🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgende Benzerlik Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgende Benzerlik Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 Bir ABC üçgeni ile bir ADE üçgeni verilmiştir.
A, D, B noktaları doğrusaldır ve A, E, C noktaları da doğrusaldır.
DE doğrusu, BC doğrusuna paraleldir.
AD = \( 4 \) cm, DB = \( 6 \) cm ve AE = \( 5 \) cm olduğuna göre, EC uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
A, D, B noktaları doğrusaldır ve A, E, C noktaları da doğrusaldır.
DE doğrusu, BC doğrusuna paraleldir.
AD = \( 4 \) cm, DB = \( 6 \) cm ve AE = \( 5 \) cm olduğuna göre, EC uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
Bu problemde Temel Benzerlik Teoremi'ni kullanacağız. Paralel doğrular sayesinde benzer üçgenler oluşur.
- 👉 AD doğrusu BC doğrusuna paralel olduğu için, ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir.
- ✅ Benzerlik oranı, kenar uzunlukları arasında kurulur:
\( \frac{\text{AD}}{\text{AB}} = \frac{\text{AE}}{\text{AC}} \) - Verilen değerleri yerine yazalım:
AD = \( 4 \) cm
DB = \( 6 \) cm
Bu durumda AB = AD + DB = \( 4 + 6 = 10 \) cm olur.
AE = \( 5 \) cm - Oranı kuralım:
\[ \frac{4}{10} = \frac{5}{\text{AC}} \] - İçler dışlar çarpımı yaparak AC uzunluğunu bulalım:
\( 4 \times \text{AC} = 10 \times 5 \)
\( 4 \times \text{AC} = 50 \)
\( \text{AC} = \frac{50}{4} \)
\( \text{AC} = 12.5 \) cm - Bize EC uzunluğu soruluyor.
AC = AE + EC
\( 12.5 = 5 + \text{EC} \) - EC uzunluğunu bulalım:
\( \text{EC} = 12.5 - 5 \)
\( \text{EC} = 7.5 \) cm
Örnek 2:
Bir ABC üçgeni ve bu üçgenin içinde ADE üçgeni çizilmiştir.
A köşesi her iki üçgen için de ortaktır.
\( \text{m}(\widehat{\text{ADE}}) = \text{m}(\widehat{\text{ABC}}) \) ve \( \text{m}(\widehat{\text{DAE}}) = \text{m}(\widehat{\text{BAC}}) \) olduğu biliniyor.
AD = \( 3 \) cm, AE = \( 4 \) cm, AB = \( 9 \) cm olduğuna göre, AC uzunluğu kaç cm'dir? 📐
A köşesi her iki üçgen için de ortaktır.
\( \text{m}(\widehat{\text{ADE}}) = \text{m}(\widehat{\text{ABC}}) \) ve \( \text{m}(\widehat{\text{DAE}}) = \text{m}(\widehat{\text{BAC}}) \) olduğu biliniyor.
AD = \( 3 \) cm, AE = \( 4 \) cm, AB = \( 9 \) cm olduğuna göre, AC uzunluğu kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu problemde Açı-Açı (AA) Benzerliği'ni kullanacağız. İki üçgenin iki açısı eşitse, üçüncü açıları da otomatik olarak eşit olur ve üçgenler benzerdir.
- 📌 Verilenlere göre:
\( \text{m}(\widehat{\text{ADE}}) = \text{m}(\widehat{\text{ABC}}) \) (Birinci açılar eşit)
\( \text{m}(\widehat{\text{DAE}}) = \text{m}(\widehat{\text{BAC}}) \) (İkinci açılar, yani A açısı ortak ve eşit) - Bu durumda ADE üçgeni ile ABC üçgeni AA Benzerliği'ne göre benzerdir.
\( \triangle \text{ADE} \sim \triangle \text{ABC} \) - Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir:
\( \frac{\text{AD}}{\text{AB}} = \frac{\text{AE}}{\text{AC}} = \frac{\text{DE}}{\text{BC}} \) - Verilen değerleri yerine yazalım:
AD = \( 3 \) cm
AE = \( 4 \) cm
AB = \( 9 \) cm - Oranı kuralım:
\[ \frac{3}{9} = \frac{4}{\text{AC}} \] - Oranı sadeleştirelim:
\( \frac{1}{3} = \frac{4}{\text{AC}} \) - İçler dışlar çarpımı yaparak AC uzunluğunu bulalım:
\( 1 \times \text{AC} = 3 \times 4 \)
\( \text{AC} = 12 \) cm
Örnek 3:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni verilmiştir.
AB = \( 6 \) cm, BC = \( 8 \) cm, \( \text{m}(\widehat{\text{B}}) = 60^\circ \) olarak biliniyor.
