🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgende benzerlik günlük hayat problemleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgende benzerlik günlük hayat problemleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir mimar, çizdiği bir binanın maketini yaparken, maketin yüksekliğini gerçek binanın yüksekliğinin 1/100'ü oranında küçültüyor. Eğer maketin gölgesi 2 metre uzunluğundaysa, gerçek binanın gölgesinin uzunluğu kaç metredir? 📏
Çözüm:
Bu problemde, maket ve gerçek bina arasında bir benzerlik ilişkisi vardır. Gölge boyları da bu benzerlik oranına uyacaktır.
- Benzerlik Oranı: Maket ile gerçek bina arasındaki yükseklik oranı 1/100'dür. Bu, kenar uzunlukları arasındaki oranın da 1/100 olduğu anlamına gelir.
- Gölge Oranı: Benzer şekillerde, karşılıklı kenarların oranları eşittir. Bu durumda, maketin gölgesinin gerçek binanın gölgesine oranı da 1/100 olmalıdır.
- Hesaplama: Maket gölgesi = 2 metre.
Gerçek bina gölgesi = \( x \) metre.
\[ \frac{2}{x} = \frac{1}{100} \]
İçler dışlar çarpımı yapılırsa:
\[ 1 \times x = 2 \times 100 \]
\[ x = 200 \]
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde, DE kenarı BC kenarına paraleldir. Eğer AD uzunluğu 4 cm, DB uzunluğu 6 cm ve AE uzunluğu 5 cm ise, EC uzunluğu kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu soruda, DE'nin BC'ye paralel olması nedeniyle ABC ve ADE üçgenleri benzerdir.
- Benzer Üçgenler: DE || BC olduğundan, \( \angle ADE = \angle ABC \) ve \( \angle AED = \angle ACB \) olur (yöndeş açılar). Ayrıca \( \angle DAE = \angle BAC \) ortak açıdır. Bu nedenle, AAA benzerlik kuralına göre \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \)'dir.
- Orantı Kurulumu: Benzer üçgenlerin karşılıklı kenarları orantılıdır.
\[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \] - Verilenler: AD = 4 cm, DB = 6 cm, AE = 5 cm.
AB = AD + DB = 4 + 6 = 10 cm.
AC = AE + EC = 5 + EC. - Hesaplama: Orantıyı kullanarak EC'yi bulalım:
\[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \]
\[ \frac{4}{10} = \frac{5}{5 + EC} \]
İçler dışlar çarpımı yapılırsa:
\[ 4 \times (5 + EC) = 10 \times 5 \]
\[ 20 + 4 \times EC = 50 \]
\[ 4 \times EC = 50 - 20 \]
\[ 4 \times EC = 30 \]
\[ EC = \frac{30}{4} \]
\[ EC = 7.5 \]
Örnek 3:
Bir fotoğrafçı, uzaktaki bir binanın fotoğrafını çekerken, kameranın lensi ile perde arasındaki mesafenin 5 cm olduğunu ve binanın perdede oluşan görüntüsünün boyunun 3 cm olduğunu ölçüyor. Eğer binanın gerçek yüksekliği 60 metre ise, kameranın lensi ile bina arasındaki mesafenin yaklaşık olarak kaç metre olduğunu bulunuz. 📸
Çözüm:
Bu problemde, kameranın lensini bir tepe noktası olarak düşünebiliriz. Lens, perdeye düşen görüntü ve gerçek bina arasında benzer üçgenler oluşturur.
- Benzerlik: Kameranın lensinden çıkan ışınlar, binanın tepesinden ve tabanından gelerek perdede görüntüyü oluşturur. Bu durumda, lensin tepe noktası olduğu iki benzer üçgen oluşur.
- Orantı: Benzer üçgenlerin karşılıklı kenarları orantılıdır. Lens-perde mesafesi ile perdeye düşen görüntü boyu ve lens-bina mesafesi ile binanın gerçek boyu orantılı olacaktır.
\[ \frac{Lens-Perde Mesafesi}{Lens-Bina Mesafesi} = \frac{Görüntü Boyu}{Gerçek Bina Boyu} \] - Verilenler: Lens-Perde Mesafesi = 5 cm, Görüntü Boyu = 3 cm, Gerçek Bina Boyu = 60 m.
- Hesaplama: Birimleri aynı yapalım. Görüntü boyunu metreye çevirelim: 3 cm = 0.03 m.
Lens-Bina Mesafesi = \( x \) metre.
\[ \frac{0.05 \text{ m}}{x \text{ m}} = \frac{0.03 \text{ m}}{60 \text{ m}} \]
İçler dışlar çarpımı yapılırsa:
\[ 0.05 \times 60 = x \times 0.03 \]
\[ 3 = 0.03 \times x \]
\[ x = \frac{3}{0.03} \]
\[ x = 100 \]
Örnek 4:
Bir parkta, Ayşe ve Ali, dik duran bir ağacın gölgesinde durmaktadırlar. Ayşe'nin boyu 1.6 metre ve gölgesi 2 metre uzunluğundadır. Ali'nin boyu 1.4 metre ise, Ali'nin gölgesinin uzunluğu kaç metredir? (Güneş ışınlarının yere paralel geldiği varsayılacaktır.) 🌳
Çözüm:
Bu problemde, Ayşe, Ali ve ağaç, güneş ışınları ile benzer dik üçgenler oluşturur.
- Benzerlik: Güneş ışınları paralel geldiği için, Ayşe'nin boyu ile gölgesi arasındaki oran, Ali'nin boyu ile gölgesi arasındaki orana eşittir.
