💡 9. Sınıf Matematik: Üçgende Açı Kenar İlişkisi Çözümlü Örnekler

Bu tür soruları çözerken "Büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur." prensibini kullanırız. 💡

• 👉 Öncelikle açıları büyüklük sırasına göre sıralayalım:
  \( m(\hat{B}) = 50^\circ < m(\hat{C}) = 60^\circ < m(\hat{A}) = 70^\circ \)
• 👉 Şimdi bu açıların karşısındaki kenarları aynı sıraya göre yazalım:
• 👉 \( m(\hat{B}) \) karşısındaki kenar b
• 👉 \( m(\hat{C}) \) karşısındaki kenar c
• 👉 \( m(\hat{A}) \) karşısındaki kenar a
• ✅ Buna göre kenar uzunlukları küçükten büyüğe doğru:
  \( b < c < a \)

Bir üçgenin kenar uzunlukları arasında Üçgen Eşitsizliği adı verilen önemli bir ilişki vardır. 📌 Bu kurala göre, bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyük olmalıdır.

Kenarlarımız 5, 8 ve x olduğuna göre:

• 👉 Diğer iki kenarın toplamı: \( 5 + 8 = 13 \)
• 👉 Diğer iki kenarın farkının mutlak değeri: \( |8 - 5| = 3 \)
• ✅ Üçgen eşitsizliğini yazarsak:
  \( 3 < x < 13 \)
• 👉 Bu eşitsizliği sağlayan tam sayı değerleri 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12'dir.

Öncelikle verilmeyen C açısını bulmamız gerekiyor. Bir üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \)dir. 💡

• 👉 \( m(\hat{A}) + m(\hat{B}) + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
• 👉 \( 65^\circ + 40^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
• 👉 \( 105^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
• 👉 \( m(\hat{C}) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \)

Şimdi tüm açıları biliyoruz: \( m(\hat{A}) = 65^\circ \), \( m(\hat{B}) = 40^\circ \), \( m(\hat{C}) = 75^\circ \).

Yine "Büyük açı karşısında büyük kenar bulunur." prensibini uygulayalım:

• 👉 Açıları büyükten küçüğe sıralayalım:
  \( m(\hat{C}) = 75^\circ > m(\hat{A}) = 65^\circ > m(\hat{B}) = 40^\circ \)
• 👉 Bu açıların karşısındaki kenarları aynı sıraya göre yazalım:
• 👉 \( m(\hat{C}) \) karşısındaki kenar c
• 👉 \( m(\hat{A}) \) karşısındaki kenar a
• 👉 \( m(\hat{B}) \) karşısındaki kenar b
• ✅ Buna göre kenar uzunlukları büyükten küçüğe doğru:
  \( c > a > b \)

Bu soruda hem üçgen eşitsizliğini hem de açının kenar uzunluğu üzerindeki etkisini kullanmalıyız. 💡

• 1. 👉 Önce üçgen eşitsizliğini uygulayalım. Kenarlar 7, 10 ve a olduğuna göre:
  \( |10 - 7| < a < 10 + 7 \)
  \( 3 < a < 17 \)
• 2. 👉 Şimdi A açısının \( 80^\circ \) olmasına dikkat edelim. Bu açı dar açı mı, dik açı mı, geniş açı mı?
  \( 80^\circ \) bir dar açıdır.
• 3. 👉 Eğer A açısı \( 90^\circ \) olsaydı, a kenarı hipotenüs olurdu ve en uzun kenar olurdu. Eğer A açısı \( 90^\circ \)den büyük olsaydı da a en uzun kenar olurdu.
• 4. 👉 A açısı \( 80^\circ \) olduğu için, diğer açılar \( 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \) toplamına sahiptir. B ve C açılarından biri veya ikisi \( 80^\circ \)den küçük olacaktır.
• 5. 👉 Önemli Not (9. Sınıf müfredatı): Eğer bir üçgende bir açı \( 90^\circ \)den büyük veya \( 90^\circ \)ye eşitse, bu açının karşısındaki kenar üçgenin en uzun kenarıdır. Eğer tüm açılar \( 90^\circ \)den küçükse (dar açılı üçgen), en büyük açının karşısındaki kenar yine en uzundur. Burada \( 80^\circ \) üçgenin en büyük açısı olabilir veya olmayabilir. Ancak, BC kenarının uzunluğu, A açısının karşısında olduğu için, diğer açılarla olan ilişkisi önemlidir.
• 6. 👉 9. sınıf seviyesinde, açının dar veya geniş olmasına göre kenar uzunluğuna alt sınır koymak için genellikle Pisagor bağıntısının genelleştirilmiş hali (kosinüs teoremi) kullanılır ki bu 10. sınıf konusudur. Ancak, A açısının \( 80^\circ \) olması, üçgenin dar açılı olabileceği veya bir açısının geniş açı olabileceği anlamına gelir. Eğer \( \hat{A} \) en büyük açıysa, a kenarı en büyük kenar olur.
• 7. 👉 Bu soruda, \( 80^\circ \) açısı doğrudan "en uzun kenar" kuralına özel bir alt sınır getirmez (örneğin \( a > \sqrt{7^2+10^2} \) gibi bir şey 10. sınıf konusudur). Bu nedenle, 9. sınıf müfredatında bu tür bir soruda sadece üçgen eşitsizliği geçerlidir.
• ✅ Üçgen eşitsizliğine göre \( 3 < a < 17 \) idi. Bu aralıktaki en küçük tam sayı değeri 4'tür.

