🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgende Açılar ve Kenar Bağıntıları: Öklid ve Pisagor Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgende Açılar ve Kenar Bağıntıları: Öklid ve Pisagor Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 50^\circ \) ve \( \angle B = 70^\circ \) ise, \( \angle C \) kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \)dir. 💡
- Verilen açılar: \( \angle A = 50^\circ \) ve \( \angle B = 70^\circ \).
- \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \) formülünü kullanırız.
- \( 50^\circ + 70^\circ + \angle C = 180^\circ \)
- \( 120^\circ + \angle C = 180^\circ \)
- \( \angle C = 180^\circ - 120^\circ \)
- \( \angle C = 60^\circ \)
Örnek 2:
Bir dik üçgende dik kenarlar 6 cm ve 8 cm ise, hipotenüs kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. Pisagor Teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu söyler. 📌
- Dik kenarlar: \( a = 6 \) cm ve \( b = 8 \) cm.
- Hipotenüs: \( c \).
- Pisagor Teoremi formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Değerleri yerine koyalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \).
- \( 36 + 64 = c^2 \).
- \( 100 = c^2 \).
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{100} \).
- \( c = 10 \) cm.
Örnek 3:
Bir parkın A noktasından B noktasına düz bir yoldan gidilmektedir. C noktası, A ve B noktalarına eşit uzaklıktadır ve \( \angle ACB = 90^\circ \) olacak şekilde bir su kuyusu bulunmaktadır. Eğer A ile B arasındaki mesafe 20 metre ise, A ile C arasındaki mesafe kaç metredir? 🏞️
Çözüm:
Bu problemde, C noktasının A ve B'ye eşit uzaklıkta olması ve \( \angle ACB = 90^\circ \) olması, ABC üçgeninin ikizkenar dik üçgen olduğunu gösterir. 💡
- A ile B arasındaki mesafe (hipotenüs) \( AB = 20 \) metredir.
- A ile C arasındaki mesafe \( AC \) ve B ile C arasındaki mesafe \( BC \) birbirine eşittir. \( AC = BC \).
- Pisagor Teoremi'ne göre: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \).
- \( AC^2 + AC^2 = 20^2 \) (Çünkü \( AC = BC \)).
- \( 2 \cdot AC^2 = 400 \).
- \( AC^2 = \frac{400}{2} \).
- \( AC^2 = 200 \).
- \( AC = \sqrt{200} \).
- \( AC = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2} \) metre.
Örnek 4:
Bir merdiven, duvara yaslandığında yere 3 metre, duvara ise 4 metre yükseklikte temas etmektedir. Merdivenin boyu kaç metredir? 🪜
Çözüm:
Bu durum, bir dik üçgen oluşturur. Merdivenin kendisi hipotenüs, duvara yaslandığı yükseklik bir dik kenar ve yere olan uzaklığı diğer dik kenardır. 📐
- Yere olan uzaklık (bir dik kenar): \( a = 3 \) metre.
- Duvara olan yükseklik (diğer dik kenar): \( b = 4 \) metre.
- Merdivenin boyu (hipotenüs): \( c \).
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Değerleri yerine koyalım: \( 3^2 + 4^2 = c^2 \).
- \( 9 + 16 = c^2 \).
- \( 25 = c^2 \).
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{25} \).
- \( c = 5 \) metre.
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde \( AB = 10 \) cm, \( BC = 12 \) cm ve \( AC = 14 \) cm'dir. Bu üçgenin en uzun kenarına ait kenarortay uzunluğunu hesaplamak için hangi teoremi kullanmalıyız ve bu teoremin genel formülü nedir? 💡
Çözüm:
Bu tür üçgenlerde kenarortay uzunluğunu bulmak için Kenarortay Teoremi (Apollonius Teoremi) kullanılır. 📌
- Bir üçgende bir kenara ait kenarortayın uzunluğunu hesaplamak için kullanılır.
- ABC üçgeninde \( a, b, c \) kenar uzunlukları ve \( v_a, v_b, v_c \) bu kenarlara ait kenarortay uzunlukları olsun.
- Kenarortay Teoremi'nin genel formülü: \( b^2 + c^2 = 2(v_a^2 + (\frac{a}{2})^2) \).
- Soruda en uzun kenar \( BC = a = 12 \) cm'dir.
- Diğer kenarlar \( AB = c = 10 \) cm ve \( AC = b = 14 \) cm'dir.
- En uzun kenara (a) ait kenarortay \( v_a \) olacaktır.
- Formül: \( 14^2 + 10^2 = 2(v_a^2 + (\frac{12}{2})^2) \).
- \( 196 + 100 = 2(v_a^2 + 6^2) \).
- \( 296 = 2(v_a^2 + 36) \).
- \( 148 = v_a^2 + 36 \).
- \( v_a^2 = 148 - 36 \).
- \( v_a^2 = 112 \).
- \( v_a = \sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7} \) cm.
Örnek 6:
Bir ABC dik üçgeninde \( \angle C = 90^\circ \) ve \( AC = 5 \) cm'dir. \( CD \), C köşesinden hipotenüs AB'ye indirilen yüksekliktir ve \( CD = 3 \) cm'dir. Buna göre, hipotenüs AB'nin uzunluğu kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu soruda Öklid Teoremleri'ni kullanacağız. Özellikle yükseklik ve dik kenarlarla ilgili teoremler işimize yarayacaktır. 💡
- Öklid'in ilk teoremi (Yükseklik Teoremi): Bir dik üçgende yükseklik, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların geometrik ortalamasıdır. \( h^2 = p \cdot q \).
