🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgende Açı Kenar İlişkileri, Geometrik Dönüşümler, Eşlik Ve Benzerlik Koşulları, Öklid Ve Pisagor Teoremleri İspatları, Eşlik Benzerlik Problemleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgende Açı Kenar İlişkileri, Geometrik Dönüşümler, Eşlik Ve Benzerlik Koşulları, Öklid Ve Pisagor Teoremleri İspatları, Eşlik Benzerlik Problemleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, \( m(\widehat{A}) = 70^\circ \) ve \( m(\widehat{B}) = 50^\circ \) olduğuna göre, üçgenin kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız. 📐
Çözüm:
Bu soruda üçgende açı-kenar ilişkileri kuralını kullanacağız. 💡 Bu kurala göre, bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur.
- Öncelikle üçüncü açıyı, yani \( m(\widehat{C}) \) açısını bulalım. Bir üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \)dir.
- \( m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ \)
- \( 70^\circ + 50^\circ + m(\widehat{C}) = 180^\circ \)
- \( 120^\circ + m(\widehat{C}) = 180^\circ \)
- \( m(\widehat{C}) = 180^\circ - 120^\circ \)
- \( m(\widehat{C}) = 60^\circ \) ✅
- Şimdi açıları küçükten büyüğe doğru sıralayalım: \( m(\widehat{B}) < m(\widehat{C}) < m(\widehat{A}) \)
- Yani, \( 50^\circ < 60^\circ < 70^\circ \)
- Bu açılar karşısındaki kenarları da aynı şekilde sıralayabiliriz.
- \( m(\widehat{B}) \) açısının karşısındaki kenar \( b \) (veya AC kenarı),
- \( m(\widehat{C}) \) açısının karşısındaki kenar \( c \) (veya AB kenarı),
- \( m(\widehat{A}) \) açısının karşısındaki kenar \( a \) (veya BC kenarı) olsun.
- O halde kenar sıralaması küçükten büyüğe doğru şu şekildedir: \( b < c < a \).
Örnek 2:
Kenar uzunlukları tam sayı olan bir ABC üçgeninde \( |AB| = 7 \) cm ve \( |AC| = 10 \) cm ise, \( |BC| \) kenarının alabileceği tam sayı değerleri kaç tanedir? 🤔
Çözüm:
Bu soruda üçgen eşitsizliği kuralını kullanacağız. 💡 Üçgen eşitsizliğine göre, bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyük olmalıdır.
- Verilen kenar uzunlukları: \( |AB| = 7 \) cm ve \( |AC| = 10 \) cm.
- Aradığımız kenar uzunluğu \( |BC| \) olsun ve bu uzunluğa \( x \) diyelim.
- Üçgen eşitsizliğini uygulayalım:
- \( |10 - 7| < x < 10 + 7 \)
- \( 3 < x < 17 \)
- Bu eşitsizliği sağlayan tam sayı değerleri \( x \)'in alabileceği değerlerdir.
- Yani \( x \) değerleri: \( 4, 5, 6, ..., 16 \) olabilir.
- Alabileceği tam sayı değerlerinin sayısını bulmak için: Son değer - İlk değer + 1 formülünü kullanırız.
- \( 16 - 4 + 1 = 13 \) ✅
- Demek ki \( |BC| \) kenarı 13 farklı tam sayı değeri alabilir.
Örnek 3:
Koordinat düzleminde \( A(3, -2) \) noktasının 4 birim sağa ve 3 birim yukarı ötelenmesiyle oluşan \( A' \) noktasının koordinatlarını bulunuz. ➡️⬆️
Çözüm:
Bu soruda öteleme dönüşümü yapacağız. 📌 Bir noktanın koordinat düzleminde ötelenmesi, noktanın her bir koordinatına (x ve y) öteleme miktarlarının eklenmesi veya çıkarılması anlamına gelir.
- Başlangıç noktamız \( A(3, -2) \).
- Öteleme miktarları: 4 birim sağa ve 3 birim yukarı.
- Sağa öteleme, x koordinatına ekleme yapılır.
- Yukarı öteleme, y koordinatına ekleme yapılır.
- Yeni noktamız \( A'(x', y') \) olsun.