Bu problemde hem üçgen eşitsizliğini hem de açının türünün kenar uzunluğuna etkisini göz önünde bulundurmalıyız.

Kenarlarımız 120, 150 ve x metre. C açısı dar açı (\( m(\hat{C}) < 90^\circ \)).

• 1. 👉 Üçgen Eşitsizliği:
  \( |150 - 120| < x < 150 + 120 \)
  \( 30 < x < 270 \)
• 2. 👉 Açı Bilgisinin Kullanımı (9. Sınıf Seviyesi): Bir açının dar açı olması, o açının karşısındaki kenarın uzunluğuna bir üst sınır getirmez. Ancak, eğer C açısı dik açı olsaydı, Pisagor teoremine göre \( x^2 = 120^2 + 150^2 \) olurdu. Eğer C açısı dar açı ise, x kenarı, dik açı olması durumunda olacağından daha kısa olmalıdır.
• 3. 👉 9. sınıf müfredatında, bir açının dar veya geniş açı olması durumunda kenar uzunluklarını belirlemek için kosinüs teoremi gibi ileri konular kullanılmaz. Ancak, C açısının dar açı olması, A ve B açılarının geniş açı olamayacağı anlamına gelmez.
• 4. 👉 9. sınıf düzeyinde, eğer \( m(\hat{C}) < 90^\circ \) ise, bu durum x'in uzunluğu için bir üst sınır değil, bir alt sınır belirleyebilir (eğer C açısı üçgenin en küçük açısı değilse).
• 5. 👉 Ancak, eğer C açısı dar açı ise, bu, x'in diğer iki kenarın toplamından küçük olması gerektiği gerçeğini değiştirmez. Eğer C açısı \( 90^\circ \) olsaydı, x kenarı \( \sqrt{120^2 + 150^2} \) olurdu. C açısı dar olduğunda, x bu değerden daha küçük olacaktır.
• 6. 👉 9. sınıf müfredatında, açının dar veya geniş olduğuna dair bilgi, doğrudan kenar uzunluklarını belirlemek için Pisagor teoremindeki gibi bir eşitsizlik olarak öğretilmez. Genellikle bu bilgi, en büyük açının karşısındaki en uzun kenarı belirlemede kullanılır. Eğer C açısı dar ise, bu, x'in üçgenin en büyük kenarı olma olasılığını azaltır.
• 7. 👉 Bu soruda, 9. sınıf seviyesinde, C açısının dar açı olması bilgisi, doğrudan bir alt veya üst sınır hesaplamasına yol açmaz, sadece üçgenin genel yapısını betimler. Bu durumda sadece üçgen eşitsizliği geçerlidir.
• ✅ Üçgen eşitsizliğine göre \( 30 < x < 270 \) aralığı geçerlidir. Bu aralıktaki en küçük tam sayı değeri 31'dir.

Bu problemde, üçgen eşitsizliği ile birlikte, bir açının geniş açı olması durumunda kenar uzunluğu üzerindeki etkisini kullanmalıyız.

