🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgende Açılar Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgende Açılar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, A açısının ölçüsü \(70^\circ\) ve B açısının ölçüsü \(60^\circ\) olarak verilmiştir. Buna göre, C açısının ölçüsü kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için üçgenin iç açıları toplamı kuralını kullanacağız. 💡
- Bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman \(180^\circ\)dir.
- Verilenler:
- \(m(\widehat{A}) = 70^\circ\)
- \(m(\widehat{B}) = 60^\circ\)
- \(m(\widehat{C}) = ?\)
- Üçgenin iç açıları toplamı formülü:
\( m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ \) - Verilen değerleri yerine yazalım:
\( 70^\circ + 60^\circ + m(\widehat{C}) = 180^\circ \) - Açıları toplayalım:
\( 130^\circ + m(\widehat{C}) = 180^\circ \) - \(m(\widehat{C})\) açısını bulmak için \(130^\circ\)'yi eşitliğin diğer tarafına atalım:
\( m(\widehat{C}) = 180^\circ - 130^\circ \) - Sonuç:
\( m(\widehat{C}) = 50^\circ \)
Örnek 2:
Bir KLM üçgeninde K açısı \(40^\circ\), L açısı \(80^\circ\)dir. M köşesindeki dış açının ölçüsü kaç derecedir? 🤔
Çözüm:
Bu soruda iki farklı yöntem kullanabiliriz. İki yöntemi de inceleyelim. 👇
1. Yöntem: İç Açıyı Bulup Dış Açıya Geçmek
2. Yöntem: Bir Dış Açı Kuralını Kullanmak
1. Yöntem: İç Açıyı Bulup Dış Açıya Geçmek
- Önce M açısının iç ölçüsünü bulalım:
\( m(\widehat{K}) + m(\widehat{L}) + m(\widehat{M}_{iç}) = 180^\circ \) - Verilenleri yerine yazalım:
\( 40^\circ + 80^\circ + m(\widehat{M}_{iç}) = 180^\circ \) - Toplayalım:
\( 120^\circ + m(\widehat{M}_{iç}) = 180^\circ \) - M açısının iç ölçüsü:
\( m(\widehat{M}_{iç}) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \) - Bir köşedeki iç açı ile dış açının toplamı \(180^\circ\)dir.
\( m(\widehat{M}_{iç}) + m(\widehat{M}_{dış}) = 180^\circ \) - Dış açıyı bulalım:
\( 60^\circ + m(\widehat{M}_{dış}) = 180^\circ \) - Sonuç:
\( m(\widehat{M}_{dış}) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)
2. Yöntem: Bir Dış Açı Kuralını Kullanmak
- Bir üçgende herhangi bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.
- M köşesindeki dış açı, kendisine komşu olmayan K ve L açılarının toplamına eşittir:
\( m(\widehat{M}_{dış}) = m(\widehat{K}) + m(\widehat{L}) \) - Verilenleri yerine yazalım:
\( m(\widehat{M}_{dış}) = 40^\circ + 80^\circ \) - Sonuç:
\( m(\widehat{M}_{dış}) = 120^\circ \)
Örnek 3:
Bir ABC ikizkenar üçgeninde AB kenarı AC kenarına eşittir (\(|AB| = |AC|\)). A açısının ölçüsü \(80^\circ\) olduğuna göre, B açısının ölçüsü kaç derecedir? 📐
Çözüm:
İkizkenar üçgenlerin temel özelliklerinden biri, eşit kenarların karşısındaki açıların da eşit olmasıdır. 📌
- Üçgenimiz ABC ikizkenar üçgen ve \(|AB| = |AC|\) verilmiş.
- Bu durumda, AB kenarının karşısındaki C açısı ile AC kenarının karşısındaki B açısının ölçüleri birbirine eşittir. Yani \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) \).
- A açısının ölçüsü \(m(\widehat{A}) = 80^\circ\) olarak verilmiş.
- Üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\)dir:
\( m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ \) - \(m(\widehat{B})\) ve \(m(\widehat{C})\) eşit olduğu için, \(m(\widehat{C})\) yerine \(m(\widehat{B})\) yazabiliriz:
\( 80^\circ + m(\widehat{B}) + m(\widehat{B}) = 180^\circ \) - Denklemi düzenleyelim:
\( 80^\circ + 2 \cdot m(\widehat{B}) = 180^\circ \) - \(80^\circ\)'yi eşitliğin diğer tarafına atalım:
\( 2 \cdot m(\widehat{B}) = 180^\circ - 80^\circ \)
\( 2 \cdot m(\widehat{B}) = 100^\circ \)- Her iki tarafı 2'ye bölelim:
\( m(\widehat{B}) = \frac{100^\circ}{2} \) - Sonuç:
\( m(\widehat{B}) = 50^\circ \)
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde, DE doğru parçası BC doğru parçasına paraleldir (\(DE \parallel BC\)).
\(m(\widehat{ADE}) = 75^\circ\) ve \(m(\widehat{EBC}) = 40^\circ\) olarak verilmiştir. Buna göre, \(m(\widehat{ACB})\) kaç derecedir? 🧐
\(m(\widehat{ADE}) = 75^\circ\) ve \(m(\widehat{EBC}) = 40^\circ\) olarak verilmiştir. Buna göre, \(m(\widehat{ACB})\) kaç derecedir? 🧐
Çözüm:
Paralel doğrular arasında oluşan açılar ve üçgenin iç açıları kurallarını birlikte kullanacağız. 💡
- \(DE \parallel BC\) olduğu için, bir kesenle oluşan yöndeş açılar birbirine eşittir.
- AD doğrusu kesen olarak alındığında, \(m(\widehat{ADE})\) açısı ile \(m(\widehat{ABC})\) açısı yöndeş açılardır.
Dolayısıyla, \(m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ADE}) = 75^\circ\). - ABC üçgeninin açılarını biliyoruz:
- \(m(\widehat{ABC}) = 75^\circ\) (B açısı)
- \(m(\widehat{EBC})\) ise aslında \(m(\widehat{ABC})\) açısının bir parçası değil, soruda EBC açısı olarak verilmiş. Burada bir yanlış anlama olmaması için düzeltiyorum, EBC açısı doğrudan B açısıdır. Yani \(m(\widehat{B}) = 75^\circ\) ve bu açının bir kısmı \(40^\circ\) değil, direkt \(m(\widehat{ABC}) = 75^\circ\) olarak alınmalıdır. Eğer EBC farklı bir açı olsaydı, sorunun şekil betimlemesi daha detaylı olmalıydı. Ancak genelde bu tip sorularda \(m(\widehat{EBC})\) yerine \(m(\widehat{ABC})\) kastedilir veya E noktası AB üzerinde olur. Soruyu \(m(\widehat{ABC}) = 75^\circ\) ve \(m(\widehat{BCE}) = 40^\circ\) olarak yorumlayalım (çünkü EBC açısı B açısının kendisidir ve \(75^\circ\) bulduk, bu çelişkiyi gidermek için C açısının bir kısmı olarak düşünelim).
Düzeltme: Soruda \(m(\widehat{EBC}) = 40^\circ\) verilmiş. Eğer E noktası AB üzerinde değilse, EBC açısı ABC üçgeninin B açısı ile aynıdır. Eğer öyleyse, \(m(\widehat{ABC}) = 75^\circ\) ve \(m(\widehat{EBC}) = 40^\circ\) çelişir.
En olası senaryo: E noktası AC üzerinde, D noktası AB üzerinde. Bu durumda \(m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ABC}) = 75^\circ\) (yöndeş açılar).
Ayrıca, C köşesindeki açıyı bulmak için \(m(\widehat{EBC})\) açısının nerede olduğunu anlamalıyız. Eğer EBC açısı, ABC üçgeninin B açısının tamamı değilse, o zaman soruyu tekrar yorumlamamız gerekir.
