💡 9. Sınıf Matematik: Üçgende Benzerlik Ve Eşlik Çözümlü Örnekler

İki üçgenin benzer olması için aşağıdaki koşullardan en az biri sağlanmalıdır:

• Açı-Açı (AA) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı iki açısı eşit ise, bu iki üçgen benzerdir.
• Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı birer açısı eşit ve bu açıların oranları eşit olan kenarları varsa, bu iki üçgen benzerdir.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı tüm kenar uzunlukları oranlı ise, bu iki üçgen benzerdir.

Bu kurallar, üçgenlerin benzerliğini belirlemek için kullanılır. ✅

ABC üçgeninin üçüncü açısını bulalım:

• \( \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) \)
• \( \angle C = 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) \)
• \( \angle C = 180^\circ - 110^\circ \)
• \( \angle C = 70^\circ \)

DEF üçgeninin üçüncü açısını bulalım:

• \( \angle F = 180^\circ - (\angle D + \angle E) \)
• \( \angle F = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) \)
• \( \angle F = 180^\circ - 120^\circ \)
• \( \angle F = 60^\circ \)

Şimdi açıları karşılaştıralım:

• \( \angle A = \angle D = 50^\circ \)
• \( \angle B = 60^\circ \) ve \( \angle F = 60^\circ \)
• \( \angle C = 70^\circ \) ve \( \angle E = 70^\circ \)

Karşılıklı ikişer açıları eşit olduğundan (örneğin \( \angle A = \angle D \) ve \( \angle C = \angle E \)), bu iki üçgen Açı-Açı (AA) benzerlik kuralına göre benzerdir. 👉 Benzerlik durumu: \( \triangle ABC \sim \triangle DFE \) şeklinde yazılır. (A'nın karşılığı D, B'nin karşılığı F, C'nin karşılığı E olmalıdır.)

İki üçgenin kenar uzunluklarını karşılaştıralım. Küçük üçgenin kenarları \( a=3, b=4, c=5 \) ve büyük üçgenin kenarları \( d=6, e=8, f=10 \) olsun. Kenar uzunluklarının oranlarını kontrol edelim:

• \( \frac{d}{a} = \frac{6}{3} = 2 \)
• \( \frac{e}{b} = \frac{8}{4} = 2 \)
• \( \frac{f}{c} = \frac{10}{5} = 2 \)

Tüm karşılıklı kenar uzunluklarının oranları eşit (2) olduğu için, bu iki üçgen Kenar-Kenar-Kenar (KKK) benzerlik kuralına göre benzerdir. ✅ Benzerlik oranı 2'dir. Bu, büyük üçgenin kenar uzunluklarının küçük üçgenin kenar uzunluklarının 2 katı olduğu anlamına gelir.

Bu problemi, fotoğrafçı, binanın tabanı ve binanın tepesi ile oluşan büyük dik üçgen ile fotoğrafçının kendisi, yeri ve göz hizası ile oluşan küçük dik üçgen arasındaki benzerlik olarak modelleyebiliriz.

• Fotoğrafçının boyu (küçük üçgenin dik kenarı): \( h_f = 1.8 \) metre.
• Fotoğrafçının binaya olan uzaklığı (küçük üçgenin yatay kenarı): \( x \) metre.
• Binanın boyu (büyük üçgenin dik kenarı): \( H_b \) metre.
• Binanın fotoğrafçıya olan uzaklığı (büyük üçgenin yatay kenarı): \( D \) metre.

Soruda verilen bilgiye göre, fotoğrafçı binanın boyunun \( \frac{1}{10} \) 'u kadar uzakta durmaktadır. Bu ifadeyi dikkatli yorumlamak gerekir. Genellikle bu tür sorularda, fotoğrafçının göz hizasından binanın tepesine olan uzaklık ile binanın tabanına olan uzaklık arasındaki ilişki verilir. Ancak burada "binanın boyunun \( \frac{1}{10} \) 'u kadar uzakta durduğunu fark ediyor" ifadesi, fotoğrafçının binanın tabanından olan uzaklığının, binanın boyuna oranla bir ifade olduğunu düşündürebilir. En yaygın yorum, fotoğrafçının göz hizasının yerden yüksekliği ile binanın boyu ve fotoğrafçının binaya olan uzaklığı arasındaki benzerliktir. Sorunun ifadesini, fotoğrafçının göz hizasının yerden yüksekliği \( h_f = 1.8 \) m ve fotoğrafçının binaya olan uzaklığı \( x \) olarak alalım. Binanın boyu \( H_b \) ve binanın fotoğrafçıya olan uzaklığı \( D \) olsun. Eğer "binanın boyunun \( \frac{1}{10} \) 'u kadar uzakta duruyor" ifadesi, fotoğrafçının binaya olan uzaklığının \( x = \frac{D}{10} \) olduğunu ima ediyorsa, bu durum benzerlik için yeterli değildir. Sorunun daha standart bir yorumu şöyledir: Fotoğrafçının göz hizası \( h_f = 1.8 \) m. Fotoğrafçının binaya olan uzaklığı \( x \). Binanın boyu \( H_b \). Binanın fotoğrafçıya olan uzaklığı \( D \). Kadrajın ortasında olması, göz hizasının binanın tam ortasına denk geldiği anlamına gelir. Bu durumda, fotoğrafçının göz hizası, binanın boyunun yarısına eşittir. Yani \( h_f = \frac{H_b}{2} \). Bu yoruma göre:

• \( 1.8 \, \text{m} = \frac{H_b}{2} \)
• \( H_b = 2 \times 1.8 \, \text{m} \)
• \( H_b = 3.6 \, \text{m} \)

Ancak soruda "binanın boyunun \( \frac{1}{10} \) 'u kadar uzakta durduğunu fark ediyor" ifadesi var. Bu ifadeyi, fotoğrafçının binaya olan uzaklığının \( x \), binanın boyu \( H_b \) ile ilgili olduğunu varsayarsak, \( x = \frac{H_b}{10} \) şeklinde bir ilişki olabilir. Bu durumda benzerlik ilişkisi kurulamaz. Sorunun en olası ve çözülebilir yorumu şudur: Fotoğrafçının göz hizasından binanın tepesine olan uzaklık ile binanın tabanına olan uzaklık arasındaki oranlar, fotoğrafçının boyu ile binaya olan uzaklığı arasındaki oranlara eşittir. Eğer fotoğrafçının göz hizası yerden \( h_f = 1.8 \) m ise ve bu yükseklik binanın tepesine olan uzaklık ile binanın tabanına olan uzaklık arasındaki benzerlikte rol oynuyorsa, ve fotoğrafçı binanın \( \frac{1}{10} \) 'u kadar uzaktaysa, bu genellikle fotoğrafçının göz hizasının binanın yüksekliğine oranı ile binaya olan uzaklığın oranının benzerliğini ifade eder. Sorunun daha net bir şekilde ifade edilmesi gerekse de, en yaygın LGS tarzı yorumu şu şekildedir: Fotoğrafçının boyu \( h_f = 1.8 \) m. Binanın boyu \( H_b \). Fotoğrafçının binaya olan uzaklığı \( x \). Eğer fotoğrafçı binanın \( \frac{1}{10} \) 'u kadar uzakta duruyorsa ve bu uzaklık binanın boyuyla orantılıysa, bu genellikle \( x = \frac{H_b}{10} \) veya \( D = 10x \) gibi bir ilişkiyi ifade eder. Ancak "kadrajın tam ortasında" ifadesi kilit noktadır. Bu, fotoğrafçının göz hizasının binanın tam ortasına denk geldiği anlamına gelir. Yani, fotoğrafçının göz hizası \( h_f \), binanın boyunun yarısıdır: \( h_f = \frac{H_b}{2} \). Bu durumda:

• \( 1.8 \, \text{m} = \frac{H_b}{2} \)
• \( H_b = 2 \times 1.8 \, \text{m} \)
• \( H_b = 3.6 \, \text{m} \)

Bu yorumda, "binanın boyunun \( \frac{1}{10} \) 'u kadar uzakta duruyor" ifadesi, benzerlik oranını belirlemek için değil, sadece bir bilgi olarak verilmiş olabilir veya sorunun ifade biçimi yanıltıcıdır. En mantıklı çözüm, göz hizasının binanın ortasına denk gelmesi prensibine dayanır.

Bu problemde, maket ile gerçek bina arasında bir benzerlik söz konusudur. Benzerlik oranı, karşılıklı uzunlukların oranıdır.

• Gerçek binanın yüksekliği: \( H_{gerçek} = 120 \) m
• Maketin yüksekliği: \( H_{maket} = 2 \) m

Benzerlik oranı (k), maketin yüksekliğinin gerçek binanın yüksekliğine oranıdır:

• \( k = \frac{H_{maket}}{H_{gerçek}} = \frac{2 \, \text{m}}{120 \, \text{m}} = \frac{1}{60} \)

Benzer iki cisimde, alanların oranı, uzunlukların oranının karesine eşittir. Yani, \( \frac{Alan_{maket}}{Alan_{gerçek}} = k^2 \) olur.