Kenarlarımız 40, 60 ve x metre. C açısı geniş açı (\( m(\hat{C}) > 90^\circ \)).

• 1. 👉 Üçgen Eşitsizliği:
  \( |60 - 40| < x < 60 + 40 \)
  \( 20 < x < 100 \)
• 2. 👉 Açı Bilgisinin Kullanımı (9. Sınıf Seviyesi): Eğer bir üçgende bir açı geniş açı ise, bu açının karşısındaki kenar, üçgenin en uzun kenarı olmak zorundadır.
  Burada C açısı geniş açı olduğuna göre, bu açının karşısındaki x kenarı, diğer iki kenardan (40 ve 60) daha uzun olmalıdır.
• 3. 👉 Ayrıca, eğer C açısı \( 90^\circ \) olsaydı (dik üçgen), Pisagor teoremine göre \( x^2 = 40^2 + 60^2 \) olurdu.
  \( x^2 = 1600 + 3600 = 5200 \)
  \( x = \sqrt{5200} = \sqrt{400 \times 13} = 20\sqrt{13} \)
  Yaklaşık olarak \( \sqrt{13} \approx 3.6 \) olduğundan, \( x \approx 20 \times 3.6 = 72 \) metre civarında olurdu.
• 4. 👉 9. sınıf müfredatında, bir açının geniş açı olması durumunda, bu açının karşısındaki kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın karelerinin toplamının karekökünden daha büyük olmalıdır (yani \( x > \sqrt{40^2 + 60^2} \)). Bu, Pisagor bağıntısının geniş açılı üçgenler için bir sonucudur.
• 5. 👉 Bu durumda, \( x > \sqrt{5200} \). \( \sqrt{5200} \approx 72.1 \) metre.
• 6. 👉 Şimdi bu bilgiyi üçgen eşitsizliği ile birleştirelim:
  \( 20 < x < 100 \) VE \( x > 72.1 \)
• 7. 👉 Bu iki koşulu birleştirdiğimizde, x için yeni aralık:
  \( 72.1 < x < 100 \)
• ✅ x'in alabileceği tam sayı değerleri 73, 74, ..., 99'dur.

Bu problemde, iki farklı üçgende açı-kenar ilişkilerini ayrı ayrı incelemeli ve ortak kenar (AC) üzerinden karşılaştırma yapmalıyız.

1. ABC Üçgeni İçin:

• 👉 \( m(\hat{ABC}) = 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \)
• 👉 Açıları sıralayalım: \( m(\hat{BAC}) = 50^\circ < m(\hat{BCA}) = 60^\circ < m(\hat{ABC}) = 70^\circ \)
• 👉 Kenar sıralaması: \( BC < AB < AC \)

2. ADC Üçgeni İçin:

• 👉 \( m(\hat{ADC}) = 180^\circ - (70^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \)
• 👉 Açıları sıralayalım: \( m(\hat{ACD}) = 40^\circ < m(\hat{DAC}) = 70^\circ = m(\hat{ADC}) = 70^\circ \)
• 👉 Kenar sıralaması: \( AD < CD = AC \) (çünkü \( m(\hat{DAC}) = m(\hat{ADC}) \) olduğu için karşısındaki kenarlar CD ve AC eşittir)

3. Ortak Kenar AC Üzerinden Karşılaştırma:
ABC üçgeninde en büyük kenar AC iken, ADC üçgeninde AC, CD'ye eşit ve AD'den büyüktür.
Yani:
\( BC < AB < AC \)
\( AD < AC = CD \)
Her iki üçgende de AC kenarı, kendi üçgenindeki diğer kenarlardan daha büyük veya onlara eşittir. Bu durumda AC, AB, BC ve AD'den daha büyük veya eşittir.
En büyük kenar AC veya CD'dir. Çünkü AC = CD ve her ikisi de diğer tüm kenarlardan büyüktür.

✅ O zaman dörtgenin en uzun kenarı AC veya CD'dir. Soruda dörtgenin "en uzun kenarı hangisidir" diye sorulduğu için, bu iki kenardan herhangi biri cevaptır.

Üçgenin çevresi, kenar uzunluklarının toplamıdır. Çevre = \( 6 + 10 + x = 16 + x \).