Yaygın olarak karşılaşılan bu tür sorularda: \(m(\widehat{ADE})\) ile \(m(\widehat{ABC})\) yöndeştir. \(m(\widehat{AED})\) ile \(m(\widehat{ACB})\) yöndeştir.
Soruda verilen \(m(\widehat{EBC}) = 40^\circ\) ifadesi genellikle C köşesindeki açının bir parçası veya B köşesindeki açının tamamı olarak yanlış anlaşılabilir. Eğer E noktası AC üzerinde ise, EBC açısı ABC üçgeninin B açısıdır. Bu durumda \(m(\widehat{B}) = 40^\circ\) olmalıydı. Ama biz yöndeş açıdan \(m(\widehat{B}) = 75^\circ\) bulduk.
Soruyu şöyle yorumlayalım: Paralel doğrular \(DE \parallel BC\).
\(m(\widehat{ADE}) = 75^\circ\) ise \(m(\widehat{ABC}) = 75^\circ\) (Yöndeş açılar).
\(m(\widehat{EBC}) = 40^\circ\) verilmiş. Bu, aslında B açısının bir parçası değil, eğer E noktası AC üzerindeyse, bu \(m(\widehat{ABC})\) açısının kendisidir. Bu durumda \(75^\circ\) ve \(40^\circ\) çelişir.
En doğru yorum: \(m(\widehat{ADE}) = 75^\circ\) ise \(m(\widehat{ABC}) = 75^\circ\).
\(m(\widehat{EBC}) = 40^\circ\) ise bu B açısının tamamı olarak verilmiş olamaz, çünkü \(m(\widehat{ABC}) = 75^\circ\) bulduk. Bu durumda EBC açısı, B köşesinden çıkan bir doğru parçasının C köşesine uzanmasıyla oluşan bir açı olmalıdır, ki bu da E noktası AC üzerinde demektir.
Soruyu düzeltip, tipik bir 9. sınıf sorusu haline getirelim: Bir ABC üçgeninde, DE doğru parçası BC doğru parçasına paraleldir (\(DE \parallel BC\)).
\(m(\widehat{ADE}) = 75^\circ\) ve \(m(\widehat{AED}) = 65^\circ\) olarak verilmiştir. Buna göre, \(m(\widehat{ACB})\) kaç derecedir?
(Yukarıdaki düzeltme, orijinal sorudaki "EBC" açısının çelişik durumunu gidermek içindir. EBC açısı, E noktası AC üzerinde iken ABC açısıyla aynıdır. Ancak ADE ve EBC aynı üçgenin farklı açılarının ölçüleri olamaz, yöndeş açı olarak yorumlamak daha mantıklı.)
Yeni sorunun çözümü: - \(DE \parallel BC\) olduğu için, \(m(\widehat{ADE})\) ile \(m(\widehat{ABC})\) yöndeş açılardır.
Bu durumda \(m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ADE}) = 75^\circ\). - Aynı şekilde, \(m(\widehat{AED})\) ile \(m(\widehat{ACB})\) de yöndeş açılardır.
Bu durumda \(m(\widehat{ACB}) = m(\widehat{AED}) = 65^\circ\).
(Not: Orijinal sorudaki \(m(\widehat{EBC})\) ifadesi, eğer E noktası AC üzerinde ise \(m(\widehat{ABC})\) ile aynı anlama gelir. Bu durumda \(m(\widehat{ADE}) = 75^\circ\) ve \(m(\widehat{EBC}) = 40^\circ\) çelişirdi. Bu nedenle soruyu tipik bir yöndeş açılar problemine göre revize ettim.)
Örnek 5:
Bir ABC eşkenar üçgeni ile bir BCD ikizkenar üçgeni yan yana yerleştirilmiştir.
ABC üçgeni eşkenar üçgendir.
BCD üçgeni ikizkenar üçgendir ve \(|BC| = |CD|\)dir.
Eğer \(m(\widehat{CBD}) = 20^\circ\) ise, \(m(\widehat{ADC})\) kaç derecedir? 📐
ABC üçgeni eşkenar üçgendir.
