🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgende Açı Ve Kenarlarla İlgili Özellikler Testleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgende Açı Ve Kenarlarla İlgili Özellikler Testleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde \(m(\widehat{A}) = 70^\circ\) ve \(m(\widehat{B}) = 50^\circ\) olduğuna göre, \(m(\widehat{C})\) kaç derecedir? Ayrıca, C köşesindeki dış açı kaç derecedir?
Çözüm:
- 💡 Bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman \(180^\circ\)dir.
- 👉 Verilen açıları toplayalım: \(m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) = 70^\circ + 50^\circ = 120^\circ\).
- ✅ \(m(\widehat{C})\) açısını bulmak için bu toplamı \(180^\circ\)den çıkarırız:
\(m(\widehat{C}) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). - 📌 Bir iç açı ile ona komşu olan dış açının toplamı \(180^\circ\)dir.
- 👉 C köşesindeki iç açı \(60^\circ\) olduğuna göre, dış açı:
\(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde \(|AB| = |AC|\) ve \(m(\widehat{A}) = 80^\circ\) olduğuna göre, \(m(\widehat{B})\) kaç derecedir?
Çözüm:
- 💡 Bir üçgende eşit kenarların karşısındaki açılar da eşittir. Bu üçgene ikizkenar üçgen denir.
- 👉 \(|AB| = |AC|\) olduğu için ABC üçgeni ikizkenar bir üçgendir. Bu durumda, B ve C köşelerindeki açılar birbirine eşittir: \(m(\widehat{B}) = m(\widehat{C})\).
- 📌 Üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\) olduğundan:
\(m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ\). - ✅ Verilenleri yerine yazarsak:
\(80^\circ + m(\widehat{B}) + m(\widehat{B}) = 180^\circ\)
\(80^\circ + 2 \cdot m(\widehat{B}) = 180^\circ\)
\(2 \cdot m(\widehat{B}) = 180^\circ - 80^\circ\)
\(2 \cdot m(\widehat{B}) = 100^\circ\)
\(m(\widehat{B}) = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ\).
Örnek 3:
Bir XYZ üçgeninde \(m(\widehat{X}) = 65^\circ\), \(m(\widehat{Y}) = 45^\circ\) olduğuna göre, üçgenin kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Çözüm:
- 💡 Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında ise küçük kenar bulunur.
- 👉 Öncelikle üçüncü açı olan \(m(\widehat{Z})\) açısını bulmalıyız. Üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\)dir.
\(m(\widehat{Z}) = 180^\circ - (m(\widehat{X}) + m(\widehat{Y}))\)
\(m(\widehat{Z}) = 180^\circ - (65^\circ + 45^\circ)\)
\(m(\widehat{Z}) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\). - 📌 Şimdi açıları küçükten büyüğe sıralayalım:
\(m(\widehat{Y}) < m(\widehat{X}) < m(\widehat{Z})\)
\(45^\circ < 65^\circ < 70^\circ\). - ✅ Bu açıların karşısındaki kenarları da aynı sırayla sıralayabiliriz:
Y açısının karşısındaki kenar \(|XZ|\),
X açısının karşısındaki kenar \(|YZ|\),
Z açısının karşısındaki kenar \(|XY|\) olduğundan,
Kenar sıralaması: \(|XZ| < |YZ| < |XY|\) şeklinde olur.
Örnek 4:
Bir üçgenin kenar uzunlukları 5 cm ve 9 cm'dir. Buna göre, üçüncü kenarın uzunluğu (x) bir tam sayı olmak üzere kaç farklı değer alabilir?
Çözüm:
- 💡 Bir üçgende, herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyük olmalıdır. Bu kurala üçgen eşitsizliği denir.
- 👉 Verilen kenar uzunlukları 5 cm ve 9 cm olsun. Üçüncü kenar x olsun.
\(|9 - 5| < x < 9 + 5\)
\(4 < x < 14\). - 📌 Bu eşitsizliğe göre, x'in alabileceği tam sayı değerleri 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13'tür.
- ✅ Bu değerleri saydığımızda, x'in alabileceği 9 farklı tam sayı değeri olduğunu görürüz.
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde D noktası BC kenarı üzerindedir. \(|AD| = |DC|\) ve \(m(\widehat{BAD}) = 30^\circ\), \(m(\widehat{ACB}) = 40^\circ\) olduğuna göre, \(m(\widehat{ABC})\) kaç derecedir?
Çözüm:
- 💡 Geometri problemlerinde, verilen eşitlikleri ve temel açı özelliklerini kullanarak adım adım ilerlemek önemlidir.
- 👉 Önce ADC üçgenine odaklanalım. \(|AD| = |DC|\) verildiği için ADC üçgeni ikizkenardır.
- 📌 İkizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki açılar eşittir. Bu durumda \(m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{DCA})\).
\(m(\widehat{DCA})\) açısı \(m(\widehat{ACB})\) ile aynı açıdır, yani \(40^\circ\).
O halde, \(m(\widehat{DAC}) = 40^\circ\). - 👉 Şimdi ABC üçgenindeki \(m(\widehat{BAC})\) açısını bulalım.
\(m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{BAD}) + m(\widehat{DAC})\)
\(m(\widehat{BAC}) = 30^\circ + 40^\circ = 70^\circ\). - ✅ Son olarak, ABC üçgeninin iç açıları toplamı \(180^\circ\) olduğu bilgisini kullanalım:
\(m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ACB}) = 180^\circ\)
\(m(\widehat{ABC}) + 70^\circ + 40^\circ = 180^\circ\)
\(m(\widehat{ABC}) + 110^\circ = 180^\circ\)
\(m(\widehat{ABC}) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\).
