🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgende Açı ve Kenar Bağıntıları Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgende Açı ve Kenar Bağıntıları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, A açısının ölçüsü \( 70^\circ \), B açısının ölçüsü \( 50^\circ \) olarak verilmiştir. Buna göre, C açısının ölçüsü kaç derecedir? Ayrıca bu üçgenin kenar uzunluklarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız. 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için üçgenin iç açıları toplamı kuralını ve açı-kenar bağıntısını kullanacağız.
-
Adım 1: C açısını bulma 💡
Bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman \( 180^\circ \) dir. Bu kuralı kullanarak C açısını bulabiliriz:
\( m(\text{A}) + m(\text{B}) + m(\text{C}) = 180^\circ \)
\( 70^\circ + 50^\circ + m(\text{C}) = 180^\circ \)
\( 120^\circ + m(\text{C}) = 180^\circ \)
\( m(\text{C}) = 180^\circ - 120^\circ \)
\( m(\text{C}) = 60^\circ \) ✅ -
Adım 2: Kenarları sıralama 📏
Üçgende açı-kenar bağıntısına göre, büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur. Şimdi açıları ve karşılarındaki kenarları belirleyelim:
- A açısı \( 70^\circ \) ve karşısındaki kenar 'a' (BC kenarı).
- B açısı \( 50^\circ \) ve karşısındaki kenar 'b' (AC kenarı).
- C açısı \( 60^\circ \) ve karşısındaki kenar 'c' (AB kenarı).
\( 70^\circ > 60^\circ > 50^\circ \)
Yani, \( m(\text{A}) > m(\text{C}) > m(\text{B}) \).
Bu durumda, kenarları büyükten küçüğe sıralaması da aynı olacaktır:
\( \text{a} > \text{c} > \text{b} \) 🎉
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde, AB kenarının uzunluğu AC kenarının uzunluğuna eşittir. B açısının ölçüsü \( 75^\circ \) olduğuna göre, A açısının ölçüsü kaç derecedir? 🧐
Çözüm:
Bu soruda ikizkenar üçgen özelliklerini ve iç açılar toplamını kullanacağız.
-
Adım 1: İkizkenar üçgen özelliklerini kullanma 📌
Soruda verilen bilgiye göre, AB kenarı ile AC kenarı birbirine eşittir. Bu, ABC üçgeninin bir ikizkenar üçgen olduğu anlamına gelir. İkizkenar üçgenlerde, eşit kenarların karşısındaki açılar da birbirine eşittir.
AB kenarının karşısındaki açı C açısıdır.
AC kenarının karşısındaki açı B açısıdır.
Dolayısıyla, \( m(\text{B}) = m(\text{C}) \) olmalıdır. -
Adım 2: C açısını bulma ✅
Madem ki \( m(\text{B}) = 75^\circ \), o zaman \( m(\text{C}) \) de \( 75^\circ \) dir. -
Adım 3: A açısını bulma 💡
Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan:
\( m(\text{A}) + m(\text{B}) + m(\text{C}) = 180^\circ \)
\( m(\text{A}) + 75^\circ + 75^\circ = 180^\circ \)
\( m(\text{A}) + 150^\circ = 180^\circ \)
\( m(\text{A}) = 180^\circ - 150^\circ \)
\( m(\text{A}) = 30^\circ \) 🎉
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde kenar uzunlukları a, b, c olsun. Eğer \( \text{a} = 5 \) cm ve \( \text{b} = 12 \) cm ise, c kenarının uzunluğu hangi tam sayı değerlerini alabilir? 🤔
Çözüm:
Bu soru, üçgen eşitsizliği kuralını kullanarak çözülür. Üçgen eşitsizliği, bir üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğunun, diğer iki kenarının uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyük olması gerektiğini belirtir.