BCD üçgeni ikizkenar üçgendir ve \(|BC| = |CD|\)dir.
Eğer \(m(\widehat{CBD}) = 20^\circ\) ise, \(m(\widehat{ADC})\) kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Bu problemde hem eşkenar hem de ikizkenar üçgenin özelliklerini kullanacağız. 💡
- ABC eşkenar üçgen olduğu için:
- Tüm iç açıları \(60^\circ\)dir.
Yani \(m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{BCA}) = m(\widehat{CAB}) = 60^\circ\). - Tüm kenar uzunlukları eşittir: \(|AB| = |BC| = |CA|\).
- Tüm iç açıları \(60^\circ\)dir.
- BCD ikizkenar üçgen olduğu için:
- \(|BC| = |CD|\) verilmiş. Bu durumda, BC kenarının karşısındaki D açısı ile CD kenarının karşısındaki B açısının ölçüleri eşittir:
\(m(\widehat{CDB}) = m(\widehat{CBD})\). - \(m(\widehat{CBD}) = 20^\circ\) olarak verildiğine göre,
\(m(\widehat{CDB}) = 20^\circ\) olur. - BCD üçgeninin iç açıları toplamı \(180^\circ\) olduğundan, C açısını (yani \(m(\widehat{BCD})\)) bulalım:
\( m(\widehat{BCD}) + m(\widehat{CBD}) + m(\widehat{CDB}) = 180^\circ \)
\( m(\widehat{BCD}) + 20^\circ + 20^\circ = 180^\circ \)
\( m(\widehat{BCD}) + 40^\circ = 180^\circ \)
\( m(\widehat{BCD}) = 140^\circ \)
- \(|BC| = |CD|\) verilmiş. Bu durumda, BC kenarının karşısındaki D açısı ile CD kenarının karşısındaki B açısının ölçüleri eşittir:
- Şimdi bizden istenen \(m(\widehat{ADC})\) açısını bulalım. Bu açı, \(m(\widehat{ADB})\) ile karıştırılmamalıdır. Bu açı, büyük AC ve AD kenarlarının oluşturduğu bir açıdır.
Aslında bizden istenen, A, D ve C noktalarını birleştiren bir açı. Bu, bir ACD üçgeni oluşturulduğunda oluşur.
Soruyu tekrar yorumlayalım: \(m(\widehat{ADC})\) açısı, D köşesinde oluşan açıdır ve \(m(\widehat{CDB})\) açısıyla aynı değildir. ADC açısı, AC ve DC kenarlarının oluşturduğu açıdır.
Eşkenar üçgenden \(|AC| = |BC|\) ve ikizkenar üçgenden \(|BC| = |CD|\) olduğu için, \(|AC| = |CD|\) bağıntısını elde ederiz.
Bu durumda, ACD üçgeni de ikizkenar bir üçgendir! 🎯
- ACD üçgeninde \(|AC| = |CD|\) olduğundan, bu kenarların karşısındaki açılar eşittir:
\(m(\widehat{CAD}) = m(\widehat{CDA})\). - ACD üçgeninin C açısını (yani \(m(\widehat{ACD})\)) bulalım. Bu açı, ABC üçgeninin C açısı ile BCD üçgeninin C açısının toplamıdır:
\( m(\widehat{ACD}) = m(\widehat{BCA}) + m(\widehat{BCD}) \)
\( m(\widehat{ACD}) = 60^\circ + 140^\circ \)
\( m(\widehat{ACD}) = 200^\circ \)
Soruyu tekrar gözden geçirelim: "BCD ikizkenar üçgeni yan yana yerleştirilmiştir" ifadesi, D noktasının A noktasından farklı bir tarafta olduğunu gösterir.
Eğer D noktası, ABC üçgeninin BC kenarının "dışında" ise:
\(m(\widehat{BCA}) = 60^\circ\). \(m(\widehat{BCD}) = 140^\circ\).
Bu durumda, C köşesinde oluşan toplam açı \(60^\circ + 140^\circ = 200^\circ\) olur ki bu bir iç açı olamaz.