DE = \( 9 \) cm, EF = \( 12 \) cm, \( \text{m}(\widehat{\text{E}}) = 60^\circ \) olarak biliniyor.
Bu iki üçgenin benzer olduğunu gösteriniz ve benzerlik oranını bulunuz. Eğer AC = \( 7 \) cm ise DF uzunluğu kaç cm'dir? 🧩
AB = \( 6 \) cm, BC = \( 8 \) cm, \( \text{m}(\widehat{\text{B}}) = 60^\circ \) olarak biliniyor.
DE = \( 9 \) cm, EF = \( 12 \) cm, \( \text{m}(\widehat{\text{E}}) = 60^\circ \) olarak biliniyor.
Bu iki üçgenin benzer olduğunu gösteriniz ve benzerlik oranını bulunuz. Eğer AC = \( 7 \) cm ise DF uzunluğu kaç cm'dir? 🧩
Çözüm:
Bu problemde Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerliği'ni kullanacağız. İki üçgenin iki kenarı orantılı ve bu kenarlar arasındaki açı eşitse, üçgenler benzerdir.
- 📌 Verilen kenar uzunluklarını ve açıları inceleyelim:
ABC üçgeni için: AB = \( 6 \) cm, BC = \( 8 \) cm, \( \text{m}(\widehat{\text{B}}) = 60^\circ \)
DEF üçgeni için: DE = \( 9 \) cm, EF = \( 12 \) cm, \( \text{m}(\widehat{\text{E}}) = 60^\circ \) - Açıların eşitliğini kontrol edelim:
\( \text{m}(\widehat{\text{B}}) = \text{m}(\widehat{\text{E}}) = 60^\circ \). Bu açılar eşit ve kenarlar arasında kalıyor. - Kenarların orantılı olup olmadığını kontrol edelim:
AB'nin DE'ye oranı: \( \frac{\text{AB}}{\text{DE}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)
BC'nin EF'ye oranı: \( \frac{\text{BC}}{\text{EF}} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \) - Görüldüğü gibi, iki kenar oranı da \( \frac{2}{3} \) ve bu kenarlar arasındaki açılar eşittir.
Bu durumda ABC üçgeni ile DEF üçgeni KAK Benzerliği'ne göre benzerdir.
\( \triangle \text{ABC} \sim \triangle \text{DEF} \) - Benzerlik oranı \( k = \frac{2}{3} \) 'tür.
- AC = \( 7 \) cm olduğuna göre, karşılıklı kenarların oranı aynı olmalıdır:
\( \frac{\text{AC}}{\text{DF}} = k \)
\( \frac{7}{\text{DF}} = \frac{2}{3} \) - İçler dışlar çarpımı yaparak DF uzunluğunu bulalım:
\( 2 \times \text{DF} = 7 \times 3 \)
\( 2 \times \text{DF} = 21 \)
\( \text{DF} = \frac{21}{2} \)
\( \text{DF} = 10.5 \) cm
Örnek 4:
Bir KLM üçgeni ve bir PRS üçgeni verilmiştir.
KL = \( 4 \) cm, LM = \( 6 \) cm, MK = \( 8 \) cm olarak biliniyor.
PR = \( 6 \) cm, RS = \( 9 \) cm, SP = \( 12 \) cm olarak biliniyor.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz. Eğer benzerlerse, benzerlik oranını bulunuz. 🧐
KL = \( 4 \) cm, LM = \( 6 \) cm, MK = \( 8 \) cm olarak biliniyor.
PR = \( 6 \) cm, RS = \( 9 \) cm, SP = \( 12 \) cm olarak biliniyor.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz. Eğer benzerlerse, benzerlik oranını bulunuz. 🧐
Çözüm:
Bu problemde Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerliği'ni kullanacağız. İki üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ise, üçgenler benzerdir.
- 📌 İki üçgenin kenarlarını küçükten büyüğe sıralayarak oranlayalım:
KLM üçgeni kenarları: \( 4, 6, 8 \)
PRS üçgeni kenarları: \( 6, 9, 12 \) - Karşılıklı kenarların oranlarını kontrol edelim:
En küçük kenarların oranı: \( \frac{\text{KL}}{\text{PR}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
Ortanca kenarların oranı: \( \frac{\text{LM}}{\text{RS}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)
En büyük kenarların oranı: \( \frac{\text{MK}}{\text{SP}} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \) - Görüldüğü gibi, tüm karşılıklı kenar çiftlerinin oranları birbirine eşittir ve \( \frac{2}{3} \) 'tür.
Bu durumda KLM üçgeni ile PRS üçgeni KKK Benzerliği'ne göre benzerdir.
\( \triangle \text{KLM} \sim \triangle \text{PRS} \) - Benzerlik oranı \( k = \frac{2}{3} \) 'tür.
