💡 9. Sınıf Matematik: Üçgende Açı Çözümlü Örnekler

• Üçgenin iç açılarının toplamı \(180^\circ\) olduğunu biliyoruz. 💡
• Bu durumda iç açıların toplamını gösteren denklemi kurarız: \(m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ\).
• Verilen açı değerlerini yerine yazalım: \(70^\circ + 50^\circ + m(\widehat{C}) = 180^\circ\).
• İlk olarak bilinen açıları toplayalım: \(120^\circ + m(\widehat{C}) = 180^\circ\).
• \(m(\widehat{C})\) açısını bulmak için \(120^\circ\)'yi eşitliğin diğer tarafına atalım: \(m(\widehat{C}) = 180^\circ - 120^\circ\).
• Sonuç olarak \(m(\widehat{C}) = 60^\circ\) bulunur. ✅

• 📌 Bir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.
• A köşesindeki dış açı \(110^\circ\) olduğuna göre, \(m(\widehat{A_{dış}}) = m(\widehat{B}) + m(\widehat{C})\) denklemini yazabiliriz.
• Verilen değerleri yerine koyalım: \(110^\circ = 60^\circ + m(\widehat{C})\).
• \(m(\widehat{C})\) açısını bulmak için \(60^\circ\)'yi eşitliğin diğer tarafına atalım: \(m(\widehat{C}) = 110^\circ - 60^\circ\).
• Sonuç olarak \(m(\widehat{C}) = 50^\circ\) bulunur. ✅

• 👉 Üçgenin iki kenarı eşitse, bu üçgen ikizkenar üçgendir. İkizkenar üçgende eşit kenarların karşılarındaki açılar da birbirine eşittir.
• \(|AB| = |AC|\) olduğu için \(m(\widehat{B}) = m(\widehat{C})\) olacaktır. Bu eşit açılara \(x\) diyelim.
• Üçgenin iç açılarının toplamı \(180^\circ\)'dir: \(m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ\).
• Değerleri yerine yazalım: \(80^\circ + x + x = 180^\circ\).
• Denklemi düzenleyelim: \(80^\circ + 2x = 180^\circ\).
• \(80^\circ\)'yi eşitliğin diğer tarafına atalım: \(2x = 180^\circ - 80^\circ\).
• Çıkarma işlemini yapalım: \(2x = 100^\circ\).
• \(x\)'i bulmak için her iki tarafı 2'ye bölelim: \(x = \frac{100^\circ}{2}\).
• Böylece \(x = 50^\circ\) bulunur. Yani \(m(\widehat{B}) = 50^\circ\) ve \(m(\widehat{C}) = 50^\circ\)'dir. ✅

• 💡 Eşkenar üçgenin tüm kenar uzunlukları birbirine eşit ve tüm iç açıları \(60^\circ\)'dir.
• Bu durumda ABC eşkenar üçgen olduğu için \(m(\widehat{A}) = m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) = 60^\circ\) diyebiliriz.
• Soruda verilen \(m(\widehat{DAC}) = 20^\circ\) bilgisini kullanalım.
• Şimdi ADC üçgenine odaklanalım. Bu üçgenin iç açıları \(m(\widehat{DAC})\), \(m(\widehat{C})\) ve \(m(\widehat{ADC})\)'dir.
• Bu açıların toplamı \(180^\circ\) olmalıdır: \(m(\widehat{DAC}) + m(\widehat{C}) + m(\widehat{ADC}) = 180^\circ\).
• Bilinen değerleri yerine yazalım: \(20^\circ + 60^\circ + m(\widehat{ADC}) = 180^\circ\).
• Toplama işlemini yapalım: \(80^\circ + m(\widehat{ADC}) = 180^\circ\).
• \(m(\widehat{ADC})\) açısını bulmak için \(80^\circ\)'yi eşitliğin diğer tarafına atalım: \(m(\widehat{ADC}) = 180^\circ - 80^\circ\).
• Sonuç olarak \(m(\widehat{ADC}) = 100^\circ\) bulunur. ✅

• 📌 Açıortay, bir açıyı iki eşit parçaya bölen doğru parçasıdır.
• \(BD\) ve \(CD\) birer iç açıortaydır. Bu nedenle \(m(\widehat{DBC}) = \frac{m(\widehat{B})}{2}\) ve \(m(\widehat{DCB}) = \frac{m(\widehat{C})}{2}\) olacaktır.
• ABC üçgeninin iç açıları toplamı \(180^\circ\)'dir: \(m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ\).
• Verilen \(m(\widehat{A}) = 70^\circ\) değerini yerine yazalım: \(70^\circ + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ\).
• Buradan \(m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\) bulunur.
• Şimdi BDC üçgenine bakalım. Bu üçgenin iç açıları toplamı da \(180^\circ\)'dir: \(m(\widehat{DBC}) + m(\widehat{DCB}) + m(\widehat{BDC}) = 180^\circ\).
• Açıortay tanımını kullanarak denklemi düzenleyelim: \(\frac{m(\widehat{B})}{2} + \frac{m(\widehat{C})}{2} + m(\widehat{BDC}) = 180^\circ\).
• Denklemi ortak paydada yazarsak: \(\frac{m(\widehat{B}) + m(\widehat{C})}{2} + m(\widehat{BDC}) = 180^\circ\).
• Daha önce \(m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 110^\circ\) bulmuştuk. Bunu yerine yazalım: \(\frac{110^\circ}{2} + m(\widehat{BDC}) = 180^\circ\).
• Sadeleştirme işlemini yapalım: \(55^\circ + m(\widehat{BDC}) = 180^\circ\).
• \(m(\widehat{BDC})\) açısını bulmak için \(55^\circ\)'yi eşitliğin diğer tarafına atalım: \(m(\widehat{BDC}) = 180^\circ - 55^\circ\).
• Sonuç olarak \(m(\widehat{BDC}) = 125^\circ\) bulunur. ✅