-
Adım 1: Üçgen eşitsizliğini uygulama 📌
c kenarı için üçgen eşitsizliğini yazalım:
\( |\text{a} - \text{b}| < \text{c} < \text{a} + \text{b} \) -
Adım 2: Verilen değerleri yerine koyma 🔢
a = 5 cm ve b = 12 cm değerlerini eşitsizliğe yerleştirelim:
\( |5 - 12| < \text{c} < 5 + 12 \)
\( |-7| < \text{c} < 17 \)
\( 7 < \text{c} < 17 \) -
Adım 3: c'nin alabileceği tam sayı değerlerini bulma ✅
c kenarının uzunluğu 7'den büyük ve 17'den küçük olmalıdır. Bu aralıktaki tam sayılar şunlardır:
\( 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 \)
Bu durumda, c kenarı 9 farklı tam sayı değeri alabilir. 🎉
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde, A açısının ölçüsü \( 80^\circ \), B açısının ölçüsü \( 40^\circ \) olarak verilmiştir. Bu üçgenin dış açılarını hesaplayınız. ☀️
Çözüm:
Üçgenin dış açıları, her bir iç açının \( 180^\circ \) ye tamamlayanıdır. Ayrıca, bir dış açının kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşit olduğu kuralını da kullanabiliriz.
-
Adım 1: C açısını bulma 💡
Öncelikle C iç açısını bulalım:
\( m(\text{A}) + m(\text{B}) + m(\text{C}) = 180^\circ \)
\( 80^\circ + 40^\circ + m(\text{C}) = 180^\circ \)
\( 120^\circ + m(\text{C}) = 180^\circ \)
\( m(\text{C}) = 60^\circ \) -
Adım 2: Dış açıları hesaplama (1. yöntem: Komşu iç açıyı 180'e tamamlama) 📏
- A açısının dış açısı (\( m(\text{A'}) \)): \( 180^\circ - m(\text{A}) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \)
- B açısının dış açısı (\( m(\text{B'}) \)): \( 180^\circ - m(\text{B}) = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \)
- C açısının dış açısı (\( m(\text{C'}) \)): \( 180^\circ - m(\text{C}) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)
-
Adım 3: Dış açıları hesaplama (2. yöntem: Komşu olmayan iki iç açının toplamı) ➕
- A açısının dış açısı (\( m(\text{A'}) \)): \( m(\text{B}) + m(\text{C}) = 40^\circ + 60^\circ = 100^\circ \)
- B açısının dış açısı (\( m(\text{B'}) \)): \( m(\text{A}) + m(\text{C}) = 80^\circ + 60^\circ = 140^\circ \)
- C açısının dış açısı (\( m(\text{C'}) \)): \( m(\text{A}) + m(\text{B}) = 80^\circ + 40^\circ = 120^\circ \)
Örnek 5:
Bir ABCD dörtgeninde, B köşesinden bir doğru parçası çizilerek AC köşegeni oluşturulmuştur. Bu dörtgenin içindeki ABC üçgeninde, \( m(\text{BAC}) = 65^\circ \) ve \( m(\text{BCA}) = 45^\circ \) dir. ADC üçgeninde ise \( m(\text{DAC}) = 30^\circ \) ve \( m(\text{ACD}) = 70^\circ \) dir. Buna göre, dörtgenin en uzun kenarı hangisidir? (Kenarlar AB, BC, CD, AD, AC) 📏
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için iki farklı üçgende açı-kenar bağıntısını uygulayacak ve sonuçları karşılaştıracağız.
-
Adım 1: ABC üçgeninin açılarını ve kenarlarını inceleyelim 📐
- \( m(\text{BAC}) = 65^\circ \)
- \( m(\text{BCA}) = 45^\circ \)
- ABC üçgeninin iç açıları toplamından, \( m(\text{ABC}) = 180^\circ - (65^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \).
Açılar: \( m(\text{ABC}) = 70^\circ \), \( m(\text{BAC}) = 65^\circ \), \( m(\text{BCA}) = 45^\circ \)
Kenarlar: \( \text{AC} > \text{BC} > \text{AB} \) (çünkü \( 70^\circ \) karşısında AC, \( 65^\circ \) karşısında BC, \( 45^\circ \) karşısında AB var).
Buradan şu an için en uzun kenar AC gibi görünüyor. -
Adım 2: ADC üçgeninin açılarını ve kenarlarını inceleyelim 📏
- \( m(\text{DAC}) = 30^\circ \)
- \( m(\text{ACD}) = 70^\circ \)
- ADC üçgeninin iç açıları toplamından, \( m(\text{ADC}) = 180^\circ - (30^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).
