🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgende Açı Ve Kenar İlişkileri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgende Açı Ve Kenar İlişkileri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, \( m(\widehat{A}) = 70^\circ \) ve \( m(\widehat{B}) = 50^\circ \) olarak verilmiştir. Bu üçgenin kenar uzunluklarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız. 📐
Çözüm:
Bir üçgende, büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında ise küçük kenar bulunur.
Bu kuralı kullanarak kenarları sıralayabiliriz.
Bu kuralı kullanarak kenarları sıralayabiliriz.
-
👉 Öncelikle C açısının ölçüsünü bulalım: Bir üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan,
\( m(\widehat{C}) = 180^\circ - (m(\widehat{A}) + m(\widehat{B})) \)
\( m(\widehat{C}) = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) \)
\( m(\widehat{C}) = 180^\circ - 120^\circ \)
\( m(\widehat{C}) = 60^\circ \) -
📌 Şimdi açıları sıralayalım:
\( m(\widehat{A}) = 70^\circ \), \( m(\widehat{C}) = 60^\circ \), \( m(\widehat{B}) = 50^\circ \)
Yani, \( m(\widehat{A}) > m(\widehat{C}) > m(\widehat{B}) \) -
✅ Açıların karşısındaki kenarları sıralayalım:
A açısının karşısındaki kenar 'a', B açısının karşısındaki kenar 'b', C açısının karşısındaki kenar 'c' olsun.
\( m(\widehat{A}) \) karşısında 'a' kenarı, \( m(\widehat{C}) \) karşısında 'c' kenarı, \( m(\widehat{B}) \) karşısında 'b' kenarı bulunur.
Bu durumda kenar sıralaması: \( a > c > b \) olur.
💡 Sonuç: Kenar uzunlukları büyükten küçüğe doğru a, c, b şeklindedir.
Örnek 2:
Bir KLM üçgeninin kenar uzunlukları \( k = 8 \) cm, \( l = 12 \) cm ve \( m = 7 \) cm olarak verilmiştir. Bu üçgenin iç açılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız. 📏
Çözüm:
Bir üçgende, küçük kenar karşısında küçük açı, büyük kenar karşısında ise büyük açı bulunur.
Bu kuralı kullanarak açıları sıralayabiliriz.
Bu kuralı kullanarak açıları sıralayabiliriz.
-
👉 Öncelikle kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayalım:
\( m = 7 \) cm, \( k = 8 \) cm, \( l = 12 \) cm
Yani, \( m < k < l \) - 📌 Şimdi bu kenarların karşısındaki açıları belirleyelim: 'm' kenarının karşısındaki açı \( m(\widehat{M}) \), 'k' kenarının karşısındaki açı \( m(\widehat{K}) \), 'l' kenarının karşısındaki açı \( m(\widehat{L}) \) olur.
-
✅ Kenarların sıralamasına göre açıları sıralayalım:
\( m < k < l \) olduğundan, bu kenarların karşısındaki açılar da aynı sıralamayı takip eder.
Yani, \( m(\widehat{M}) < m(\widehat{K}) < m(\widehat{L}) \)
💡 Sonuç: İç açılar küçükten büyüğe doğru \( m(\widehat{M}) \), \( m(\widehat{K}) \), \( m(\widehat{L}) \) şeklindedir.
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde, kenar uzunlukları \( |AB| = 6 \) cm ve \( |AC| = 10 \) cm olarak verilmiştir. Buna göre, üçüncü kenar olan \( |BC| \) kenarının alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? 🤔
Çözüm:
Bir üçgende, üçgen eşitsizliği kuralı geçerlidir. Bu kurala göre, bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyüktür.
- 👉 Verilen kenar uzunlukları \( c = |AB| = 6 \) cm ve \( b = |AC| = 10 \) cm olsun. Üçüncü kenar \( a = |BC| \) olsun.
-
📌 Üçgen eşitsizliğini uygulayalım:
\( |b - c| < a < b + c \)
\( |10 - 6| < a < 10 + 6 \)
\( 4 < a < 16 \) -
✅ Bu eşitsizliğe göre, 'a' kenarı 4'ten büyük ve 16'dan küçük tam sayı değerlerini alabilir.
'a'nın alabileceği tam sayı değerleri: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15. - ➕ Bu tam sayı değerlerinin toplamını bulalım: \( 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 120 \)
💡 Sonuç: \( |BC| \) kenarının alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 120'dir.
Örnek 4:
Yandaki şekilde ABC ve ACD üçgenleri verilmiştir.