- \( x' = 3 + 4 = 7 \)
- \( y' = -2 + 3 = 1 \)
- Buna göre, ötelenmiş \( A' \) noktasının koordinatları \( (7, 1) \)dir. ✅
Örnek 4:
Bir dik üçgen olan ABC üçgeninde \( m(\widehat{B}) = 90^\circ \), \( |AB| = 6 \) cm ve \( |BC| = 8 \) cm olduğuna göre, \( |AC| \) kenarının uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu soruda Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. 💡 Pisagor Teoremi sadece dik üçgenlerde geçerlidir ve "Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün (dik açının karşısındaki kenar) uzunluğunun karesine eşittir" der.
- ABC üçgeni bir dik üçgendir ve dik açı \( \widehat{B} \) açısıdır.
- Dik kenarlar \( |AB| \) ve \( |BC| \)dir.
- Hipotenüs ise \( |AC| \) kenarıdır.
- Pisagor Teoremi formülü: \( |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2 \)
- Verilen değerleri yerine yazalım:
- \( 6^2 + 8^2 = |AC|^2 \)
- \( 36 + 64 = |AC|^2 \)
- \( 100 = |AC|^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım:
- \( \sqrt{100} = \sqrt{|AC|^2} \)
- \( |AC| = 10 \) cm. ✅
Örnek 5:
Aşağıda verilen iki üçgenin eşliğini inceleyelim:
Bir ABC üçgeni ve bir DEF üçgeni düşünelim.
Eğer \( |AB| = |DE| = 5 \) cm, \( |BC| = |EF| = 7 \) cm ve \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) = 60^\circ \) ise, bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz ve eşlik koşulunu belirtiniz. Eğer eş iseler \( |AC| \) kenarı \( |DF| \) kenarına eşit midir?
Bir ABC üçgeni ve bir DEF üçgeni düşünelim.
Eğer \( |AB| = |DE| = 5 \) cm, \( |BC| = |EF| = 7 \) cm ve \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) = 60^\circ \) ise, bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz ve eşlik koşulunu belirtiniz. Eğer eş iseler \( |AC| \) kenarı \( |DF| \) kenarına eşit midir?
Çözüm:
Bu soruda üçgenlerin eşlik koşullarını inceleyeceğiz. 📌 İki üçgenin eş olması için karşılıklı kenarları ve açıları eşit olmalıdır. Bunun için belirli eşlik koşulları vardır: KKK (Kenar-Kenar-Kenar), KAK (Kenar-Açı-Kenar), AKA (Açı-Kenar-Açı).
- Verilenler:
- \( |AB| = 5 \) cm ve \( |DE| = 5 \) cm (yani \( |AB| = |DE| \))
- \( |BC| = 7 \) cm ve \( |EF| = 7 \) cm (yani \( |BC| = |EF| \))
- \( m(\widehat{B}) = 60^\circ \) ve \( m(\widehat{E}) = 60^\circ \) (yani \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) \))
- Görüldüğü üzere, iki üçgenin ikişer kenarı ve bu kenarlar arasında kalan açıları karşılıklı olarak eşittir.
- Bu durum, Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşlik Koşulu'nu sağlamaktadır.
- Dolayısıyla, ABC üçgeni ile DEF üçgeni eştir. Bu durumu \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) şeklinde gösteririz.
- Eş üçgenlerde karşılıklı tüm kenarlar ve açılar eşit olacağı için, üçüncü kenarları olan \( |AC| \) ve \( |DF| \) de birbirine eşit olmak zorundadır.
- Yani, \( |AC| = |DF| \)'dir. ✅
Örnek 6:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni arasında \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) \) ve \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) \) ilişkisi bulunmaktadır. Eğer \( |AB| = 6 \) cm, \( |BC| = 9 \) cm ve \( |DE| = 4 \) cm ise, \( |EF| \) kenarının uzunluğunu bulunuz. 🧐
Çözüm:
Bu soruda üçgenlerin benzerlik koşullarını kullanacağız. 💡 İki üçgenin karşılıklı açılarının ölçüleri eşitse, bu üçgenler benzerdir. Bu duruma Açı-Açı (AA) Benzerlik Koşulu denir. Benzer üçgenlerin karşılıklı kenarlarının oranları birbirine eşittir.