Açılar: \( m(\text{ADC}) = 80^\circ \), \( m(\text{ACD}) = 70^\circ \), \( m(\text{DAC}) = 30^\circ \)
Kenarlar: \( \text{AC} > \text{AD} > \text{CD} \) (çünkü \( 80^\circ \) karşısında AC, \( 70^\circ \) karşısında AD, \( 30^\circ \) karşısında CD var).
Buradan da AC kenarı en uzun gibi görünüyor. -
Adım 3: İki üçgenden gelen sonuçları karşılaştırma 🏆
ABC üçgeninde en uzun kenar AC idi. ADC üçgeninde de en uzun kenar AC idi. Ancak, soruda AC köşegeninin kendisi de bir kenar olarak kabul ediliyor.
ABC üçgeninde: \( \text{AC} > \text{BC} \) ve \( \text{AC} > \text{AB} \).
ADC üçgeninde: \( \text{AC} > \text{AD} \) ve \( \text{AC} > \text{CD} \).
Her iki üçgende de AC kenarı, kendi üçgenindeki diğer tüm kenarlardan daha uzundur. Dolayısıyla, dörtgenin genelindeki en uzun kenar AC kenarıdır. 🎉
Örnek 6:
Bir mühendis, bir köprü tasarımı yaparken köprünün destek ayaklarını yerleştireceği araziyi inceliyor. Arazi üzerinde A, B ve C noktaları belirleniyor ve bu noktalar bir üçgen oluşturuyor. Mühendis, ölçüm aletleriyle B noktasından A noktasına olan mesafeyi 100 metre, B noktasından C noktasına olan mesafeyi 150 metre olarak ölçüyor. A ve C noktaları arasındaki mesafe (AC kenarı) için alabileceği olası en kısa ve en uzun tam sayı değerleri nedir? 🏗️
Çözüm:
Bu yeni nesil soru, günlük hayatta karşılaşabileceğimiz bir senaryo üzerinden üçgen eşitsizliği prensibini kullanmamızı gerektiriyor.
-
Adım 1: Üçgenin kenar uzunluklarını belirleme 📏
Verilen bilgilere göre:
AB kenarı (c) = 100 metre
BC kenarı (a) = 150 metre
AC kenarı (b) = ? (Bu kenarın alabileceği değerleri bulacağız.) -
Adım 2: Üçgen eşitsizliğini uygulama ⚖️
Üçgen eşitsizliğine göre, bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçük olmalıdır:
\( |\text{a} - \text{c}| < \text{b} < \text{a} + \text{c} \)
\( |150 - 100| < \text{b} < 150 + 100 \)
\( |50| < \text{b} < 250 \)
\( 50 < \text{b} < 250 \) -
Adım 3: Olası en kısa ve en uzun tam sayı değerlerini bulma ✅
b kenarının uzunluğu 50 metreden büyük ve 250 metreden küçük olmalıdır.
Bu durumda, b'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri 51 metredir.
b'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri ise 249 metredir.
Mühendis, AC mesafesini tasarlarken bu aralıktaki değerleri dikkate almalıdır. 🎉
Örnek 7:
Bir harita uygulamasında, üç şehir A, B ve C noktaları olarak işaretlenmiştir. Uygulama, A şehrinden B şehrine giden yolun uzunluğunu \( (3x - 5) \) km, B şehrinden C şehrine giden yolun uzunluğunu \( (x + 10) \) km ve A şehrinden C şehrine giden yolun uzunluğunu \( (2x + 1) \) km olarak göstermektedir. x bir tam sayı olduğuna göre, x'in alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? 🗺️
Çözüm:
Bu problemde, üçgen eşitsizliğini kullanarak x'in alabileceği tam sayı değerlerini bulmamız gerekiyor.
