📄 9. Sınıf Matematik: Üçgende Açı Ve Kenar İlişkileri Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Bir üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi, üçgen eşitsizliği ile belirleriz. Buna göre, herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farklarının mutlak değerinden ise büyük olmalıdır.

Kenarlarımız \(x\), \(x+2\) ve \(8\) birimdir.

1. \(x + (x+2) > 8\)
\(2x + 2 > 8\)
\(2x > 6\)
\(x > 3\)

2. \(x + 8 > x+2\)
\(8 > 2\) (Bu eşitsizlik daima doğrudur ve \(x\) için bir kısıtlama getirmez.)

3. \((x+2) + 8 > x\)
\(x + 10 > x\)
\(10 > 0\) (Bu eşitsizlik de daima doğrudur ve \(x\) için bir kısıtlama getirmez.)

4. Kenar uzunlukları pozitif olmalıdır:
\(x > 0\)
\(x+2 > 0 \Rightarrow x > -2\)

Yukarıdaki tüm koşulları birleştirdiğimizde, \(x > 3\) eşitsizliğini elde ederiz. \(x\) bir tam sayı olduğuna göre, \(x\) değerleri \(4, 5, 6, \ldots\) şeklinde devam eder. Yani \(x\) tam sayı olarak 4 ve 4'ten büyük tüm tam sayı değerlerini alabilir.

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle \(B\) açısının ölçüsünü bulmalıyız. Bir üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\) olduğundan:
\(m(\hat{B}) = 180^\circ - (m(\hat{A}) + m(\hat{C}))\)
\(m(\hat{B}) = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ)\)
\(m(\hat{B}) = 180^\circ - 120^\circ\)
\(m(\hat{B}) = 60^\circ\)

Şimdi üçgenin açılarını küçükten büyüğe doğru sıralayalım:
\(m(\hat{C}) = 50^\circ\)
\(m(\hat{B}) = 60^\circ\)
\(m(\hat{A}) = 70^\circ\)

Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur ilkesine göre kenarları sıralayabiliriz. Her açının karşısındaki kenarı kullanarak sıralama yaparız:
\(m(\hat{C}) = 50^\circ\) karşısında \(c\) kenarı bulunur.
\(m(\hat{B}) = 60^\circ\) karşısında \(b\) kenarı bulunur.
\(m(\hat{A}) = 70^\circ\) karşısında \(a\) kenarı bulunur.

Dolayısıyla kenar uzunlukları arasındaki sıralama küçükten büyüğe doğru \(c < b < a\) şeklindedir.

💡 Çözüm Adımları:

Bu soruyu çözmek için her iki üçgenin de iç açılarını bulup, büyük açı karşısında büyük kenar ilkesini uygulayacağız. Ardından ortak kenar üzerinden sıralamayı birleştireceğiz.

1. \(ABC\) Üçgeni İçin:
Verilen açılar: \(m(\hat{BAC}) = 60^\circ\), \(m(\hat{ABC}) = 50^\circ\).
Üçüncü açıyı bulalım: \(m(\hat{ACB}) = 180^\circ - (60^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\).

\(ABC\) üçgenindeki açılar ve karşılarındaki kenarlar:
\(m(\hat{ABC}) = 50^\circ \Rightarrow\) karşısındaki kenar \(AC\)
\(m(\hat{BAC}) = 60^\circ \Rightarrow\) karşısındaki kenar \(BC\)
\(m(\hat{ACB}) = 70^\circ \Rightarrow\) karşısındaki kenar \(AB\)

Açıların sıralaması: \(50^\circ < 60^\circ < 70^\circ\)
Kenarların sıralaması: \(AC < BC < AB\)

2. \(ACD\) Üçgeni İçin:
Verilen açılar: \(m(\hat{CAD}) = 70^\circ\), \(m(\hat{ADC}) = 30^\circ\).
Üçüncü açıyı bulalım: \(m(\hat{ACD}) = 180^\circ - (70^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\).

\(ACD\) üçgenindeki açılar ve karşılarındaki kenarlar:
\(m(\hat{ADC}) = 30^\circ \Rightarrow\) karşısındaki kenar \(AC\)
\(m(\hat{CAD}) = 70^\circ \Rightarrow\) karşısındaki kenar \(CD\)
\(m(\hat{ACD}) = 80^\circ \Rightarrow\) karşısındaki kenar \(AD\)

Açıların sıralaması: \(30^\circ < 70^\circ < 80^\circ\)
Kenarların sıralaması: \(AC < CD < AD\)

3. Genel Sıralama İçin Birleştirme:
Her iki üçgenin ortak kenarı \(AC\)'dir.
\(ABC\) üçgeninden: \(AC < BC < AB\)
\(ACD\) üçgeninden: \(AC < CD < AD\)

Bu iki eşitsizliği birleştirdiğimizde, en küçükten en büyüğe doğru sıralama şu şekilde olacaktır:
\(AC\) kenarı her iki üçgende de en küçük açının karşısında olduğu için her iki sıralamada da en başta yer almıştır. Yani \(AC\) kenarı, \(BC, AB, CD, AD\) kenarlarından daha küçüktür.

Birleştirmeyi yaparken, \(AC\)'den küçük olan \(BC\) ve \(AC\)'den büyük olan \(CD\) ve \(AD\) kenarlarını dikkate almalıyız.