En olası senaryo: BCD üçgeni, ABC üçgeninin BC kenarına "bitişik" olarak çizilmiştir, yani BC kenarını paylaşırlar. D noktası A noktası ile aynı düzlemdedir.
Açılarımızı yeniden hesaplayalım:- Eşkenar ABC üçgeninden: \(m(\widehat{ABC}) = 60^\circ\).
- İkizkenar BCD üçgeninden: \(m(\widehat{CBD}) = 20^\circ\) ise \(m(\widehat{CDB}) = 20^\circ\).
- BCD üçgeninde \(m(\widehat{BCD}) = 180^\circ - (20^\circ + 20^\circ) = 140^\circ\).
ACD üçgeninde çalışmalıyız.
Eşkenar ABC üçgeninden \(|AC| = |BC|\). İkizkenar BCD üçgeninden \(|BC| = |CD|\). Bu durumda \(|AC| = |CD|\) olur. Yani ACD üçgeni de ikizkenardır.
ACD üçgeninin C açısı (yani \(m(\widehat{ACD})\)) ise \(m(\widehat{BCA})\) ve \(m(\widehat{BCD})\) açılarının toplamı değildir. Çünkü D noktası, B noktasının ters tarafındadır.
C köşesindeki düz açı \(180^\circ\)dir. Yani \(m(\widehat{ACD})\) açısı \(m(\widehat{BCA})\) ve \(m(\widehat{BCD})\) açılarından farklı hesaplanmalıdır.
Eğer A, B, C noktaları saat yönünde sıralı ise ve D noktası BC kenarının diğer tarafında ise:
\(m(\widehat{ACD})\) açısı \(m(\widehat{BCA})\) ve \(m(\widehat{BCD})\) açıları birleşerek bir açı oluşturmazlar.
En basit ve 9. sınıf seviyesine uygun yorum:
ABC eşkenar üçgen. \(m(\widehat{BCA}) = 60^\circ\). BCD ikizkenar üçgen, \(|BC| = |CD|\). \(m(\widehat{CBD}) = 20^\circ\). Bu durumda \(m(\widehat{CDB}) = 20^\circ\). \(m(\widehat{BCD}) = 180^\circ - (20^\circ + 20^\circ) = 140^\circ\).
A, C ve D noktaları arasındaki açıyı bulmak için C açısı etrafındaki açılara bakalım.
\(m(\widehat{ACD})\) açısı, \(m(\widehat{BCA})\) ve \(m(\widehat{BCD})\) açılarının birleşimi veya farkı olabilir, şeklin nasıl yerleştirildiğine bağlıdır.
Eğer B, C, D noktaları bir doğru üzerinde değilse ve D noktası A'nın karşı tarafında ise:
ACD üçgeninin C açısı: \(m(\widehat{ACD}) = m(\widehat{BCA}) + m(\widehat{BCD})\) olamaz, çünkü bu durumda B noktası AC ve CD arasında kalır ve bu C açısı \(200^\circ\) olur.
Tek mantıklı çizim: A ve D noktaları BC doğrusunun farklı taraflarındadır.
Bu durumda, C köşesinde birleştirilmiş açı yoktur.
Bize sorulan \(m(\widehat{ADC})\) açısı.
ACD üçgenine bakmalıyız. \(|AC| = |BC|\) (eşkenar üçgenden) \(|BC| = |CD|\) (ikizkenar üçgenden) Demek ki \(|AC| = |CD|\).
ACD üçgeni ikizkenardır ve taban açıları \(m(\widehat{CAD})\) ve \(m(\widehat{CDA})\) birbirine eşittir.
ACD üçgeninin C açısını bulmalıyız: \(m(\widehat{ACD})\). Bu açı, \(m(\widehat{BCA})\) ve \(m(\widehat{BCD})\) açılarının "dış" kısmı değil, doğrudan C köşesindeki açıdır.
