🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgende Açı Ve Kenarlarla İlgili Özellikler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgende Açı Ve Kenarlarla İlgili Özellikler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde iç açılarının ölçüleri \( m(\widehat{A}) = 70^\circ \), \( m(\widehat{B}) = 50^\circ \) ve \( m(\widehat{C}) = 60^\circ \) olarak verilmiştir. Buna göre, üçgenin kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur kuralını kullanacağız. 💡
- Öncelikle, üçgenin iç açılarının ölçülerini karşılaştıralım:
\( m(\widehat{B}) = 50^\circ \), \( m(\widehat{C}) = 60^\circ \), \( m(\widehat{A}) = 70^\circ \) - Açıları küçükten büyüğe doğru sıralarsak:
\( m(\widehat{B}) < m(\widehat{C}) < m(\widehat{A}) \) - Şimdi bu açıların karşısındaki kenarları belirleyelim:
- \( \widehat{B} \) açısının karşısındaki kenar: b (AC kenarı)
- \( \widehat{C} \) açısının karşısındaki kenar: c (AB kenarı)
- \( \widehat{A} \) açısının karşısındaki kenar: a (BC kenarı)
- Açı-kenar ilişkisi kuralına göre, kenarları küçükten büyüğe doğru sıralarsak:
\( b < c < a \)
Örnek 2:
Bir KLM üçgeninde KL kenarının uzunluğu \( 8 \) cm, LM kenarının uzunluğu \( 13 \) cm'dir. KM kenarının uzunluğu bir tam sayı olduğuna göre, KM kenarının alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için üçgen eşitsizliği kuralını kullanacağız. 📌 Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyük olmalıdır.
- Verilen kenar uzunlukları: \( |KL| = 8 \) cm, \( |LM| = 13 \) cm.
- KM kenarının uzunluğuna x diyelim. Yani \( |KM| = x \).
- Üçgen eşitsizliğini KM kenarı için yazalım:
\( |13 - 8| < x < 13 + 8 \) - Hesaplamayı yapalım:
\( 5 < x < 21 \) - Bu eşitsizliği sağlayan tam sayı değerleri 6, 7, 8, ..., 20'dir.
- Alabileceği farklı tam sayı değerlerinin sayısını bulmak için:
\( 20 - 6 + 1 = 15 \)
Örnek 3:
Bir PQR üçgeninde \( |PQ| = |PR| \) ve \( m(\widehat{P}) = 80^\circ \) olarak verilmiştir. Buna göre, üçgenin kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Çözüm:
Bu bir ikizkenar üçgen sorusudur. İkizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki açılar da eşittir.
- PQR üçgeninde \( |PQ| = |PR| \) olduğu için, bu kenarların karşısındaki açılar da eşit olacaktır:
\( m(\widehat{R}) = m(\widehat{Q}) \) - Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) olduğu için:
\( m(\widehat{P}) + m(\widehat{Q}) + m(\widehat{R}) = 180^\circ \) - Verilen \( m(\widehat{P}) = 80^\circ \) değerini yerine koyalım:
\( 80^\circ + m(\widehat{Q}) + m(\widehat{Q}) = 180^\circ \)
\( 80^\circ + 2 \cdot m(\widehat{Q}) = 180^\circ \)
\( 2 \cdot m(\widehat{Q}) = 180^\circ - 80^\circ \)
\( 2 \cdot m(\widehat{Q}) = 100^\circ \)
\( m(\widehat{Q}) = 50^\circ \) - Dolayısıyla, \( m(\widehat{R}) = 50^\circ \) olur.
- Şimdi tüm açıları sıralayalım:
\( m(\widehat{Q}) = 50^\circ \), \( m(\widehat{R}) = 50^\circ \), \( m(\widehat{P}) = 80^\circ \) - Açı-kenar ilişkisi kuralına göre kenarları sıralayalım:
- \( \widehat{Q} \) açısının karşısındaki kenar: p (PR kenarı)
- \( \widehat{R} \) açısının karşısındaki kenar: q (PQ kenarı)
- \( \widehat{P} \) açısının karşısındaki kenar: r (QR kenarı)
- Kenarları küçükten büyüğe doğru sıralarsak:
\( |PQ| = |PR| < |QR| \) veya \( q = p < r \)
Örnek 4:
Bir ABCD dörtgeninde, B köşesinden AC köşegenine bir doğru parçası çizilmiştir. Bu doğru parçası D noktasında AC'yi kesmektedir.