- Orantı Kurulumu:
\[ \frac{Ayşe'nin Boyu}{Ayşe'nin Gölgesi} = \frac{Ali'nin Boyu}{Ali'nin Gölgesi} \] - Verilenler: Ayşe'nin Boyu = 1.6 m, Ayşe'nin Gölgesi = 2 m, Ali'nin Boyu = 1.4 m.
- Hesaplama: Ali'nin Gölgesi = \( y \) metre.
\[ \frac{1.6}{2} = \frac{1.4}{y} \]
İçler dışlar çarpımı yapılırsa:
\[ 1.6 \times y = 2 \times 1.4 \]
\[ 1.6 \times y = 2.8 \]
\[ y = \frac{2.8}{1.6} \]
\[ y = \frac{28}{16} \]
\[ y = \frac{7}{4} \]
\[ y = 1.75 \]
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde AB kenarı AC kenarından 2 cm daha uzundur. D noktası AB üzerinde, E noktası AC üzerindedir. AD = 4 cm, AE = 3 cm ve DE kenarı BC kenarına paraleldir. Buna göre AB kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
DE'nin BC'ye paralel olması, \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) olmasını sağlar.
- Benzer Üçgenler: DE || BC olduğundan, AAA benzerlik kuralına göre \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \)'dir.
- Orantı: Benzer üçgenlerin karşılıklı kenarları orantılıdır.
\[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \] - Verilenler: AD = 4 cm, AE = 3 cm.
- İlişki: AB = AC + 2 cm.
- Hesaplama: Orantıyı kullanarak AC ve AB'yi bulalım:
\[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \]
\[ \frac{4}{AB} = \frac{3}{AC} \]
İçler dışlar çarpımı yapılırsa:
\[ 4 \times AC = 3 \times AB \]
Şimdi AB = AC + 2 bilgisini kullanalım. AC = AB - 2 yazabiliriz.
\[ 4 \times (AB - 2) = 3 \times AB \]
\[ 4 \times AB - 8 = 3 \times AB \]
\[ 4 \times AB - 3 \times AB = 8 \]
\[ AB = 8 \]
Örnek 6:
Bir harita üzerinde, iki şehir arasındaki mesafe 5 cm olarak gösterilmiştir. Haritanın ölçeği 1:200.000'dir. Buna göre, bu iki şehir arasındaki gerçek mesafe kaç kilometredir? 🗺️
Çözüm:
Bu problemde, harita üzerindeki uzunluk ile gerçek uzunluk arasındaki ölçek, bir benzerlik oranıdır.
- Ölçek Anlamı: 1:200.000 ölçeği, haritada gösterilen her 1 birimin gerçekte 200.000 birime karşılık geldiği anlamına gelir.
- Birim Dönüşümü: Harita üzerindeki mesafe cm cinsinden verilmiş. Gerçek mesafeyi km cinsinden bulmak için birimleri uyumlu hale getirmeliyiz.
1 km = 100.000 cm. - Hesaplama: Gerçek mesafe = Harita Mesafesi \( \times \) Ölçek.
Gerçek mesafe (cm) = 5 cm \( \times \) 200.000 = 1.000.000 cm.
Şimdi bu mesafeyi kilometreye çevirelim:
Gerçek mesafe (km) = \( \frac{1.000.000 \text{ cm}}{100.000 \text{ cm/km}} \) = 10 km.
Örnek 7:
Bir ABC üçgeninde, A açısı 50 derece, B açısı 70 derecedir. Bir DEF üçgeninde D açısı 50 derece, E açısı 60 derecedir. Bu iki üçgen benzer midir? Neden? 🤔
Çözüm:
İki üçgenin benzer olabilmesi için karşılıklı açıları eşit olmalıdır.
- ABC Üçgeni Açıları:
A = 50°
B = 70°
C = 180° - (50° + 70°) = 180° - 120° = 60° - DEF Üçgeni Açıları:
D = 50°
E = 60°
F = 180° - (50° + 60°) = 180° - 110° = 70° - Karşılaştırma:
A açısı (50°) ile D açısı (50°) eşittir.
B açısı (70°) ile F açısı (70°) eşittir.
C açısı (60°) ile E açısı (60°) eşittir.
Örnek 8:
Bir duvara asılı dikdörtgen bir tablo vardır. Tablonun kenar uzunlukları 120 cm ve 80 cm'dir. Tablonun duvardaki gölgesi, tablonun kendisi ile benzer bir dikdörtgendir. Eğer gölgenin kısa kenarı 30 cm ise, gölgenin uzun kenarı kaç cm'dir? 🖼️
Çözüm:
Tablo ve gölgesi benzer dikdörtgenler olduğu için, kenar uzunlukları arasındaki oranlar eşittir.
- Benzer Dikdörtgenler: Benzer şekillerde, karşılıklı kenarlar orantılıdır.
- Orantı Kurulumu:
\[ \frac{Tablonun Uzun Kenarı}{Tablonun Kısa Kenarı} = \frac{Gölgenin Uzun Kenarı}{Gölgenin Kısa Kenarı} \] - Verilenler: Tablonun Uzun Kenarı = 120 cm, Tablonun Kısa Kenarı = 80 cm, Gölgenin Kısa Kenarı = 30 cm.
- Hesaplama: Gölgenin Uzun Kenarı = \( z \) cm.
\[ \frac{120}{80} = \frac{z}{30} \]
Oranı sadeleştirelim: \( \frac{120}{80} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \).
\[ \frac{3}{2} = \frac{z}{30} \]
İçler dışlar çarpımı yapılırsa:
\[ 2 \times z = 3 \times 30 \]
\[ 2 \times z = 90 \]
\[ z = \frac{90}{2} \]
\[ z = 45 \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgende-benzerlik-gunluk-hayat-problemleri/sorular