\( m(\widehat{BAC}) = 60^\circ \), \( m(\widehat{ABC}) = 70^\circ \), \( m(\widehat{CAD}) = 50^\circ \), \( m(\widehat{ACD}) = 65^\circ \) olduğuna göre, şekildeki en uzun kenar hangisidir? (Şekil çizimi yerine metinsel betimleme yapılmıştır.) 🗺️
\( m(\widehat{BAC}) = 60^\circ \), \( m(\widehat{ABC}) = 70^\circ \), \( m(\widehat{CAD}) = 50^\circ \), \( m(\widehat{ACD}) = 65^\circ \) olduğuna göre, şekildeki en uzun kenar hangisidir? (Şekil çizimi yerine metinsel betimleme yapılmıştır.) 🗺️
Çözüm:
Bu tür sorularda, her bir üçgen için ayrı ayrı açı-kenar ilişkilerini belirleyip, sonra bu ilişkileri birleştirerek en uzun kenarı buluruz.
-
👉 ABC üçgeni için:
\( m(\widehat{BAC}) = 60^\circ \) ve \( m(\widehat{ABC}) = 70^\circ \).
Üçüncü açı \( m(\widehat{ACB}) = 180^\circ - (60^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \).
Açıları sıralayalım: \( m(\widehat{ABC}) > m(\widehat{BAC}) > m(\widehat{ACB}) \) (yani \( 70^\circ > 60^\circ > 50^\circ \)).
Karşılarındaki kenarları sıralayalım: \( |AC| > |BC| > |AB| \).
Bu üçgendeki en uzun kenar \( |AC| \) dir. -
👉 ACD üçgeni için:
\( m(\widehat{CAD}) = 50^\circ \) ve \( m(\widehat{ACD}) = 65^\circ \).
Üçüncü açı \( m(\widehat{ADC}) = 180^\circ - (50^\circ + 65^\circ) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ \).
Açıları sıralayalım: \( m(\widehat{ACD}) = m(\widehat{ADC}) > m(\widehat{CAD}) \) (yani \( 65^\circ = 65^\circ > 50^\circ \)).
Karşılarındaki kenarları sıralayalım: \( |AD| = |AC| > |CD| \).
Bu üçgendeki en uzun kenarlar \( |AD| \) ve \( |AC| \) dir. - 📌 Her iki üçgenden elde ettiğimiz bilgileri birleştirelim: ABC üçgeninde en uzun kenar \( |AC| \). ACD üçgeninde en uzun kenarlar \( |AD| \) ve \( |AC| \). Her iki üçgende de ortak olan ve kendi üçgenlerinde en uzun olan kenar \( |AC| \) dir. Ancak bu, tüm şekildeki en uzun kenar olduğu anlamına gelmez. ACD üçgeninde \( |AD| = |AC| \) ve bu kenarlar, \( |CD| \) kenarından daha uzundur. ABC üçgeninde ise \( |AC| \), \( |BC| \) ve \( |AB| \) kenarlarından daha uzundur. Dolayısıyla, şekildeki en uzun kenar \( |AC| \) veya \( |AD| \) olabilir, çünkü \( |AD| = |AC| \).
- ✅ En büyük açıya sahip kenarı bulmalıyız. ABC üçgeninde en büyük açı \( m(\widehat{ABC}) = 70^\circ \), karşısındaki kenar \( |AC| \). ACD üçgeninde en büyük açılar \( m(\widehat{ACD}) = 65^\circ \) ve \( m(\widehat{ADC}) = 65^\circ \), karşılarındaki kenarlar sırasıyla \( |AD| \) ve \( |AC| \). Yani, \( |AC| \) ve \( |AD| \) bu iki üçgenin en uzun kenarlarıdır. Şekildeki en uzun kenar \( |AC| \) veya \( |AD| \) dir.
💡 Sonuç: Şekildeki en uzun kenar \( |AC| \) veya \( |AD| \) kenarıdır, çünkü \( |AC| = |AD| \) ve bu kenarlar diğer tüm kenarlardan uzundur.
Örnek 5:
Bir ABC dik üçgeninde, \( m(\widehat{B}) = 90^\circ \) olarak verilmiştir. \( |AB| = 5 \) cm ve \( |BC| = 12 \) cm olduğuna göre, hipotenüs \( |AC| \) kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Dik üçgenlerde, Pisagor Teoremi uygulanır. Pisagor Teoremi'ne göre, dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir.
- 👉 Dik kenarlar \( |AB| = 5 \) cm ve \( |BC| = 12 \) cm'dir. Hipotenüs \( |AC| \) dir.