Çevrenin en küçük tam sayı değerini bulmak için x'in alabileceği en küçük tam sayı değerini bulmalıyız. Bunun için üçgen eşitsizliğini kullanırız. 💡

• 👉 Kenarlar 6, 10 ve x olduğuna göre:
  \( |10 - 6| < x < 10 + 6 \)
  \( 4 < x < 16 \)
• 👉 x'in alabileceği en küçük tam sayı değeri 5'tir.
• 👉 Şimdi bu değeri çevre formülünde yerine koyalım:
  Çevre = \( 16 + x \)
• 👉 En küçük çevre = \( 16 + 5 = 21 \) cm.

✅ Üçgenin çevresinin alabileceği en küçük tam sayı değeri 21 cm'dir.

Bu soruda hem üçgen eşitsizliğini hem de açı-kenar ilişkisini aynı anda kullanmalıyız.

Kenarlarımız 9, 13 ve a. Ayrıca \( m(\hat{B}) > m(\hat{C}) \) bilgisi verilmiş.

• 1. 👉 Üçgen Eşitsizliği:
  \( |13 - 9| < a < 13 + 9 \)
  \( 4 < a < 22 \)
• 2. 👉 Açı-Kenar İlişkisi: \( m(\hat{B}) > m(\hat{C}) \) olduğu için, B açısının karşısındaki kenar olan AC, C açısının karşısındaki kenar olan AB'den büyük olmalıdır. Bu zaten verilmiş: AC = 13 cm ve AB = 9 cm. Bu bilgi bize doğrudan x için yeni bir aralık vermez.
• 3. 👉 Ancak, \( m(\hat{B}) \) açısının karşısındaki kenar AC (13 cm), \( m(\hat{C}) \) açısının karşısındaki kenar AB (9 cm) ve \( m(\hat{A}) \) açısının karşısındaki kenar BC (a) şeklindedir.
• 4. 👉 Verilen \( m(\hat{B}) > m(\hat{C}) \) ilişkisi, karşılıklı kenarların da aynı sıralamada olması gerektiği anlamına gelir. Yani, B açısının karşısındaki kenar (AC = 13) ile C açısının karşısındaki kenar (AB = 9) arasında bir ilişki bekleriz. Ancak bu zaten 13 > 9 olarak sağlanmıştır.
• 5. 👉 Bu durumda, \( m(\hat{B}) > m(\hat{C}) \) bilgisi, bu kenarlar arasındaki sıralamayı doğrudan etkilemez.
• 6. 👉 Önemli Düzeltme (9. Sınıf Kuralı): Açı-kenar ilişkisi doğrudan "Büyük açı karşısında büyük kenar" der. Yani, eğer \( m(\hat{B}) > m(\hat{C}) \) ise, B açısının karşısındaki kenar AC, C açısının karşısındaki kenar AB'den uzun olmalıdır. Bu zaten 13 > 9 olarak sağlanıyor.
• 7. 👉 Ayrıca, en büyük kenar veya en küçük kenar hakkında bir bilgi verilmemiş. Sadece \( m(\hat{B}) > m(\hat{C}) \) var. Bu bilgi, a kenarının diğer kenarlarla olan ilişkisini doğrudan değiştirmez.
• 8. 👉 9. sınıf müfredatında, bu tür bir soruda, genellikle \( m(\hat{A}) > m(\hat{B}) \) gibi bir ilişki verilerek a kenarına bir alt veya üst sınır konulur. Ancak burada bu tür bir bilgi yok.
• 9. 👉 Bu durumda, sadece üçgen eşitsizliği geçerlidir.
  \( 4 < a < 22 \)
• 10. 👉 Bu aralıktaki tam sayı değerleri 5, 6, 7, ..., 21'dir.
• 11. 👉 Bu tam sayıların toplamını bulmak için Gauss formülünü kullanabiliriz: \( \frac{n(n+1)}{2} \) veya ardışık sayıların toplamı:
  (Son terim + İlk terim) \( \times \) (Terim sayısı) / 2
• 👉 Terim sayısı = \( 21 - 5 + 1 = 17 \)
• 👉 Toplam = \( \frac{(21 + 5) \times 17}{2} = \frac{26 \times 17}{2} = 13 \times 17 = 221 \)

✅ BC kenarının alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 221'dir.