Ek Bilgi: İç açıortayların kesim noktasında oluşan açı için pratik bir formül de mevcuttur: \(m(\widehat{BDC}) = 90^\circ + \frac{m(\widehat{A})}{2}\). Bu formülü kullanarak da \(m(\widehat{BDC}) = 90^\circ + \frac{70^\circ}{2} = 90^\circ + 35^\circ = 125^\circ\) sonucuna ulaşabilirsiniz.

• 📌 Dış açıortaylar, üçgenin dış açılarını iki eşit parçaya bölen ışınlardır.
• B köşesindeki dış açı \(m(\widehat{B_{dış}})\) ve C köşesindeki dış açı \(m(\widehat{C_{dış}})\) diyelim.
• Bir köşedeki iç açı ile dış açının toplamı \(180^\circ\)'dir:
  • \(m(\widehat{B}) + m(\widehat{B_{dış}}) = 180^\circ \implies m(\widehat{B_{dış}}) = 180^\circ - m(\widehat{B})\)
  • \(m(\widehat{C}) + m(\widehat{C_{dış}}) = 180^\circ \implies m(\widehat{C_{dış}}) = 180^\circ - m(\widehat{C})\)
• BD ve CD dış açıortay olduğu için BDC üçgeninin açıları:
  • \(m(\widehat{DBC}) = \frac{m(\widehat{B_{dış}})}{2} = \frac{180^\circ - m(\widehat{B})}{2}\)
  • \(m(\widehat{DCB}) = \frac{m(\widehat{C_{dış}})}{2} = \frac{180^\circ - m(\widehat{C})}{2}\)
• ABC üçgeninin iç açıları toplamı \(180^\circ\)'dir: \(m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ\).
• \(80^\circ + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ \implies m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 100^\circ\).
• Şimdi BDC üçgeninin iç açıları toplamını yazalım: \(m(\widehat{DBC}) + m(\widehat{DCB}) + m(\widehat{BDC}) = 180^\circ\).
• Yerine koyarak denklemi oluşturalım: \[ \frac{180^\circ - m(\widehat{B})}{2} + \frac{180^\circ - m(\widehat{C})}{2} + m(\widehat{BDC}) = 180^\circ \] \[ \frac{360^\circ - (m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}))}{2} + m(\widehat{BDC}) = 180^\circ \]
• \(m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 100^\circ\) olduğunu yerine yazalım: \[ \frac{360^\circ - 100^\circ}{2} + m(\widehat{BDC}) = 180^\circ \] \[ \frac{260^\circ}{2} + m(\widehat{BDC}) = 180^\circ \] \[ 130^\circ + m(\widehat{BDC}) = 180^\circ \]
• \(m(\widehat{BDC})\) açısını bulalım: \(m(\widehat{BDC}) = 180^\circ - 130^\circ\).
• Sonuç olarak \(m(\widehat{BDC}) = 50^\circ\) bulunur. ✅

Ek Bilgi: Dış açıortayların kesim noktasında oluşan açı için pratik bir formül de mevcuttur: \(m(\widehat{BDC}) = 90^\circ - \frac{m(\widehat{A})}{2}\). Bu formülü kullanarak da \(m(\widehat{BDC}) = 90^\circ - \frac{80^\circ}{2} = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\) sonucuna ulaşabilirsiniz.