- Öklid'in ikinci teoremi (Dik Kenar Teoremi): Dik kenarların kareleri, hipotenüsün bu kenarların izdüşümlerine eşit uzunluktaki parçalarıyla hipotenüsün çarpımına eşittir. \( b^2 = p \cdot c \) ve \( a^2 = q \cdot c \).
- Verilenler: \( AC = b = 5 \) cm, \( CD = h = 3 \) cm.
- Yükseklik Teoremi'ni kullanarak \( AD = p \) ve \( DB = q \) arasındaki ilişkiyi bulabiliriz: \( h^2 = p \cdot q \).
- Ancak burada \( p \) ve \( q \) bilinmiyor. Dik kenar teoremini kullanalım: \( AC^2 = AD \cdot AB \).
- \( 5^2 = p \cdot c \), yani \( 25 = p \cdot c \).
- Ayrıca \( BC^2 = DB \cdot AB \), yani \( a^2 = q \cdot c \).
- Ve \( c = p + q \).
- Şimdi \( h^2 = p \cdot q \) formülünü ele alalım. \( 3^2 = p \cdot q \), yani \( 9 = p \cdot q \).
- Elimizde iki denklem var: \( 25 = p \cdot c \) ve \( 9 = p \cdot q \).
- \( c = p + q \) olduğundan, \( 25 = p \cdot (p + q) \).
- \( 25 = p^2 + pq \).
- \( pq \) yerine 9 koyalım: \( 25 = p^2 + 9 \).
- \( p^2 = 25 - 9 = 16 \).
- \( p = \sqrt{16} = 4 \) cm.
- Şimdi hipotenüs \( c = p + q \) ve \( 9 = p \cdot q \) ilişkisini kullanarak \( q \) değerini bulabiliriz: \( 9 = 4 \cdot q \), yani \( q = \frac{9}{4} \) cm.
- Hipotenüs \( AB = c = p + q = 4 + \frac{9}{4} = \frac{16+9}{4} = \frac{25}{4} \) cm.
Örnek 7:
Bir futbol sahasının köşegen uzunluğunu hesaplamak istiyoruz. Sahamızın uzun kenarı 100 metre ve kısa kenarı 60 metredir. Köşegen uzunluğu kaç metredir? ⚽
Çözüm:
Futbol sahası bir dikdörtgen oluşturur ve köşegen, bu dikdörtgeni iki dik üçgene böler. Köşegen, bu dik üçgenlerin hipotenüsü olur. 📏
- Dik kenarlar: Uzun kenar \( a = 100 \) m ve kısa kenar \( b = 60 \) m.
- Köşegen (hipotenüs): \( c \).
- Pisagor Teoremi'ni kullanırız: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- \( 100^2 + 60^2 = c^2 \).
- \( 10000 + 3600 = c^2 \).
- \( 13600 = c^2 \).
- \( c = \sqrt{13600} \).
- \( c = \sqrt{100 \cdot 136} = 10\sqrt{136} \).
- \( 136 = 4 \cdot 34 \) olduğundan, \( c = 10 \cdot \sqrt{4 \cdot 34} = 10 \cdot 2\sqrt{34} = 20\sqrt{34} \) metre.
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde \( AB = AC \) ve \( \angle A = 30^\circ \) ise, \( \angle B \) ve \( \angle C \) kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Bu bir ikizkenar üçgen sorusudur. İkizkenar üçgenlerde eşit kenarların karşısındaki açılar da birbirine eşittir. 💡
- Verilenler: \( AB = AC \) (ikizkenar üçgen olduğunu gösterir) ve \( \angle A = 30^\circ \).
- Eşit kenarlar \( AB \) ve \( AC \) olduğundan, bu kenarların karşısındaki açılar da eşittir: \( \angle B = \angle C \).
- Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \)dir: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \).
- \( 30^\circ + \angle B + \angle B = 180^\circ \) (Çünkü \( \angle B = \angle C \)).
- \( 30^\circ + 2\angle B = 180^\circ \).
- \( 2\angle B = 180^\circ - 30^\circ \).
- \( 2\angle B = 150^\circ \).
- \( \angle B = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ \).
- \( \angle C \) de \( \angle B \)ye eşit olduğu için \( \angle C = 75^\circ \).
Örnek 9:
Bir ABC üçgeninde \( BC \) kenarına ait kenarortay \( AD \) uzunluğu 5 birimdir. \( AB = 6 \) birim ve \( AC = 8 \) birim ise, \( BC \) kenarının uzunluğu kaç birimdir? 📏
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Kenarortay Teoremi (Apollonius Teoremi)'ni kullanacağız. 📌
- Verilenler: Kenarortay \( v_a = AD = 5 \) birim.
- Kenarlar \( c = AB = 6 \) birim ve \( b = AC = 8 \) birim.
- Bulmamız gereken \( BC = a \) kenarının uzunluğu.
- Kenarortay Teoremi formülü: \( b^2 + c^2 = 2(v_a^2 + (\frac{a}{2})^2) \).
- Değerleri yerine koyalım: \( 8^2 + 6^2 = 2(5^2 + (\frac{a}{2})^2) \).
- \( 64 + 36 = 2(25 + \frac{a^2}{4}) \).
- \( 100 = 2(25 + \frac{a^2}{4}) \).
- Her iki tarafı 2'ye bölelim: \( 50 = 25 + \frac{a^2}{4} \).
- \( \frac{a^2}{4} = 50 - 25 \).
- \( \frac{a^2}{4} = 25 \).
- \( a^2 = 25 \cdot 4 \).
- \( a^2 = 100 \).
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( a = \sqrt{100} \).
- \( a = 10 \) birim.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgende-acilar-ve-kenar-bagintilari-oklid-ve-pisagor/sorular