-
Adım 1: Kenar uzunluklarının pozitif olması koşulu ➕
Her kenar uzunluğu pozitif olmalıdır:
\( 3x - 5 > 0 \implies 3x > 5 \implies x > \frac{5}{3} \implies x \ge 2 \) (x tam sayı olduğu için)
\( x + 10 > 0 \implies x > -10 \)
\( 2x + 1 > 0 \implies 2x > -1 \implies x > -\frac{1}{2} \)
Bu koşullara göre, x'in en küçük tam sayı değeri en az 2 olmalıdır. -
Adım 2: Üçgen eşitsizliğini uygulama ⚖️
Üçgen eşitsizliğini üç farklı şekilde uygulamamız gerekiyor:
- \( |(3x - 5) - (x + 10)| < (2x + 1) < (3x - 5) + (x + 10) \) \( |2x - 15| < 2x + 1 < 4x + 5 \)
- \( |(3x - 5) - (2x + 1)| < (x + 10) < (3x - 5) + (2x + 1) \) \( |x - 6| < x + 10 < 5x - 4 \)
- \( |(x + 10) - (2x + 1)| < (3x - 5) < (x + 10) + (2x + 1) \) \( |-x + 9| < 3x - 5 < 3x + 11 \)
-
Adım 3: Eşitsizlikleri çözme ve x'in aralığını bulma 🔍
Özellikle kritik olanlar:
- \( 2x + 1 < 4x + 5 \implies -4 < 2x \implies -2 < x \) (Bu bilgi zaten \( x \ge 2 \) ile örtüşüyor)
- \( x + 10 < 5x - 4 \implies 14 < 4x \implies \frac{14}{4} < x \implies 3.5 < x \)
-
\( |-x + 9| < 3x - 5 \)
Bu iki duruma ayrılır:
a) \( -x + 9 < 3x - 5 \implies 14 < 4x \implies 3.5 < x \)
b) \( -x + 9 > -(3x - 5) \implies -x + 9 > -3x + 5 \implies 2x > -4 \implies x > -2 \) - \( 3x - 5 < 3x + 11 \implies -5 < 11 \) (Her zaman doğru, bilgi vermez)
-
\( |2x - 15| < 2x + 1 \)
a) \( 2x - 15 < 2x + 1 \implies -15 < 1 \) (Her zaman doğru, bilgi vermez)
b) \( 2x - 15 > -(2x + 1) \implies 2x - 15 > -2x - 1 \implies 4x > 14 \implies x > 3.5 \)
\( x \ge 2 \) (Pozitif kenar koşulundan)
\( x > 3.5 \) (Üçgen eşitsizliğinden)
Bu iki koşulun kesişimi \( x > 3.5 \) olur. -
Adım 4: x'in alabileceği en küçük tam sayı değerini bulma ✅
\( x > 3.5 \) olduğuna göre, x'in alabileceği en küçük tam sayı değeri 4'tür. 🎉
Örnek 8:
Bir mimar, modern bir binanın çatısını tasarlarken üçgen formları kullanmaya karar verir. Çatının bir bölümü için ABC üçgeni şeklinde bir destek yapısı planlar. Bu yapıda, A noktasından B noktasına uzanan destek demirinin uzunluğu 8 metre, A noktasından C noktasına uzanan destek demirinin uzunluğu 15 metre olarak belirlenmiştir. C noktasından B noktasına uzanan üçüncü destek demirinin (BC kenarı) uzunluğu, yapının stabilitesi için hangi aralıkta olmalıdır? Ayrıca, rüzgar yüküne en dayanıklı tasarım için hangi kenarın en uzun olması gerektiğini düşünürsünüz? 🏛️
Çözüm:
Bu senaryo, mimarinin temel prensiplerinden biri olan üçgenin rijitliği ve üçgen eşitsizliği kavramlarını günlük hayatta nasıl kullandığımızı gösterir.