- 📌 Pisagor Teoremi'ni formüle edelim: \( |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2 \)
-
✅ Verilen değerleri yerine koyarak \( |AC| \) uzunluğunu bulalım:
\( 5^2 + 12^2 = |AC|^2 \)
\( 25 + 144 = |AC|^2 \)
\( 169 = |AC|^2 \)
\( |AC| = \sqrt{169} \)
\( |AC| = 13 \) cm
💡 Sonuç: Hipotenüs \( |AC| \) kenarının uzunluğu 13 cm'dir.
Örnek 6:
Bir KLM üçgeninde \( |KL| = 8 \) cm ve \( |LM| = 10 \) cm olarak verilmiştir. Ayrıca \( m(\widehat{L}) > 90^\circ \) (geniş açı) olduğuna göre, üçüncü kenar \( |KM| \) uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? 🧐
Çözüm:
Bu soruda hem üçgen eşitsizliğini hem de geniş açılı üçgenlerdeki kenar bağıntısını kullanmamız gerekiyor.
- 👉 Üçgenin kenarları \( k = |LM| = 10 \), \( m = |KL| = 8 \) ve \( l = |KM| \) olsun.
-
📌 1. Adım: Üçgen Eşitsizliğini Uygulayalım.
Bir kenar diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçüktür.
\( |10 - 8| < l < 10 + 8 \)
\( 2 < l < 18 \) -
📌 2. Adım: Geniş Açılı Üçgen Bağıntısını Uygulayalım.
Eğer bir üçgende bir açı geniş açı ise, bu açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyüktür. Burada \( m(\widehat{L}) > 90^\circ \) olduğu için karşısındaki kenar \( l = |KM| \) dir.
\( l^2 > k^2 + m^2 \)
\( l^2 > 10^2 + 8^2 \)
\( l^2 > 100 + 64 \)
\( l^2 > 164 \) - ✅ Şimdi, \( l^2 > 164 \) eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı değerini bulalım. \( 12^2 = 144 \), \( 13^2 = 169 \). Demek ki \( l \) tam sayı olarak en az 13 olabilir. Yani, \( l > \sqrt{164} \) olduğundan, \( l \ge 13 \) (çünkü \( \sqrt{164} \) yaklaşık 12.8'dir).
- 👉 3. Adım: Her iki eşitsizliği birleştirelim. Birinci eşitsizlikten: \( 2 < l < 18 \) İkinci eşitsizlikten: \( l \ge 13 \) Bu iki eşitsizliğin kesişimi: \( 13 \le l < 18 \)
- ➕ \( |KM| \) kenarının alabileceği tam sayı değerleri: 13, 14, 15, 16, 17. Bu değerlerin toplamı: \( 13 + 14 + 15 + 16 + 17 = 75 \)
💡 Sonuç: \( |KM| \) kenarının alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 75'tir.
Örnek 7:
Bir A noktasından başlayıp düz bir zeminde ilerleyen karınca, önce B noktasına, oradan da C noktasına ulaşmıştır.
A noktasının koordinatları \( (0, 0) \), B noktasının koordinatları \( (3, 4) \) ve C noktasının koordinatları \( (8, 4) \) olarak kabul edilebilir.
Karınca, A noktasından C noktasına doğrudan gitseydi, kaç birim daha az yol almış olurdu? (Koordinat sisteminde her birim 1 cm'ye karşılık gelmektedir.) 🐜
A noktasının koordinatları \( (0, 0) \), B noktasının koordinatları \( (3, 4) \) ve C noktasının koordinatları \( (8, 4) \) olarak kabul edilebilir.
Karınca, A noktasından C noktasına doğrudan gitseydi, kaç birim daha az yol almış olurdu? (Koordinat sisteminde her birim 1 cm'ye karşılık gelmektedir.) 🐜
Çözüm:
Bu soru, aslında üçgen eşitsizliğinin ve Pisagor teoreminin günlük hayata uyarlanmış bir versiyonudur. En kısa mesafe her zaman düz bir çizgidir.
- 👉 1. Adım: Karıncanın A'dan B'ye aldığı yolu bulalım. A \( (0, 0) \) ve B \( (3, 4) \) noktaları arasındaki mesafe bir dik üçgenin hipotenüsü gibi düşünülebilir. Yatayda 3 birim, dikeyde 4 birim fark var. Pisagor Teoremi'nden: \( |AB| = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) birim.
- 👉 2. Adım: Karıncanın B'den C'ye aldığı yolu bulalım. B \( (3, 4) \) ve C \( (8, 4) \) noktaları arasındaki mesafe. Y koordinatları aynı olduğu için bu yol yataydadır. \( |BC| = |8 - 3| = 5 \) birim.
- 👉 3. Adım: Karıncanın A-B-C yoluyla aldığı toplam yolu bulalım. Toplam yol = \( |AB| + |BC| = 5 + 5 = 10 \) birim.