\( m(\widehat{BAC}) = 50^\circ \), \( m(\widehat{BCA}) = 60^\circ \), \( m(\widehat{ACD}) = 75^\circ \), \( m(\widehat{CAD}) = 30^\circ \) olarak verilmiştir. Buna göre, AB, BC, CD ve AD kenarlarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
\( m(\widehat{BAC}) = 50^\circ \), \( m(\widehat{BCA}) = 60^\circ \), \( m(\widehat{ACD}) = 75^\circ \), \( m(\widehat{CAD}) = 30^\circ \) olarak verilmiştir. Buna göre, AB, BC, CD ve AD kenarlarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Çözüm:
Bu soru, iç içe iki üçgende (ABC ve ADC) açı-kenar ilişkisini ayrı ayrı uygulayıp sonuçları birleştirmeyi gerektirir. 👉
- Önce ABC üçgenini inceleyelim:
- Verilen açılar: \( m(\widehat{BAC}) = 50^\circ \), \( m(\widehat{BCA}) = 60^\circ \).
- \( m(\widehat{ABC}) \) açısını bulalım: \( 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \).
- ABC üçgenindeki açı sıralaması: \( 50^\circ < 60^\circ < 70^\circ \) yani \( m(\widehat{BAC}) < m(\widehat{BCA}) < m(\widehat{ABC}) \).
- Karşılık gelen kenar sıralaması: BC < AB < AC. (Çünkü \( \widehat{BAC} \) karşısında BC, \( \widehat{BCA} \) karşısında AB, \( \widehat{ABC} \) karşısında AC kenarı vardır.)
- Şimdi ADC üçgenini inceleyelim:
- Verilen açılar: \( m(\widehat{ACD}) = 75^\circ \), \( m(\widehat{CAD}) = 30^\circ \).
- \( m(\widehat{ADC}) \) açısını bulalım: \( 180^\circ - (75^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \).
- ADC üçgenindeki açı sıralaması: \( 30^\circ < 75^\circ = 75^\circ \) yani \( m(\widehat{CAD}) < m(\widehat{ACD}) = m(\widehat{ADC}) \).
- Karşılık gelen kenar sıralaması: CD < AD = AC. (Çünkü \( \widehat{CAD} \) karşısında CD, \( \widehat{ACD} \) karşısında AD, \( \widehat{ADC} \) karşısında AC kenarı vardır.)
- Sonuçları birleştirelim:
- ABC üçgeninden: \( BC < AB < AC \)
- ADC üçgeninden: \( CD < AD = AC \)
- Her iki sıralamada da AC en büyük kenarlardan biri olarak ortaya çıkıyor. AD kenarının AC'ye eşit olması önemli.
- Sıralamaları birleştirdiğimizde:
\( BC < AB < AC \) ve \( CD < AD \) ve \( AD = AC \) olduğu için
\( BC < AB < CD < AD = AC \) veya \( BC < AB < CD < AC = AD \) şeklinde bir sıralama elde ederiz.
Örnek 5:
Elif, evinden (E) okula (O) gitmek için üç farklı yol düşlemektedir.
Birinci yol: Doğrudan evden okula gitmek.
İkinci yol: Önce parkın (P) yanından geçip oradan okula gitmek.
Üçüncü yol: Önce kütüphanenin (K) yanından geçip oradan okula gitmek.
Elif, evinden parka \( 3 \) km, parktan okula \( 5 \) km uzaklıktadır. Evinden kütüphaneye \( 6 \) km, kütüphaneden okula \( 4 \) km uzaklıktadır.
Buna göre, Elif'in evden okula doğrudan gittiği yolun uzunluğu (EO) bir tam sayı olmak üzere, bu yolun alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Birinci yol: Doğrudan evden okula gitmek.
İkinci yol: Önce parkın (P) yanından geçip oradan okula gitmek.
Üçüncü yol: Önce kütüphanenin (K) yanından geçip oradan okula gitmek.
Elif, evinden parka \( 3 \) km, parktan okula \( 5 \) km uzaklıktadır. Evinden kütüphaneye \( 6 \) km, kütüphaneden okula \( 4 \) km uzaklıktadır.
Buna göre, Elif'in evden okula doğrudan gittiği yolun uzunluğu (EO) bir tam sayı olmak üzere, bu yolun alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm:
Bu problem üçgen eşitsizliği prensibini günlük hayat senaryosuna uygulayan bir "Yeni Nesil" sorusudur. 🌍
- Elif'in evden okula doğrudan gittiği yolun uzunluğuna x diyelim. (yani \( |EO| = x \))
- Birinci durum: Ev (E) - Park (P) - Okul (O) üçgeni.