- Verilenler:
- \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) \)
- \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) \)
- Bu iki koşul, Açı-Açı (AA) Benzerlik Koşulu'nu sağladığı için \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) (ABC üçgeni, DEF üçgenine benzerdir).
- Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları sabittir.
- Karşılıklı kenarlar: \( AB \leftrightarrow DE \), \( BC \leftrightarrow EF \), \( AC \leftrightarrow DF \)
- Kenar oranlarını yazalım:
- \[ \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{|AC|}{|DF|} \]
- Bize verilen uzunlukları yerine yazalım: \( |AB| = 6 \), \( |BC| = 9 \), \( |DE| = 4 \). Aradığımız \( |EF| \) kenarına \( x \) diyelim.
- \[ \frac{6}{4} = \frac{9}{x} \]
- Bu oranı sadeleştirelim:
- \[ \frac{3}{2} = \frac{9}{x} \]
- İçler dışlar çarpımı yapalım:
- \( 3 \cdot x = 2 \cdot 9 \)
- \( 3x = 18 \)
- Her iki tarafı 3'e bölelim:
- \( x = \frac{18}{3} \)
- \( x = 6 \) cm. ✅
- Yani, \( |EF| \) kenarının uzunluğu 6 cm'dir.
Örnek 7:
Bir öğrenci, boyu 1.6 metre olan bir direğin gölge boyunu 2.4 metre olarak ölçüyor. Aynı anda, bu direğin yanında bulunan bir ağacın gölge boyunu ise 9 metre olarak ölçüyor. Buna göre, ağacın boyu kaç metredir? (Güneş ışınlarının aynı anda yere düşme açıları eşit kabul edilecektir.) 🌳☀️
Çözüm:
Bu bir benzerlik problemidir ve yeni nesil soru formatına uygundur. 💡 Güneş ışınlarının aynı anda yere düşme açıları eşit olduğu için, direk ve gölgesi ile ağaç ve gölgesi arasında oluşan dik üçgenler birbirine benzer olacaktır.
- Direğin boyu \( H_D = 1.6 \) metre.
- Direğin gölge boyu \( G_D = 2.4 \) metre.
- Ağacın gölge boyu \( G_A = 9 \) metre.
- Ağacın boyu \( H_A \) olsun.
- Direk ve gölgesi ile ağaç ve gölgesi benzer dik üçgenler oluşturduğu için, karşılıklı kenarların oranları eşit olacaktır.
- \[ \frac{\text{Direğin Boyu}}{\text{Direğin Gölge Boyu}} = \frac{\text{Ağacın Boyu}}{\text{Ağacın Gölge Boyu}} \]
- Değerleri yerine yazalım:
- \[ \frac{1.6}{2.4} = \frac{H_A}{9} \]
- Oranı sadeleştirelim. Hem 1.6 hem de 2.4, 0.8'in katlarıdır. (16/24 = 2/3)
- \[ \frac{1.6 \div 0.8}{2.4 \div 0.8} = \frac{2}{3} \]
- Şimdi denklemimizi yeniden yazalım:
- \[ \frac{2}{3} = \frac{H_A}{9} \]
- İçler dışlar çarpımı yapalım:
- \( 3 \cdot H_A = 2 \cdot 9 \)
- \( 3H_A = 18 \)
- Her iki tarafı 3'e bölelim:
- \( H_A = \frac{18}{3} \)
- \( H_A = 6 \) metre. ✅
- Buna göre, ağacın boyu 6 metredir.
Örnek 8:
Bir inşaat mühendisi, dik üçgen şeklindeki bir arsanın dik köşesinden (A köşesi) hipotenüse (BC kenarı) dik bir yol yapmayı planlıyor. Bu yol, arsayı iki küçük dik üçgene ayıracaktır. Eğer \( |AB| = 9 \) metre ve \( |AC| = 12 \) metre ise, bu yolun uzunluğu (A köşesinden BC kenarına inen dikmenin uzunluğu) kaç metredir? 🚧 (Bu yolun \( |BC| \) kenarını kestiği noktaya H diyelim.)
Çözüm:
Bu problemde Öklid Teoremi'nin bir uygulamasını kullanabiliriz, ancak öncelikle Pisagor Teoremi ile hipotenüs uzunluğunu bulmamız gerekecek. 💡 Öklid Teoremi, dik üçgende dik açıdan hipotenüse indirilen dikmenin (yükseklik) ve bu dikmenin hipotenüsü ayırdığı parçaların uzunlukları arasındaki bağıntıları ifade eder.