-
Adım 1: BC kenarının uzunluk aralığını belirleme (Üçgen Eşitsizliği) 📐
Verilen kenar uzunlukları:
AB = 8 metre
AC = 15 metre
BC = x metre (bilinmeyen)
Üçgen eşitsizliğine göre:
\( |\text{AC} - \text{AB}| < \text{BC} < \text{AC} + \text{AB} \)
\( |15 - 8| < \text{x} < 15 + 8 \)
\( 7 < \text{x} < 23 \)
Yani, BC destek demirinin uzunluğu 7 metreden uzun ve 23 metreden kısa olmalıdır. Bu aralık, yapının üçgen formunu koruyabilmesi için zorunludur. -
Adım 2: Rüzgar yüküne dayanıklılık ve en uzun kenar ilişkisi 🌬️
Rüzgar yüküne dayanıklılık genellikle üçgenin genel geometrisi ve açılarla ilişkilidir. Genellikle, bir üçgenin en uzun kenarı, karşısındaki açının en büyük olduğu kenardır. Rüzgar gibi dış kuvvetler, genellikle en geniş açılı noktadan veya en uzun kenardan en büyük baskıyı oluşturabilir. Ancak, mühendislikte "en uzun kenarın" rüzgar yüküne dayanıklılık üzerindeki etkisi, diğer faktörler (malzeme, bağlantı noktaları, üçgenin diğer açıları) kadar basit değildir.
Ancak, 9. sınıf müfredatı kapsamında ve basit bir yorumla:
- Eğer rüzgar yükünü dağıtmak ve yapıyı daha stabil kılmak istiyorsak, genellikle açıları birbirine yakın olan bir üçgen (eşkenara yakın) daha dengeli bir yük dağılımı sağlayabilir.
- Eğer bir kenar çok uzun olursa, o kenara düşen gerilme de artabilir. Ancak bu, sadece uzunlukla değil, diğer kenarların uzunluğu ve açılarla da ilgilidir.
- Mimar, genellikle en büyük açının bulunduğu yere en büyük baskının geleceğini düşünerek o bölgeyi daha sağlam yapabilir. En büyük açı ise, en uzun kenarın karşısında bulunur.
Örnek 9:
Bir dağcı, bir dağın yamacında tırmanış yaparken bir ip kullanır. İpin bir ucu A noktasına (dağcı), diğer ucu B noktasına (yerdeki sabit bir nokta) bağlıdır. Dağcı, C noktasında (dağın zirvesine yakın bir kaya) mola verdiğinde, ipin C noktasından A noktasına kadar olan kısmının (AC) uzunluğunu 20 metre, C noktasından B noktasına kadar olan kısmının (BC) uzunluğunu 15 metre olarak tahmin eder. Bu durumda, dağcı ile yerdeki sabit nokta arasındaki mesafenin (AB) hangi tam sayı değerlerini alabileceğini bulunuz. Ayrıca, dağcının C noktasındaki açısı ne kadar büyükse, A ile B arasındaki mesafenin nasıl etkileneceğini açıklayınız. 🧗♀️
Çözüm:
Bu senaryo, üçgen eşitsizliğini ve açı-kenar bağıntısının günlük hayattaki uygulamasını gösterir.
-
Adım 1: AB kenarının uzunluk aralığını belirleme (Üçgen Eşitsizliği) 📏
Verilen kenar uzunlukları:
AC = 20 metre
BC = 15 metre
AB = x metre (bilinmeyen)
Üçgen eşitsizliğine göre:
\( |\text{AC} - \text{BC}| < \text{AB} < \text{AC} + \text{BC} \)
\( |20 - 15| < \text{x} < 20 + 15 \)
\( 5 < \text{x} < 35 \)
Yani, dağcı ile yerdeki sabit nokta arasındaki mesafe (AB) 5 metreden uzun ve 35 metreden kısa olmalıdır. Bu aralıktaki tam sayı değerleri \( 6, 7, ..., 34 \) metredir. -
Adım 2: C açısının büyüklüğünün AB mesafesine etkisi 🏔️
Üçgende açı-kenar bağıntısına göre, bir açının karşısındaki kenar, açının büyüklüğü ile doğru orantılıdır. Yani, büyük açı karşısında büyük kenar bulunur.
- Eğer C açısının ölçüsü artarsa (yani dağcı C noktasında daha "açık" bir konumda durursa), bu açının karşısındaki kenar olan AB kenarının uzunluğu da artar.
- Eğer C açısının ölçüsü azalırsa (yani dağcı C noktasında daha "kapalı" bir konumda durursa), AB kenarının uzunluğu da azalır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgende-aci-kenar/sorular