Eğer A ve D noktaları BC doğrusunun farklı taraflarında ise, BCD üçgeninin C açısı \(140^\circ\) ve ABC üçgeninin C açısı \(60^\circ\)dir.
Bu durumda C köşesinde oluşan açı \(m(\widehat{ACD})\) ise bu açı \(m(\widehat{BCD}) - m(\widehat{BCA})\) ya da \(m(\widehat{BCA}) - m(\widehat{BCD})\) olmalıdır.
Yani \(|140^\circ - 60^\circ| = 80^\circ\).
Öyleyse, \(m(\widehat{ACD}) = 80^\circ\).
Şimdi ACD ikizkenar üçgeninde (taban açıları \(m(\widehat{CAD}) = m(\widehat{CDA})\)):
\( m(\widehat{CAD}) + m(\widehat{CDA}) + m(\widehat{ACD}) = 180^\circ \)
\( 2 \cdot m(\widehat{CDA}) + 80^\circ = 180^\circ \)
\( 2 \cdot m(\widehat{CDA}) = 100^\circ \)
\( m(\widehat{CDA}) = 50^\circ \)
✅ \(m(\widehat{ADC})\) açısının ölçüsü \(50^\circ\)dir.
(Not: Bu tür sorularda şeklin doğru anlaşılması çok önemlidir. "Yan yana yerleştirilmiş" ifadesi genellikle ortak bir kenar ve diğer köşelerin farklı taraflarda olduğu anlamına gelir.) - ACD üçgeninde \(|AC| = |CD|\) olduğundan, bu kenarların karşısındaki açılar eşittir:
Örnek 6:
Bir ABC üçgeninde, AD doğru parçası A açısının iç açıortayıdır.
\(m(\widehat{B}) = 70^\circ\) ve \(m(\widehat{C}) = 30^\circ\) olduğuna göre, \(m(\widehat{ADB})\) kaç derecedir? 📐
\(m(\widehat{B}) = 70^\circ\) ve \(m(\widehat{C}) = 30^\circ\) olduğuna göre, \(m(\widehat{ADB})\) kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Açıortay, bir açıyı iki eşit parçaya bölen doğru parçasıdır. Bu bilgiyi ve üçgenin iç açıları toplamını kullanacağız. 💡
- Öncelikle ABC üçgeninin A açısının tamamını bulalım:
\( m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ \) - Verilenleri yerine yazalım:
\( m(\widehat{A}) + 70^\circ + 30^\circ = 180^\circ \)
\( m(\widehat{A}) + 100^\circ = 180^\circ \)
\( m(\widehat{A}) = 80^\circ \)- AD doğru parçası A açısının iç açıortayı olduğuna göre, A açısını iki eşit parçaya böler.
Yani \(m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{CAD}) = \frac{m(\widehat{A})}{2}\).
\( m(\widehat{BAD}) = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ \)- Şimdi ADB üçgenine odaklanalım. Bu üçgenin iç açıları \(m(\widehat{BAD})\), \(m(\widehat{B})\) ve \(m(\widehat{ADB})\)dir.
- ADB üçgeninin iç açıları toplamı \(180^\circ\)dir:
\( m(\widehat{BAD}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{ADB}) = 180^\circ \) - Verilen ve bulduğumuz değerleri yerine yazalım:
\( 40^\circ + 70^\circ + m(\widehat{ADB}) = 180^\circ \)
\( 110^\circ + m(\widehat{ADB}) = 180^\circ \)
\( m(\widehat{ADB}) = 180^\circ - 110^\circ \)- Sonuç:
\( m(\widehat{ADB}) = 70^\circ \)
Örnek 7:
Bir ABC üçgeninde, BD doğru parçası B açısının açıortayıdır ve CD doğru parçası C açısının açıortayıdır.
\(m(\widehat{A}) = 80^\circ\) olduğuna göre, \(m(\widehat{BDC})\) kaç derecedir? 🧐
\(m(\widehat{A}) = 80^\circ\) olduğuna göre, \(m(\widehat{BDC})\) kaç derecedir? 🧐
Çözüm:
İki iç açıortayın kesişim noktasında oluşan açıyı bulmak için üçgenin iç açıları toplamı kuralını ve açıortay tanımını kullanacağız. 💡
- ABC üçgeninin B ve C açılarının ölçülerini bilmiyoruz, ancak toplamlarını bulabiliriz.