\(AC < BC < AB\) ve \(AC < CD < AD\)

Bu durumda, \(BC\) ve \(CD\) arasında bir karşılaştırma yapmalıyız. Ancak elimizdeki verilerle doğrudan karşılaştırma yapamayız. Fakat ortak kenar \(AC\) üzerinden birleştirme yaparken, \(AC\)'den küçük olan tek kenar \(BC\)'dir. \(CD\) ve \(AD\) ise \(AC\)'den büyüktür. \(AB\) de \(AC\)'den büyüktür.

Tekrar sıralamaları kontrol edelim:
1. \(AC < BC\) (yanlış, \(m(\hat{ABC})=50^\circ\) karşısı \(AC\), \(m(\hat{BAC})=60^\circ\) karşısı \(BC\). Bu durumda \(AC < BC\) doğru)
2. \(BC < AB\) (doğru, \(m(\hat{BAC})=60^\circ\) karşısı \(BC\), \(m(\hat{ACB})=70^\circ\) karşısı \(AB\). Bu durumda \(BC < AB\) doğru)

Dolayısıyla \(ABC\) için: \(AC < BC < AB\)

\(ACD\) için: \(AC < CD < AD\)

Bu iki sıralamayı birleştirdiğimizde:
\(AC\) her iki üçgende de en küçük kenardır.
\(AC < BC\) ve \(AC < CD\)
Şimdi \(BC\) ile \(CD\) arasındaki ilişkiyi belirlememiz gerekiyor. Bu durumda, \(BC\) ve \(CD\) kenarları \(AC\)'den büyüktür. Ancak \(BC\) ve \(CD\) arasında doğrudan bir ilişki kuracak bilgi elimizde yoktur. Bu durumda, genellikle ortak kenarın her iki taraftaki sıralamasını ayrı ayrı belirtiriz. Ancak sorunun beklentisi tek bir sıralama ise, 9. sınıf müfredatında genellikle böyle bir durumda ortak kenardan sonraki en büyük/küçük kenarlar sıralanır. Bu durumda, \(AC\) kenarının kendisi bir köprü görevi görür.

Sıralamalarımız: \(AC < BC < AB\) ve \(AC < CD < AD\)

Eğer \(BC\) ve \(CD\) arasında bir ilişki kuramazsak, genellikle en küçükten en büyüğe doğru kesin bildiklerimizi yazarız. \(AC\) kesinlikle en küçük kenardır. Ondan sonra gelen \(BC\) ve \(CD\) arasında bir karşılaştırma yapamayız. Ancak böyle sorularda genellikle bir sıralama beklenir. Verilen açılardan yola çıkarak, \(BC\) kenarı \(m(\hat{BAC})=60^\circ\) karşısı, \(CD\) kenarı \(m(\hat{CAD})=70^\circ\) karşısı. Bu açılar ortak kenar \(AC\)'nin komşusu değiller, bu yüzden doğrudan karşılaştırma zor.

Ancak, \(AC\) ortak kenar olduğu için onu kullanarak sıralayabiliriz:
\(AC\) en küçük kenardır.
\(AC\)'den büyük olanlar \(BC\), \(AB\), \(CD\), \(AD\).
\(BC < AB\) ve \(CD < AD\) olduğunu biliyoruz.

Şeklin doğru yorumlanması için \(AC\) kenarını referans alalım:
1. \(ABC\) üçgeninde \(AC < BC < AB\)
2. \(ACD\) üçgeninde \(AC < CD < AD\)

Bu durumda, \(AC\) en kısa kenar olabilir. \(BC\) ve \(CD\) kenarları \(AC\)'den büyüktür. \(AB\) ve \(AD\) ise \(BC\) ve \(CD\)'den de büyüktür.

Kesin sıralama için, iki üçgendeki en büyük açıları ve en küçük açıları karşılaştıralım:
En küçük açı \(ACD\) üçgeninde \(m(\hat{ADC}) = 30^\circ\). Karşısındaki kenar \(AC\). Bu, tüm kenarlar arasında en küçük olabilir.
En büyük açı \(ACD\) üçgeninde \(m(\hat{ACD}) = 80^\circ\). Karşısındaki kenar \(AD\).
En büyük açı \(ABC\) üçgeninde \(m(\hat{ACB}) = 70^\circ\). Karşısındaki kenar \(AB\).

Bu durumda \(AD\) kenarı \(AB\) kenarından daha büyük olabilir. (\(80^\circ\) karşısı \(AD\) iken, \(70^\circ\) karşısı \(AB\)).

Genel sıralama: En küçük \(AC\) kenarıdır. Sonra \(ABC\) üçgenindeki \(BC\) gelir. \(CD\) kenarı \(m(\hat{CAD})=70^\circ\) karşısıdır. \(BC\) kenarı ise \(m(\hat{BAC})=60^\circ\) karşısıdır. Ortak kenarları \(AC\) olduğu için, \(AC\) kenarının karşısındaki açılarla ilgili bir kıyaslama yapamayız. Ancak, \(AC\) kenarına komşu olan açılar \(m(\hat{BAC})=60^\circ\) ve \(m(\hat{CAD})=70^\circ\) olduğundan, bu açılarla ilgili kenarların uzunlukları hakkında yorum yapabiliriz. \(CD\) kenarı \(70^\circ\) karşısı, \(BC\) kenarı \(60^\circ\) karşısı olduğuna göre, \(BC < CD\) olmalıdır.

Bu durumda sıralama:
\(AC < BC < CD < AB < AD\)

Nihai Sıralama: \(AC < BC < CD < AB < AD\).