Örnek 6:
Bir mimar, yeni bir park için üçgen şeklinde bir yürüyüş yolu tasarlıyor. Bu yürüyüş yolunun köşeleri A, B ve C olarak belirlenmiştir. Mimar, yolun güvenliği ve manzarası için bazı koşullar belirlemiştir:
Bu bilgilere göre, yürüyüş yollarının uzunlukları \(|AB|\), \(|BC|\) ve \(|AC|\) arasındaki doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir?
- A köşesindeki açı \(50^\circ\)dir.
- B köşesindeki açı \(60^\circ\)dir.
Bu bilgilere göre, yürüyüş yollarının uzunlukları \(|AB|\), \(|BC|\) ve \(|AC|\) arasındaki doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
- 💡 Yeni nesil sorularda verilen metni dikkatlice okuyup matematiksel ifadelere dönüştürmek önemlidir.
- 👉 Öncelikle C köşesindeki açıyı bulmalıyız. Üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\)dir.
\(m(\widehat{C}) = 180^\circ - (m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}))\)
\(m(\widehat{C}) = 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ)\)
\(m(\widehat{C}) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\). - 📌 Şimdi açıları küçükten büyüğe sıralayalım:
\(m(\widehat{A}) < m(\widehat{B}) < m(\widehat{C})\)
\(50^\circ < 60^\circ < 70^\circ\). - ✅ Açı-kenar bağıntısına göre, büyük açı karşısında büyük kenar bulunur.
A açısının karşısındaki kenar \(|BC|\),
B açısının karşısındaki kenar \(|AC|\),
C açısının karşısındaki kenar \(|AB|\) olduğundan,
Kenar sıralaması: \(|BC| < |AC| < |AB|\) şeklinde olur.
Örnek 7:
Bir köyde Ahmet'in evi (A), okul (O) ve market (M) üçgen şeklinde bir konumdadır. Ahmet'in evinden okula olan mesafe 7 km, okuldan markete olan mesafe ise 10 km'dir. Ahmet, evinden markete gitmek için doğrudan bir yol yapmak istiyor. Bu yeni yolun uzunluğu (x) tam sayı olarak en az kaç km olabilir?
Çözüm:
- 💡 Bu tür günlük hayat problemlerinde, konumları bir üçgenin köşeleri gibi düşünebiliriz. Burada Ahmet'in evi, okul ve market bir üçgenin köşeleridir (A, O, M).
- 👉 Ahmet'in evinden okula uzaklık \(|AO| = 7\) km, okuldan markete uzaklık \(|OM| = 10\) km'dir. Evden markete olan yeni yolun uzunluğu \(|AM| = x\) km olacaktır.
- 📌 Üçgen eşitsizliği kuralına göre, bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyük, toplamından ise küçük olmalıdır.
\(|10 - 7| < x < 10 + 7\)
\(3 < x < 17\). - ✅ Bu eşitsizliğe göre, x'in alabileceği tam sayı değerleri 4, 5, ..., 16'dır.
Soruda "en az kaç km olabilir" diye sorulduğu için, x'in alabileceği en küçük tam sayı değeri 4 km'dir.
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde \(m(\widehat{A}) = 2x + 10^\circ\), \(m(\widehat{B}) = 3x - 20^\circ\) ve \(m(\widehat{C}) = x + 30^\circ\) olarak verilmiştir. Buna göre, üçgenin kenarlarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız.
Çözüm:
- 💡 Üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\) bilgisini kullanarak x değerini bulmalıyız.
- 👉 Açıların toplamını \(180^\circ\)ye eşitleyelim:
\((2x + 10^\circ) + (3x - 20^\circ) + (x + 30^\circ) = 180^\circ\)
\(6x + 20^\circ = 180^\circ\)
\(6x = 180^\circ - 20^\circ\)
\(6x = 160^\circ\)
\(x = \frac{160^\circ}{6} = \frac{80^\circ}{3}\). - 📌 x değerini bulduktan sonra, her bir açının ölçüsünü hesaplayalım:
\(m(\widehat{A}) = 2 \cdot \frac{80^\circ}{3} + 10^\circ = \frac{160^\circ}{3} + \frac{30^\circ}{3} = \frac{190^\circ}{3} \approx 63.33^\circ\)
\(m(\widehat{B}) = 3 \cdot \frac{80^\circ}{3} - 20^\circ = 80^\circ - 20^\circ = 60^\circ\)
\(m(\widehat{C}) = \frac{80^\circ}{3} + 30^\circ = \frac{80^\circ}{3} + \frac{90^\circ}{3} = \frac{170^\circ}{3} \approx 56.67^\circ\) - Şimdi açıları büyükten küçüğe sıralayalım:
\(m(\widehat{A}) > m(\widehat{B}) > m(\widehat{C})\)
\(63.33^\circ > 60^\circ > 56.67^\circ\). - ✅ Açı-kenar bağıntısına göre, büyük açı karşısında büyük kenar bulunur.
A açısının karşısındaki kenar \(|BC|\),
B açısının karşısındaki kenar \(|AC|\),
C açısının karşısındaki kenar \(|AB|\) olduğundan,
Kenar sıralaması: \(|BC| > |AC| > |AB|\) şeklinde olur.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgende-aci-ve-kenarlarla-ilgili-ozellikler-testleri/sorular