\( m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ \) - Verilen \(m(\widehat{A}) = 80^\circ\)'yi yerine yazalım:
\( 80^\circ + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ \)
\( m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 100^\circ \)- BD, B açısının açıortayı olduğu için \(m(\widehat{DBC}) = \frac{m(\widehat{B})}{2}\).
- CD, C açısının açıortayı olduğu için \(m(\widehat{DCB}) = \frac{m(\widehat{C})}{2}\).
- Şimdi BDC üçgenine odaklanalım. Bu üçgenin iç açıları \(m(\widehat{DBC})\), \(m(\widehat{DCB})\) ve \(m(\widehat{BDC})\)dir.
- BDC üçgeninin iç açıları toplamı \(180^\circ\)dir:
\( m(\widehat{BDC}) + m(\widehat{DBC}) + m(\widehat{DCB}) = 180^\circ \) - Açıortay tanımlarını yerine yazalım:
\( m(\widehat{BDC}) + \frac{m(\widehat{B})}{2} + \frac{m(\widehat{C})}{2} = 180^\circ \) - Ortak paydada birleştirelim:
\( m(\widehat{BDC}) + \frac{m(\widehat{B}) + m(\widehat{C})}{2} = 180^\circ \) - Daha önce \(m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 100^\circ\) bulmuştuk. Bu değeri yerine yazalım:
\( m(\widehat{BDC}) + \frac{100^\circ}{2} = 180^\circ \)
\( m(\widehat{BDC}) + 50^\circ = 180^\circ \)
\( m(\widehat{BDC}) = 180^\circ - 50^\circ \)- Sonuç:
\( m(\widehat{BDC}) = 130^\circ \)
Örnek 8:
Bir mühendis, bir köprünün destek ayakları için tasarım yaparken, bir üçgen yapının açılarının dengeli olmasını istemektedir.
Çizdiği taslakta, bir ABC üçgeni bulunmaktadır.
Bu üçgende B köşesindeki açı, A köşesindeki açının 2 katıdır (\(m(\widehat{B}) = 2 \cdot m(\widehat{A})\)).
C köşesindeki açı ise A köşesindeki açının 3 katından \(10^\circ\) eksiktir (\(m(\widehat{C}) = 3 \cdot m(\widehat{A}) - 10^\circ\)).
Bu üçgenin en büyük açısının ölçüsü kaç derecedir? 🏗️
Çizdiği taslakta, bir ABC üçgeni bulunmaktadır.
Bu üçgende B köşesindeki açı, A köşesindeki açının 2 katıdır (\(m(\widehat{B}) = 2 \cdot m(\widehat{A})\)).
C köşesindeki açı ise A köşesindeki açının 3 katından \(10^\circ\) eksiktir (\(m(\widehat{C}) = 3 \cdot m(\widehat{A}) - 10^\circ\)).
Bu üçgenin en büyük açısının ölçüsü kaç derecedir? 🏗️
Çözüm:
Bu tür yeni nesil sorularda, verilen ilişkileri matematiksel denklemlere dönüştürmek ve üçgenin iç açıları toplamı kuralını kullanmak önemlidir. 📝
- A açısının ölçüsüne \(x\) diyelim. Yani \(m(\widehat{A}) = x\).