• \( \frac{Alan_{maket}}{Alan_{gerçek}} = \left(\frac{1}{60}\right)^2 \)
• \( \frac{Alan_{maket}}{Alan_{gerçek}} = \frac{1}{3600} \)

Dolayısıyla, maketin taban alanının gerçek binanın taban alanına oranı \( \frac{1}{3600} \) olur. Bu, maketin taban alanının gerçek binanın taban alanının 3600'de 1'i kadar olduğu anlamına gelir. 💡

İki üçgenin eş olması, tüm karşılıklı kenar uzunluklarının ve tüm karşılıklı açı ölçülerinin birbirine eşit olması anlamına gelir. Eşlik durumunu belirlemek için aşağıdaki temel kurallar kullanılır:

• Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı iki kenar uzunluğu ve bu kenarların arasındaki açı ölçüsü eşit ise, bu iki üçgen eştir.
• Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı birer kenar uzunluğu ve bu kenarların ikişer açısı eşit ise, bu iki üçgen eştir.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı tüm kenar uzunlukları eşit ise, bu iki üçgen eştir.
• Açı-Açı-Kenar (AAK) Eşlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı ve bu açılardan birinin karşısındaki kenar uzunluğu eşit ise, bu iki üçgen eştir.

Bu kurallar, üçgenlerin birbirinin tamamen aynısı olduğunu kanıtlamak için kullanılır. ✅

ABC üçgeninde AB kenarı, BC kenarı ve bu iki kenar arasındaki \( \angle B \) açısı verilmiştir. DEF üçgeninde DE kenarı, EF kenarı ve bu iki kenar arasındaki \( \angle E \) açısı verilmiştir. Karşılaştıralım:

• \( AB = DE = 5 \) cm
• \( BC = EF = 7 \) cm
• \( \angle B = \angle E = 40^\circ \)

İki üçgenin karşılıklı iki kenar uzunluğu ve bu kenarların arasındaki açı ölçüsü eşit olduğundan, bu iki üçgen Kenar-Açı-Kenar (KAK) eşlik kuralına göre eştir. 👉 Eşlik durumu: \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) şeklinde yazılır. (A'nın karşılığı D, B'nin karşılığı E, C'nin karşılığı F olmalıdır.)

ABCD bir paralelkenar olduğundan, köşegenleri birbirini ortalar. Bu, köşegenlerin kesim noktasının her iki köşegenin de orta noktası olduğu anlamına gelir.

• Köşegenler AC ve BD'dir.
• Köşegenlerin kesim noktası E'dir.
• Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortaladığı için:
• \( AE = EC \)
• \( BE = ED \)

Soruda verilenler:

• \( AE = 8 \) cm
• \( EC = 8 \) cm (Bu, AC köşegeninin ortalandığını doğrular.)
• \( BE = 6 \) cm

Paralelkenarın köşegenlerinin birbirini ortalama özelliğinden dolayı, \( BE \) uzunluğu \( ED \) uzunluğuna eşit olmalıdır.

• \( ED = BE \)
• \( ED = 6 \) cm

Dolayısıyla, \( ED \) uzunluğu 6 cm'dir. Bu durum, \( \triangle ABE \cong \triangle CDE \) ve \( \triangle ADE \cong \triangle BCE \) eşliklerinden de görülebilir (Kenar-Açı-Kenar veya Açı-Kenar-Açı kuralları ile). ✅

Bu problemi, iki farklı dik üçgen olarak düşünebiliriz. Her bir dik üçgenin bir dik kenarı zemine, diğer dik kenarı duvara diktir. Birinci durum için dik üçgen:

• Zemine olan uzaklık (yatay kenar): \( x_1 = 10 \) m
• Duvarın yüksekliği (dikey kenar): \( y_1 = 4 \) m

İkinci durum için dik üçgen:

• Zemine olan uzaklık (yatay kenar): \( x_2 = 15 \) m
• Duvarın yüksekliği (dikey kenar): \( y_2 = 6 \) m

İki üçgenin benzer olup olmadığını kontrol edelim. Benzerlik için karşılıklı kenar oranlarının eşit olması gerekir. Oranları hesaplayalım:

• Yatay kenarların oranı: \( \frac{x_2}{x_1} = \frac{15 \, \text{m}}{10 \, \text{m}} = \frac{3}{2} \)
• Dikey kenarların oranı: \( \frac{y_2}{y_1} = \frac{6 \, \text{m}}{4 \, \text{m}} = \frac{3}{2} \)

Her iki oranın da \( \frac{3}{2} \) olması, bu iki dik üçgenin Kenar-Kenar-Kenar (KKK) benzerlik kuralına göre benzer olduğunu gösterir. 👉 Benzerlik oranı, ikinci durumdaki üçgenin kenarlarının birinci durumdaki üçgenin kenarlarına oranıdır, yani \( \frac{3}{2} \)'dir. Bu, ikinci durumdaki ölçülerin birinci durumdaki ölçülerin 1.5 katı olduğunu gösterir. ✅