- Öncelikle büyük ABC dik üçgeninin hipotenüsü olan \( |BC| \) kenarının uzunluğunu Pisagor Teoremi ile bulalım.
- \( |AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2 \)
- \( 9^2 + 12^2 = |BC|^2 \)
- \( 81 + 144 = |BC|^2 \)
- \( 225 = |BC|^2 \)
- \( |BC| = \sqrt{225} = 15 \) metre.
- Şimdi A köşesinden BC kenarına inen dikmenin uzunluğuna \( h \) diyelim (yani \( |AH| = h \)).
- Dik üçgende alan formülü \( (\text{dik kenar} \times \text{dik kenar}) / 2 \) veya \( (\text{hipotenüs} \times \text{yükseklik}) / 2 \) şeklindedir. Bu iki alan birbirine eşit olmalıdır.
- \[ \frac{|AB| \cdot |AC|}{2} = \frac{|BC| \cdot |AH|}{2} \]
- İki tarafı da 2 ile çarparsak:
- \( |AB| \cdot |AC| = |BC| \cdot |AH| \)
- Değerleri yerine yazalım:
- \( 9 \cdot 12 = 15 \cdot h \)
- \( 108 = 15h \)
- \( h = \frac{108}{15} \)
- Sadeleştirme yapalım (her iki tarafı 3'e bölelim):
- \( h = \frac{36}{5} \)
- \( h = 7.2 \) metre. ✅
- Bu yolun uzunluğu 7.2 metredir.
- Ek Bilgi (Öklid'in Yükseklik Teoremi): Bu problemi Öklid'in yükseklik teoremini kullanarak da çözebilirdik. Ancak bu teorem genellikle \( p \cdot k = h^2 \) şeklinde hipotenüsün ayrıldığı parçalar üzerinden gittiği için, doğrudan yükseklik formülü (dik kenarlar çarpımı bölü hipotenüs) daha pratiktir. Öklid'in dik kenar teoremleri de (\( b^2 = k \cdot a \) ve \( c^2 = p \cdot a \)) bu parçaları bulmak için kullanılabilirdi, ama soruda doğrudan yükseklik istendiği için alan formülü daha kolaydı.
Örnek 9:
Bir mühendis, bir köprü inşaatında kullanacağı destek kirişlerinin tasarımını yapıyor. Bu kirişler, bir dik üçgen oluşturacak şekilde yerleştirilecek. Köprünün zemini ile dikey destek arasındaki mesafe 8 metre ve dikey desteğin yüksekliği 6 metre olarak planlanıyor. Bu durumda, zemindeki noktadan dikey desteğin tepesine uzanan eğik kirişin (hipotenüs) uzunluğu kaç metre olmalıdır? 🌉
Çözüm:
Bu bir Pisagor Teoremi uygulamasıdır ve günlük hayattan bir örnektir. 💡 Köprünün zemini, dikey destek ve eğik kiriş bir dik üçgen oluşturur. Zemindeki mesafe ve dikey destek dik kenarları, eğik kiriş ise hipotenüsü temsil eder.
- Köprünün zemini ile dikey destek arasındaki mesafe (bir dik kenar) = 8 metre.
- Dikey desteğin yüksekliği (diğer dik kenar) = 6 metre.
- Eğik kirişin uzunluğu (hipotenüs) = \( x \) metre olsun.
- Pisagor Teoremi'ni uygulayalım: \( (\text{dik kenar}_1)^2 + (\text{dik kenar}_2)^2 = (\text{hipotenüs})^2 \)
- \( 8^2 + 6^2 = x^2 \)
- \( 64 + 36 = x^2 \)
- \( 100 = x^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım:
- \( \sqrt{100} = \sqrt{x^2} \)
- \( x = 10 \) metre. ✅
- Eğik kirişin uzunluğu 10 metre olmalıdır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgende-aci-kenar-iliskileri-geometrik-donusumler-eslik-ve-benzerlik-kosullari-oklid-ve-pisagor-teoremleri-ispatlari-eslik-benzerlik-problemleri/sorular