- Kenar uzunlukları: \( |EP| = 3 \) km, \( |PO| = 5 \) km.
- Üçgen eşitsizliğine göre:
\( |5 - 3| < x < 5 + 3 \)
\( 2 < x < 8 \)
- İkinci durum: Ev (E) - Kütüphane (K) - Okul (O) üçgeni.
- Kenar uzunlukları: \( |EK| = 6 \) km, \( |KO| = 4 \) km.
- Üçgen eşitsizliğine göre:
\( |6 - 4| < x < 6 + 4 \)
\( 2 < x < 10 \)
- Her iki eşitsizliği de sağlayan x değerlerini bulmalıyız.
- \( 2 < x < 8 \)
- \( 2 < x < 10 \)
- Bu iki eşitsizliğin ortak çözümü, alt sınırların büyüğü ve üst sınırların küçüğü alınarak bulunur:
\( \max(2, 2) < x < \min(8, 10) \)
\( 2 < x < 8 \)
- Bu eşitsizliği sağlayan tam sayı değerleri 3, 4, 5, 6, 7'dir.
- Elif'in evden okula doğrudan gittiği yolun alabileceği en küçük tam sayı değeri \( 3 \) km'dir.
- Elif'in evden okula doğrudan gittiği yolun alabileceği en büyük tam sayı değeri \( 7 \) km'dir.
- Sorulan, bu en küçük ve en büyük tam sayı değerlerinin toplamıdır:
\( 3 + 7 = 10 \)
Örnek 6:
Bir şehir planlamacısı, bir nehrin karşı kıyılarına köprü inşa etmeyi planlamaktadır. Nehrin genişliği her yerde aynıdır ve köprüler her zaman nehre dik olarak inşa edilecektir.
Planlamacı, A noktasından başlayıp B, C ve D noktalarına ulaşan bir yol ağı tasarlamıştır.
A noktasından B noktasına \( 10 \) km, B noktasından C noktasına \( 15 \) km, C noktasından D noktasına \( 8 \) km'lik karayolları bulunmaktadır. Ancak A, B, C, D noktaları arasında nehir geçişleri de vardır.
Bir köprünün maliyeti, uzunluğuna göre değişmektedir. Planlamacı, köprülerin en kısa olmasını istemektedir.
Eğer A, B, C, D noktaları bir üçgenin köşeleri gibi düşünülebilseydi ve bu noktalar arasındaki mesafe en kısa yolu temsil etseydi (yani karayolu değil doğrudan mesafe), hangi iki nokta arasındaki mesafenin diğerlerine göre daha uzun olma potansiyeli en yüksektir? (Sadece karayolu uzunluklarına bakarak değil, üçgen eşitsizliği mantığıyla düşünerek cevaplayınız.)
Planlamacı, A noktasından başlayıp B, C ve D noktalarına ulaşan bir yol ağı tasarlamıştır.
A noktasından B noktasına \( 10 \) km, B noktasından C noktasına \( 15 \) km, C noktasından D noktasına \( 8 \) km'lik karayolları bulunmaktadır. Ancak A, B, C, D noktaları arasında nehir geçişleri de vardır.
Bir köprünün maliyeti, uzunluğuna göre değişmektedir. Planlamacı, köprülerin en kısa olmasını istemektedir.
Eğer A, B, C, D noktaları bir üçgenin köşeleri gibi düşünülebilseydi ve bu noktalar arasındaki mesafe en kısa yolu temsil etseydi (yani karayolu değil doğrudan mesafe), hangi iki nokta arasındaki mesafenin diğerlerine göre daha uzun olma potansiyeli en yüksektir? (Sadece karayolu uzunluklarına bakarak değil, üçgen eşitsizliği mantığıyla düşünerek cevaplayınız.)
Çözüm:
Bu senaryo, üçgen eşitsizliği ve açı-kenar ilişkisi prensiplerini günlük hayata uyarlamaktadır. 🌉 Soruda doğrudan mesafeler verilmediği için, sadece "potansiyel" bir sıralama yapabiliriz.
- Soruda A, B, C, D noktaları arasında karayolu uzunlukları verilmiş: \( |AB|=10 \) km, \( |BC|=15 \) km, \( |CD|=8 \) km.