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde, AB kenarı üzerinde bir D noktası ve AC kenarı üzerinde bir E noktası bulunmaktadır.
\( \text{m}(\widehat{\text{ADE}}) = \text{m}(\widehat{\text{ACB}}) \) olduğu biliniyor.
AD = \( 3 \) cm, AE = \( 4 \) cm, DB = \( 5 \) cm olduğuna göre, EC uzunluğu kaç cm'dir? 🧠
\( \text{m}(\widehat{\text{ADE}}) = \text{m}(\widehat{\text{ACB}}) \) olduğu biliniyor.
AD = \( 3 \) cm, AE = \( 4 \) cm, DB = \( 5 \) cm olduğuna göre, EC uzunluğu kaç cm'dir? 🧠
Çözüm:
Bu problemde, açıların eşitliğini kullanarak Açı-Açı (AA) Benzerliği'ni tespit edeceğiz ve ardından kenar oranlarını uygulayacağız.
- 📌 Verilenleri inceleyelim:
\( \text{m}(\widehat{\text{ADE}}) = \text{m}(\widehat{\text{ACB}}) \) (Birinci açılar eşit)
Her iki üçgen (ADE ve ABC) için de A açısı ortaktır. Yani \( \text{m}(\widehat{\text{DAE}}) = \text{m}(\widehat{\text{BAC}}) \). (İkinci açılar eşit) - Bu durumda ADE üçgeni ile ABC üçgeni AA Benzerliği'ne göre benzerdir.
Ancak dikkat etmeliyiz ki, benzerliği doğru yazmak için açıların sırasına göre eşleştirmeliyiz:
\( \text{m}(\widehat{\text{A}}) \leftrightarrow \text{m}(\widehat{\text{A}}) \)
\( \text{m}(\widehat{\text{D}}) \leftrightarrow \text{m}(\widehat{\text{C}}) \)
\( \text{m}(\widehat{\text{E}}) \leftrightarrow \text{m}(\widehat{\text{B}}) \)
Yani, \( \triangle \text{ADE} \sim \triangle \text{ACB} \) şeklinde bir benzerlik vardır. - Benzerlik oranını yazalım:
\( \frac{\text{AD}}{\text{AC}} = \frac{\text{AE}}{\text{AB}} = \frac{\text{DE}}{\text{CB}} \) - Verilen değerleri yerine yazalım:
AD = \( 3 \) cm
AE = \( 4 \) cm
DB = \( 5 \) cm
Bu durumda AB = AD + DB = \( 3 + 5 = 8 \) cm olur. - Oranı kuralım:
\[ \frac{3}{\text{AC}} = \frac{4}{8} \] - Oranı sadeleştirelim:
\( \frac{3}{\text{AC}} = \frac{1}{2} \) - İçler dışlar çarpımı yaparak AC uzunluğunu bulalım:
\( 1 \times \text{AC} = 3 \times 2 \)
\( \text{AC} = 6 \) cm - Bize EC uzunluğu soruluyor.
AC = AE + EC
\( 6 = 4 + \text{EC} \) - EC uzunluğunu bulalım:
\( \text{EC} = 6 - 4 \)
\( \text{EC} = 2 \) cm
Örnek 6:
☀️ Güneşli bir günde, saat 14:00'te boyu \( 1.8 \) metre olan bir kişi, \( 2.4 \) metre uzunluğunda bir gölge oluşturmaktadır.
Aynı anda ve aynı yerde, bir ağacın gölgesinin uzunluğu \( 10 \) metre olarak ölçülmüştür.
Buna göre ağacın boyu kaç metredir? 🌳
Aynı anda ve aynı yerde, bir ağacın gölgesinin uzunluğu \( 10 \) metre olarak ölçülmüştür.
Buna göre ağacın boyu kaç metredir? 🌳
Çözüm:
Bu problem, gölge boyu ve cisimlerin boyu arasındaki benzerlik ilişkisini kullanır. Güneş ışınları paralel geldiği için, cisimler ve gölgeleri benzer üçgenler oluşturur.
- 📌 Kişi ve gölgesi ile ağaç ve gölgesi arasında benzer üçgenler oluşur.