- 📌 4. Adım: Karıncanın A'dan C'ye doğrudan gitseydi alacağı yolu bulalım. A \( (0, 0) \) ve C \( (8, 4) \) noktaları arasındaki mesafe yine Pisagor Teoremi ile bulunur. \( |AC| = \sqrt{(8-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} \) birim. \( \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5} \) birim. Yaklaşık olarak \( 4 \times 2.23 = 8.92 \) birim.
-
✅ 5. Adım: Ne kadar daha az yol almış olacağını bulalım.
Fark = (A-B-C yolu) - (A-C doğrudan yolu)
Fark = \( 10 - 4\sqrt{5} \) birim.
💡 Sonuç: Karınca A noktasından C noktasına doğrudan gitseydi, yaklaşık olarak \( 10 - 8.92 = 1.08 birim \) daha az yol almış olurdu. Tam ifadeyle \( 10 - 4\sqrt{5} \) birimdir.
Örnek 8:
Bir inşaat sahasında, 6 metre yüksekliğindeki bir duvara dayalı bir merdivenin alt ucu, duvardan 2.5 metre uzaklıkta durmaktadır. İşçiler, bu merdivenin yerine daha güvenli olacağını düşündükleri, alt ucu duvardan 3 metre uzaklıkta duran yeni bir merdiven kullanmak istemektedirler.
Yeni merdivenin duvara dayanan ucu eski merdivenin dayandığı noktadan kaç metre daha aşağıda veya yukarıda olacaktır? (Merdivenlerin uzunlukları değişebilir, önemli olan alt ucun uzaklığıdır.) 🚧
Yeni merdivenin duvara dayanan ucu eski merdivenin dayandığı noktadan kaç metre daha aşağıda veya yukarıda olacaktır? (Merdivenlerin uzunlukları değişebilir, önemli olan alt ucun uzaklığıdır.) 🚧
Çözüm:
Bu problem bir dik üçgen senaryosudur. Duvar dikey kenar, yer yatay kenar ve merdiven hipotenüstür.
-
👉 1. Durum: Eski Merdiven
Yükseklik (dik kenar) = \( h_1 \)
Duvardan uzaklık (dik kenar) = \( 2.5 \) metre
Merdiven uzunluğu (hipotenüs) = \( L \) (Bu uzunluk bize verilmemiş, ancak duvarın yüksekliği 6 metre olarak verilmiş. Soruyu daha doğru yorumlarsak, merdivenin boyu sabit değil, duvara dayalı bir merdivenin alt ucu duvardan 2.5 metre uzaklıktayken, üst ucu 6 metre yüksekliğe ulaşıyor. Bu durumda merdivenin boyunu bulmamız gerekir.)
Pisagor Teoremi: \( h_1^2 + 2.5^2 = L^2 \)
Burada \( h_1 = 6 \) metre olarak verilmiş. O zaman \( 6^2 + 2.5^2 = L^2 \)
\( 36 + 6.25 = L^2 \)
\( L^2 = 42.25 \)
\( L = \sqrt{42.25} = 6.5 \) metre. Yani eski merdivenin boyu 6.5 metredir. -
👉 2. Durum: Yeni Merdiven
Yeni merdiven, aynı uzunlukta (6.5 metre) ancak alt ucu duvardan 3 metre uzaklıkta duracak şekilde ayarlanıyor.
Duvardan uzaklık (dik kenar) = \( 3 \) metre
Merdiven uzunluğu (hipotenüs) = \( L = 6.5 \) metre
Yeni yükseklik (dik kenar) = \( h_2 \)
Pisagor Teoremi: \( h_2^2 + 3^2 = 6.5^2 \)
\( h_2^2 + 9 = 42.25 \)
\( h_2^2 = 42.25 - 9 \)
\( h_2^2 = 33.25 \)
\( h_2 = \sqrt{33.25} \) metre. \( \sqrt{33.25} \) yaklaşık olarak \( 5.766 \) metredir. - 📌 3. Adım: Yükseklik farkını bulalım. Eski merdiven 6 metre yüksekliğe ulaşıyordu. Yeni merdiven yaklaşık 5.766 metre yüksekliğe ulaşıyor. Fark = \( h_1 - h_2 = 6 - \sqrt{33.25} \) metre. Fark \( = 6 - 5.766 = 0.234 \) metre.
- ✅ Merdivenin duvara dayanan ucu daha aşağıda olacaktır.
💡 Sonuç: Yeni merdivenin duvara dayanan ucu, eski merdivenin dayandığı noktadan yaklaşık 0.234 metre daha aşağıda olacaktır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgende-aci-ve-kenar-iliskileri/sorular