- Nehir geçişleri olsa bile, bu noktalar arasında oluşabilecek üçgenleri ve dolayısıyla potansiyel en uzun kenarı düşünmeliyiz.
- Farz edelim ki A, B, C noktaları bir üçgen oluşturuyor. Bu durumda \( |AC| \) kenarının uzunluğu, \( |AB| \) ve \( |BC| \) kenarlarının toplamından küçük, farkından büyük olmalıdır. Yani \( |15-10| < |AC| < 15+10 \Rightarrow 5 < |AC| < 25 \).
- Farz edelim ki B, C, D noktaları bir üçgen oluşturuyor. Bu durumda \( |BD| \) kenarının uzunluğu, \( |BC| \) ve \( |CD| \) kenarlarının toplamından küçük, farkından büyük olmalıdır. Yani \( |15-8| < |BD| < 15+8 \Rightarrow 7 < |BD| < 23 \).
- Farz edelim ki A, C, D noktaları bir üçgen oluşturuyor. Burada \( |AC| \) ve \( |CD| \) biliniyor. \( |AD| \) için: \( ||AC|-|CD|| < |AD| < |AC|+|CD| \).
- Verilen karayolu uzunlukları arasında en uzunu \( |BC| = 15 \) km'dir. Bir üçgende en uzun kenar, karşısındaki açının en büyük olduğu kenardır.
- Eğer A, B, C, D noktaları bir dörtgen oluşturuyorsa, köşegenler (AC ve BD) de potansiyel uzun mesafeler olabilir.
- Üçgen eşitsizliği mantığına göre: Bir üçgende en uzun kenar, diğer iki kenarın toplamına en yakın olan (ama yine de küçük) veya en büyük açının karşısındaki kenardır.
- Şu an elimizde sadece karayolu uzunlukları var. Eğer bu noktalar bir üçgenin köşeleri olsaydı ve bu yollar o üçgenin kenarları olsaydı, en uzun karayolu olan BC kenarının karşısındaki açının en büyük olma potansiyeli vardır.
- Ancak soru "hangi iki nokta arasındaki mesafenin diğerlerine göre daha uzun olma potansiyeli en yüksektir?" diye soruyor ve bu mesafelerin doğrudan uzaklıklar olduğunu ima ediyor (köprüler en kısa).
- Eğer A, B, C, D noktaları düzlemsel ise ve bir dörtgen oluşturuyorsa, köşegenler (AC ve BD) genellikle kenarlardan daha uzun olma potansiyeline sahiptir.
- Verilen karayolu uzunlukları arasında en büyük olan 15 km'dir. Bu, BC kenarıdır. Eğer bir üçgenin en uzun kenarı olsaydı, karşısındaki açı en büyük olurdu.
- Ancak, bu bir "yol ağı" ve "doğrudan mesafe" sorusu olduğu için, A ile C arasındaki doğrudan mesafe \( |AC| \) ve B ile D arasındaki doğrudan mesafe \( |BD| \) köşegenleri, kenarlar olan AB, BC, CD, AD'den daha uzun olma potansiyeline sahiptir.
- AC köşegeninin maksimum değeri \( 25 \) km'ye yaklaşabilir, BD köşegeninin maksimum değeri \( 23 \) km'ye yaklaşabilir. Bu değerler verilen karayolu uzunluklarından (10, 15, 8) daha büyüktür.
Örnek 7:
Bir ABC üçgeninde \( m(\widehat{A}) = 40^\circ \) ve \( m(\widehat{B}) = 75^\circ \) olarak verilmiştir. Bu üçgenin A köşesinden çizilen yüksekliği \( h_a \), açıortayı \( n_a \) ve kenarortayı \( v_a \) arasındaki sıralama nasıldır?
Çözüm:
Bu soruda aynı köşeden çizilen yükseklik, açıortay ve kenarortay arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. 💡 Bir üçgende aynı köşeden çizilen yükseklik, açıortay ve kenarortay arasında her zaman belirli bir büyüklük sıralaması vardır.
- Öncelikle, ABC üçgeninin C açısının ölçüsünü bulalım:
\( m(\widehat{C}) = 180^\circ - (m(\widehat{A}) + m(\widehat{B})) \)
\( m(\widehat{C}) = 180^\circ - (40^\circ + 75^\circ) \)
\( m(\widehat{C}) = 180^\circ - 115^\circ \)
\( m(\widehat{C}) = 65^\circ \) - Üçgenin açıları: \( m(\widehat{A}) = 40^\circ \), \( m(\widehat{B}) = 75^\circ \), \( m(\widehat{C}) = 65^\circ \).