- Verilen bilgilere göre diğer açıları \(x\) cinsinden yazalım:
- \(m(\widehat{B}) = 2 \cdot m(\widehat{A}) \implies m(\widehat{B}) = 2x\)
- \(m(\widehat{C}) = 3 \cdot m(\widehat{A}) - 10^\circ \implies m(\widehat{C}) = 3x - 10^\circ\)
- Üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\)dir:
\( m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ \) - Denklemimizi kuralım ve çözelim:
\( x + 2x + (3x - 10^\circ) = 180^\circ \) - Aynı terimleri birleştirelim:
\( 6x - 10^\circ = 180^\circ \) - \(-10^\circ\)'yi eşitliğin diğer tarafına atalım:
\( 6x = 180^\circ + 10^\circ \)
\( 6x = 190^\circ \)- \(x\)'i bulmak için her iki tarafı 6'ya bölelim:
\( x = \frac{190^\circ}{6} = \frac{95^\circ}{3} \) - Şimdi her bir açının ölçüsünü hesaplayalım:
- \(m(\widehat{A}) = x = \frac{95^\circ}{3} \approx 31.67^\circ\)
- \(m(\widehat{B}) = 2x = 2 \cdot \frac{95^\circ}{3} = \frac{190^\circ}{3} \approx 63.33^\circ\)
- \(m(\widehat{C}) = 3x - 10^\circ = 3 \cdot \frac{95^\circ}{3} - 10^\circ = 95^\circ - 10^\circ = 85^\circ\)
- Açıları karşılaştıralım: \(m(\widehat{A}) \approx 31.67^\circ\), \(m(\widehat{B}) \approx 63.33^\circ\), \(m(\widehat{C}) = 85^\circ\).
- Bu üçgenin en büyük açısı \(m(\widehat{C})\) açısıdır.
Örnek 9:
Bir mimar, modern bir binanın çatısını tasarlarken üçgen prizma şeklinde bir bölüm kullanmak istiyor.
Çatının bir yan yüzeyini oluşturan ABC üçgeninde, AB kenarı yer düzlemine paraleldir ve AC kenarı ile yer düzlemi arasındaki açı (A köşesindeki açı) \(55^\circ\) olarak belirlenmiştir.
Eğer çatının eğimini gösteren BC kenarının yer düzlemiyle yaptığı açı (B köşesindeki açı) \(65^\circ\) ise, çatının diğer tarafındaki eğimi gösteren C köşesindeki açı kaç derecedir? (Burada üçgenin iç açıları sorulmaktadır.) 🏡
Çatının bir yan yüzeyini oluşturan ABC üçgeninde, AB kenarı yer düzlemine paraleldir ve AC kenarı ile yer düzlemi arasındaki açı (A köşesindeki açı) \(55^\circ\) olarak belirlenmiştir.
Eğer çatının eğimini gösteren BC kenarının yer düzlemiyle yaptığı açı (B köşesindeki açı) \(65^\circ\) ise, çatının diğer tarafındaki eğimi gösteren C köşesindeki açı kaç derecedir? (Burada üçgenin iç açıları sorulmaktadır.) 🏡
Çözüm:
Bu problemde, mimarın çatının eğimini belirlemek için üçgenin iç açıları toplamı kuralını kullanması gerekmektedir. 📐
- Çatının yan yüzeyini oluşturan ABC üçgeninin iç açıları toplamı \(180^\circ\) olmalıdır.
- Verilen bilgiler:
- A köşesindeki açı (AC kenarı ile yer düzlemi arasındaki açı): \(m(\widehat{A}) = 55^\circ\)
- B köşesindeki açı (BC kenarının yer düzlemiyle yaptığı açı): \(m(\widehat{B}) = 65^\circ\)
- C köşesindeki açı (çatının diğer tarafındaki eğimi gösteren açı): \(m(\widehat{C}) = ?\)
- Üçgenin iç açıları toplamı formülü:
\( m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ \) - Verilen değerleri yerine yazalım:
\( 55^\circ + 65^\circ + m(\widehat{C}) = 180^\circ \) - Açıları toplayalım:
\( 120^\circ + m(\widehat{C}) = 180^\circ \) - \(m(\widehat{C})\) açısını bulmak için \(120^\circ\)'yi eşitliğin diğer tarafına atalım:
\( m(\widehat{C}) = 180^\circ - 120^\circ \) - Sonuç:
\( m(\widehat{C}) = 60^\circ \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgende-acilar/sorular