• 👉 İlk olarak ABD üçgenine odaklanalım. \(|AB| = |BD|\) olduğu için bu bir ikizkenar üçgendir.
• İkizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki açılar eşittir, yani \(m(\widehat{BDA}) = m(\widehat{BAD})\).
• \(m(\widehat{BAD})\) açısı, \(m(\widehat{BAC})\) açısıyla aynıdır, yani \(m(\widehat{BAD}) = 70^\circ\).
• Bu durumda \(m(\widehat{BDA}) = 70^\circ\) olur.
• Şimdi ADC açısına bakalım. BDA açısı ile ADC açısı bir doğru üzerinde komşu bütünler açılardır, yani toplamları \(180^\circ\)'dir.
• \(m(\widehat{BDA}) + m(\widehat{ADC}) = 180^\circ\).
• \(70^\circ + m(\widehat{ADC}) = 180^\circ \implies m(\widehat{ADC}) = 110^\circ\).
• Şimdi ABD üçgeninin iç açıları toplamını kullanarak \(m(\widehat{ABD})\) açısını bulalım: \(m(\widehat{BAD}) + m(\widehat{ABD}) + m(\widehat{BDA}) = 180^\circ\).
• \(70^\circ + m(\widehat{ABD}) + 70^\circ = 180^\circ \implies 140^\circ + m(\widehat{ABD}) = 180^\circ\).
• \(m(\widehat{ABD}) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\).
• Büyük ABC üçgenindeki \(m(\widehat{ABC})\) açısı, \(m(\widehat{ABD})\) ve \(m(\widehat{DBC})\) açılarının toplamıdır: \(m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ABD}) + m(\widehat{DBC})\).
• Yani \(m(\widehat{ABC}) = 40^\circ + 30^\circ = 70^\circ\).
• Son olarak, ABC üçgeninin iç açıları toplamı \(180^\circ\)'dir: \(m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{ACB}) = 180^\circ\).
• Verilen ve bulduğumuz değerleri yerine yazalım: \(70^\circ + 70^\circ + m(\widehat{ACB}) = 180^\circ\).
• Toplama işlemini yapalım: \(140^\circ + m(\widehat{ACB}) = 180^\circ\).
• \(m(\widehat{ACB})\) açısını bulalım: \(m(\widehat{ACB}) = 180^\circ - 140^\circ\).
• Sonuç olarak \(m(\widehat{ACB}) = 40^\circ\) bulunur. ✅

• 💡 Bu problemde, üçgenin iç açıları arasındaki ilişkileri kullanarak açıları bulmamız isteniyor.
• Açıları değişkenlerle ifade edelim:
  • \(m(\widehat{L}) = x\) olsun.
  • \(m(\widehat{K})\) açısı, \(m(\widehat{L})\) açısından \(10^\circ\) fazla olduğu için \(m(\widehat{K}) = x + 10^\circ\) olur.
  • \(m(\widehat{M})\) açısı, \(m(\widehat{K})\) açısından \(20^\circ\) az olduğu için \(m(\widehat{M}) = (x + 10^\circ) - 20^\circ = x - 10^\circ\) olur.
• Üçgenin iç açılarının toplamı \(180^\circ\)'dir: \(m(\widehat{K}) + m(\widehat{L}) + m(\widehat{M}) = 180^\circ\).
• Değişkenlerle ifade ettiğimiz açıları denklemde yerine yazalım: \((x + 10^\circ) + x + (x - 10^\circ) = 180^\circ\).
• Denklemi basitleştirelim: \(x + x + x + 10^\circ - 10^\circ = 180^\circ\).
• Yani \(3x = 180^\circ\).
• \(x\)'i bulmak için her iki tarafı 3'e bölelim: \(x = \frac{180^\circ}{3}\).
• \(x = 60^\circ\) bulunur.
• Şimdi her bir açıyı hesaplayalım:
  • \(m(\widehat{L}) = x = 60^\circ\).
  • \(m(\widehat{K}) = x + 10^\circ = 60^\circ + 10^\circ = 70^\circ\).
  • \(m(\widehat{M}) = x - 10^\circ = 60^\circ - 10^\circ = 50^\circ\).
• Kontrol edelim: \(70^\circ + 60^\circ + 50^\circ = 180^\circ\). Doğru. ✅

• 💡 Bu senaryoda dağcı, bayrak direği ve zemin bir dik üçgen oluşturmaktadır.
• Bayrak direği zemine dik olduğu için, direğin zemine değdiği Z noktasındaki açı \(m(\widehat{Z})\) aslında \(90^\circ\) değildir. Bu, direğin kendi iç açısıdır. Problemde kastedilen üçgenin köşeleri D, B ve Z'dir. Direğin zemine dik olması demek, Z noktasında direk ile yer arasında \(90^\circ\) açı olması demektir. Bu durumda, üçgenin B köşesindeki açı, direğin tepesidir. Dağcının (D) ve direğin zemine değdiği nokta (Z) ile oluşturduğu üçgende Z açısı \(90^\circ\) olur.
• Verilen bilgilere göre, DBZ üçgeni bir dik üçgendir ve \(m(\widehat{Z}) = 90^\circ\)'dir.
• Dağcının direğe baktığı açı \(m(\widehat{D}) = 40^\circ\)'dir.
• Bizden istenen direğin tepesinden dağcıya doğru olan bakış açısı, yani \(m(\widehat{B})\)'dir.
• Üçgenin iç açılarının toplamı \(180^\circ\) olduğunu biliyoruz.
• \(m(\widehat{D}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{Z}) = 180^\circ\) denklemini kuralım.
• Verilen değerleri yerine yazalım: \(40^\circ + m(\widehat{B}) + 90^\circ = 180^\circ\).
• Toplama işlemini yapalım: \(m(\widehat{B}) + 130^\circ = 180^\circ\).
• \(m(\widehat{B})\) açısını bulmak için \(130^\circ\)'yi eşitliğin diğer tarafına atalım: \(m(\widehat{B}) = 180^\circ - 130^\circ\).
• Sonuç olarak \(m(\widehat{B}) = 50^\circ\) bulunur. ✅