin özelliklerini kullanarak eşliği ispatlayalım:

• Kenar: ABCD bir kare olduğu için tüm kenarları eşittir. Dolayısıyla \( AB = BC \).
• Açı: Karenin tüm iç açıları \( 90^\circ \)'dir. Dolayısıyla \( m(B) = m(C) = 90^\circ \).
• Kenar: Soruda \( BE = CF \) olarak verilmiştir.
• Bu üç veri (Kenar-Açı-Kenar) birleştiğinde:
• \( \triangle ABE \cong \triangle BCF \) (K.A.K. kuralı) elde edilir.
• Eş üçgenlerin karşılıklı tüm elemanları eşit olduğu için hipotenüs uzunlukları da eşittir:
• Sonuç: \( AE = BF \) olur. 🚀

Bu durum Açı-Kenar-Açı (A.K.A.) eşlik kuralı ile ilgilidir:

• İki üçgenin (rafın) eş olabilmesi için karşılıklı ikişer açılarının ve bu açıların ortak olan kenarının eşit olması gerekir.
• Birinci rafta \( 40^\circ \) ve \( 60^\circ \)'lik açıların arasındaki kenar \( 50 \) cm'dir.
• İkinci rafın birinciyle eş (tıpatıp aynı) olması istendiği için, aynı açılar arasındaki kenar uzunluğu da birebir aynı olmalıdır.
• Cevap: İkinci rafın kenar uzunluğu da \( 50 \) cm olmalıdır. 📏

Yeni nesil sorularda eşlik tanımını doğrudan uygulamak yeterlidir:

• Eşlik tanımına göre \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) ise, birinci sıradaki açılar birbirine eşittir.
• Yani \( m(A) = m(D) \) olmalıdır.
• Denklemi kuralım:
• \( 2x + 10 = x + 40 \)
• Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri diğer tarafa toplayalım:
• \( 2x - x = 40 - 10 \)
• \( x = 30^\circ \) bulunur. 🌟

Eşlikten faydalanarak açıları taşıyalım:

• \( \triangle ABE \cong \triangle ACD \) verildiğine göre karşılıklı açılar eşittir.
• \( m(ABE) = m(ACD) = 20^\circ \)
• \( m(AEB) = m(ADC) = 110^\circ \)
• Şimdi sadece ABE üçgenine odaklanalım. Bir üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \)'dir:
• \( m(A) + m(ABE) + m(AEB) = 180^\circ \)
• \( m(A) + 20^\circ + 110^\circ = 180^\circ \)
• \( m(A) + 130^\circ = 180^\circ \)
• \( m(A) = 50^\circ \) olarak bulunur. 🎯