Kişinin boyu, gölgesiyle dik açı oluşturur. Güneş ışınlarının yere düşme açısı her iki durumda da aynıdır. Bu da bize Açı-Açı (AA) Benzerliği'ni sağlar. - Kişi için:
Boy = \( 1.8 \) m
Gölge boyu = \( 2.4 \) m - Ağaç için:
Boy = \( x \) (bilinmiyor)
Gölge boyu = \( 10 \) m - Benzerlik oranını kuralım (Boyların oranı, gölge boylarının oranına eşittir):
\[ \frac{\text{Kişinin Boyu}}{\text{Ağacın Boyu}} = \frac{\text{Kişinin Gölge Boyu}}{\text{Ağacın Gölge Boyu}} \]
\[ \frac{1.8}{x} = \frac{2.4}{10} \] - İçler dışlar çarpımı yaparak \( x \) değerini bulalım:
\( 2.4 \times x = 1.8 \times 10 \)
\( 2.4x = 18 \) - \( x \) değerini yalnız bırakalım:
\( x = \frac{18}{2.4} \) - Kesirli ifadeyi daha kolay çözmek için pay ve paydayı \( 10 \) ile çarpalım:
\( x = \frac{180}{24} \) - Sadeleştirme yapalım (örneğin \( 6 \) ile):
\( x = \frac{30}{4} \)
\( x = 7.5 \) metre
Örnek 7:
Bir mimar, tasarladığı evin maketini yaparken \( 1:50 \) ölçek kullanmaktadır.
Maketteki bir odanın uzunluğu \( 12 \) cm olarak ölçülmüştür.
Buna göre, bu odanın gerçek uzunluğu kaç metredir? 🏡
Maketteki bir odanın uzunluğu \( 12 \) cm olarak ölçülmüştür.
Buna göre, bu odanın gerçek uzunluğu kaç metredir? 🏡
Çözüm:
Bu problem, ölçek ve benzerlik kavramlarını günlük hayatla ilişkilendirir. Maketler, gerçek yapıların belirli bir oranda küçültülmüş benzerleridir.
- 📌 Ölçek, benzerlik oranıdır. \( 1:50 \) ölçek, maketteki her \( 1 \) birimin gerçekte \( 50 \) birime karşılık geldiğini ifade eder.
Yani, Maket Uzunluğu / Gerçek Uzunluk = \( 1/50 \) - Verilenler:
Maketteki odanın uzunluğu = \( 12 \) cm
Ölçek = \( \frac{1}{50} \) - Gerçek uzunluğu \( G \) olarak adlandıralım. Oranı kuralım:
\[ \frac{12 \text{ cm}}{G} = \frac{1}{50} \] - İçler dışlar çarpımı yaparak \( G \) değerini bulalım:
\( 1 \times G = 12 \times 50 \)
\( G = 600 \) cm - Bize odanın gerçek uzunluğu metre cinsinden soruluyor.
\( 1 \) metre = \( 100 \) cm olduğu için, \( 600 \) cm'yi metreye çevirelim:
\( G = \frac{600}{100} \) metre
\( G = 6 \) metre
Örnek 8:
Bir duvar ustası, merdivenin basamaklarını yaparken her basamağın yüksekliğini \( 20 \) cm ve genişliğini \( 30 \) cm olarak ayarlıyor.
İlk basamağın ucundan son basamağın ucuna kadar olan toplam yatay uzunluk \( 2.7 \) metre olduğuna göre, merdivenin toplam yüksekliği kaç metredir? (Merdiven profili benzer üçgenler oluşturur.) 🪜
İlk basamağın ucundan son basamağın ucuna kadar olan toplam yatay uzunluk \( 2.7 \) metre olduğuna göre, merdivenin toplam yüksekliği kaç metredir? (Merdiven profili benzer üçgenler oluşturur.) 🪜
Çözüm:
Bu problemde, merdiven basamaklarının oluşturduğu benzer üçgenler prensibini kullanarak toplam yüksekliği bulacağız. Her basamak, kendinden önceki basamakla benzer bir yapı oluşturur.
- 📌 Her bir basamak için yükseklik ve genişlik oranları sabittir.
Bir basamağın yüksekliği = \( 20 \) cm
Bir basamağın genişliği = \( 30 \) cm - Merdivenin toplam yatay uzunluğu = \( 2.7 \) metre.
Bunu santimetreye çevirelim: \( 2.7 \times 100 = 270 \) cm. - Toplam yatay uzunluk, basamak genişliklerinin toplamıdır.
Basamak sayısı \( n \) olsun.
\( n \times (\text{Bir basamak genişliği}) = \text{Toplam yatay uzunluk} \)
\( n \times 30 = 270 \) - Basamak sayısını bulalım:
\( n = \frac{270}{30} \)
\( n = 9 \) basamak - Merdivenin toplam yüksekliği, basamak yüksekliklerinin toplamıdır.
Toplam yükseklik = \( n \times (\text{Bir basamak yüksekliği}) \)
Toplam yükseklik = \( 9 \times 20 \) cm
Toplam yükseklik = \( 180 \) cm - Bize toplam yükseklik metre cinsinden soruluyor.
\( 180 \) cm'yi metreye çevirelim:
\( \frac{180}{100} = 1.8 \) metre
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgende-benzerlik/sorular