- Bir üçgende aynı köşeden çizilen yükseklik, açıortay ve kenarortay arasında her zaman \( h_a \le n_a \le v_a \) sıralaması geçerlidir. Bu kural, üçgenin türünden (eşkenar, ikizkenar, çeşitkenar) bağımsızdır.
- Sadece eşkenar üçgende bu üç uzunluk birbirine eşit olur. Diğer üçgenlerde ise kesinlikle \( h_a < n_a < v_a \) ilişkisi geçerlidir.
- Verilen açılar farklı olduğu için (yani çeşitkenar bir üçgen olduğu için), eşitlik durumu söz konusu değildir.
Örnek 8:
Bir XYZ üçgeninde \( m(\widehat{X}) = 100^\circ \), \( |XY| = 6 \) cm ve \( |XZ| = 9 \) cm olarak verilmiştir. YZ kenarının uzunluğu bir tam sayı olduğuna göre, YZ kenarının alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Çözüm:
Bu soruda geniş açılı bir üçgende açı-kenar ilişkisi ve üçgen eşitsizliği kurallarını bir arada kullanacağız. 📌
- Verilen açılar: \( m(\widehat{X}) = 100^\circ \). Bu açı \( 90^\circ \)'den büyük olduğu için XYZ üçgeni geniş açılı bir üçgendir.
- Verilen kenar uzunlukları: \( |XY| = 6 \) cm, \( |XZ| = 9 \) cm.
- YZ kenarının uzunluğuna x diyelim. Yani \( |YZ| = x \).
- 1. Üçgen eşitsizliği kuralı:
\( |9 - 6| < x < 9 + 6 \)
\( 3 < x < 15 \) - 2. Geniş açılı üçgen kuralı: Bir üçgende geniş açının karşısındaki kenar, diğer iki kenarın kareleri toplamının karekökünden daha uzundur. Yani, eğer \( m(\widehat{X}) > 90^\circ \) ise, \( x^2 > |XY|^2 + |XZ|^2 \) olmalıdır.
\( x^2 > 6^2 + 9^2 \)
\( x^2 > 36 + 81 \)
\( x^2 > 117 \) - \( \sqrt{117} \) yaklaşık olarak \( 10.8 \) civarındadır (çünkü \( 10^2 = 100 \) ve \( 11^2 = 121 \)).
Dolayısıyla, \( x > \sqrt{117} \approx 10.8 \). - Şimdi her iki eşitsizliği birleştirelim:
- \( 3 < x < 15 \)
- \( x > 10.8 \)
- Bu iki eşitsizliğin ortak çözümü:
\( 10.8 < x < 15 \) - Bu aralıktaki tam sayı değerleri 11, 12, 13, 14'tür.
- YZ kenarının alabileceği en küçük tam sayı değeri sorulduğu için, bu aralıktaki en küçük tam sayı 11'dir.
Örnek 9:
Bir ABC üçgeninde, A, B ve C köşelerinin karşılarındaki kenarlar sırasıyla a, b ve c'dir. Eğer \( a = 12 \) cm, \( b = 7 \) cm ve \( c = 9 \) cm ise, üçgenin iç açılarının ölçülerini büyükten küçüğe doğru sıralayınız.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için üçgende büyük kenar karşısında büyük açı, küçük kenar karşısında küçük açı bulunur kuralını kullanacağız. 💡
- Öncelikle, üçgenin kenar uzunluklarını karşılaştıralım:
\( b = 7 \) cm, \( c = 9 \) cm, \( a = 12 \) cm - Kenarları küçükten büyüğe doğru sıralarsak:
\( b < c < a \) - Şimdi bu kenarların karşısındaki açıları belirleyelim:
- b kenarının karşısındaki açı: \( \widehat{B} \)
- c kenarının karşısındaki açı: \( \widehat{C} \)
- a kenarının karşısındaki açı: \( \widehat{A} \)
- Kenar-açı ilişkisi kuralına göre, açıları küçükten büyüğe doğru sıralarsak:
\( m(\widehat{B}) < m(\widehat{C}) < m(\widehat{A}) \) - Soruda büyükten küçüğe doğru sıralama istendiği için:
\( m(\widehat{A}) > m(\widehat{C}) > m(\widehat{B}) \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgende-aci-ve-kenarlarla-i-lgili-ozellikler/sorular