🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgende Açı Kenar İlişkileri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgende Açı Kenar İlişkileri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde 📐, açılarının ölçüleri \( m(\hat{A}) = 70^\circ \), \( m(\hat{B}) = 50^\circ \) ve \( m(\hat{C}) = 60^\circ \) olarak verilmiştir. Buna göre, bu üçgenin kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Çözüm:
Bu tür soruları çözerken üçgende büyük açı karşısında büyük kenar bulunur kuralını hatırlamamız gerekir. 💡
- Öncelikle verilen açıları küçükten büyüğe doğru sıralayalım:
\( m(\hat{B}) = 50^\circ \), \( m(\hat{C}) = 60^\circ \), \( m(\hat{A}) = 70^\circ \) - Her açının karşısındaki kenarı belirleyelim:
- \( \hat{B} \) açısının karşısındaki kenar \( b \) kenarıdır.
- \( \hat{C} \) açısının karşısındaki kenar \( c \) kenarıdır.
- \( \hat{A} \) açısının karşısındaki kenar \( a \) kenarıdır.
- Açı sıralamasına göre kenarları sıralayalım:
En küçük açı \( \hat{B} \) olduğu için karşısındaki kenar \( b \) en kısadır.
Ortanca açı \( \hat{C} \) olduğu için karşısındaki kenar \( c \) ortancadır.
En büyük açı \( \hat{A} \) olduğu için karşısındaki kenar \( a \) en uzundur. - Sonuç olarak, kenar uzunluklarının sıralaması küçükten büyüğe doğru şu şekildedir:
\( b < c < a \) ✅
Örnek 2:
Kenar uzunlukları \( x \) birim, \( 8 \) birim ve \( 12 \) birim olan bir üçgenin çizilebilmesi için \( x \) hangi tam sayı değerlerini alabilir? 🤔
Çözüm:
Bir üçgenin çizilebilmesi için üçgen eşitsizliği kuralı sağlanmalıdır. 📌 Bu kurala göre, bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyük olmalıdır.
- Kenarlarımız \( x \), \( 8 \) ve \( 12 \) birimdir. \( x \) kenarı için üçgen eşitsizliğini yazalım:
- \[ |12 - 8| < x < 12 + 8 \]
- Mutlak değer ve toplam işlemlerini yapalım:
- \[ 4 < x < 20 \]
- Bu eşitsizliğe göre \( x \) değeri \( 4 \) ile \( 20 \) arasındaki tam sayı değerlerini alabilir.
- Yani \( x \), \( 5, 6, 7, ..., 19 \) değerlerini alabilir.
- Alabileceği tam sayı değerleri \( 5, 6, ..., 19 \)'dur. ✅
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde \( m(\hat{A}) = 80^\circ \) ve \( m(\hat{B}) = 30^\circ \) olarak verilmiştir. Kenar uzunlukları \( a, b, c \) olduğuna göre, bu kenarların doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
Bu soruda hem açıları bulmamız hem de açı-kenar ilişkisini kullanmamız gerekiyor. 👉
- Öncelikle üçgenin iç açıları toplamının \( 180^\circ \) olduğunu biliyoruz.
\( m(\hat{A}) + m(\hat{B}) + m(\hat{C}) = 180^\circ \) - Verilen açıları yerine yazalım:
\( 80^\circ + 30^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ \) - \( 110^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
- \( m(\hat{C}) = 180^\circ - 110^\circ \)
- \( m(\hat{C}) = 70^\circ \)
- Şimdi üçgenin tüm açılarını biliyoruz:
\( m(\hat{A}) = 80^\circ \), \( m(\hat{B}) = 30^\circ \), \( m(\hat{C}) = 70^\circ \) - Açıları küçükten büyüğe sıralayalım:
\( m(\hat{B}) < m(\hat{C}) < m(\hat{A}) \) - Büyük açı karşısında büyük kenar olacağından, kenarları da aynı sıralamayla küçükten büyüğe sıralarız:
\( b < c < a \) ✅
Örnek 4:
Yandaki şekilde (şekli metinsel olarak betimliyorum) bir ABCD dörtgeni verilmiştir. Bu dörtgen, bir ABC üçgeni ve bir ADC üçgeninden oluşmaktadır.
ABC üçgeninde \( m(\hat{BAC}) = 60^\circ \), \( m(\hat{BCA}) = 50^\circ \) ve \( m(\hat{ABC}) = 70^\circ \) olarak veriliyor.
ADC üçgeninde ise \( m(\hat{DAC}) = 40^\circ \), \( m(\hat{ACD}) = 75^\circ \) ve \( m(\hat{ADC}) = 65^\circ \) olarak veriliyor.
Buna göre, en uzun kenar hangisidir? (Kenarlar \( AB, BC, CD, DA \) ve ortak kenar \( AC \) dir.)
ABC üçgeninde \( m(\hat{BAC}) = 60^\circ \), \( m(\hat{BCA}) = 50^\circ \) ve \( m(\hat{ABC}) = 70^\circ \) olarak veriliyor.
ADC üçgeninde ise \( m(\hat{DAC}) = 40^\circ \), \( m(\hat{ACD}) = 75^\circ \) ve \( m(\hat{ADC}) = 65^\circ \) olarak veriliyor.
Buna göre, en uzun kenar hangisidir? (Kenarlar \( AB, BC, CD, DA \) ve ortak kenar \( AC \) dir.)
Çözüm:
Bu problemde iki farklı üçgenin kenar uzunluklarını ayrı ayrı sıralayıp, ortak kenar üzerinden genel bir sıralama yapmamız gerekiyor. 🧐
1. ABC Üçgeni İçin Kenar Sıralaması:
- Açılar: \( m(\hat{BAC}) = 60^\circ \), \( m(\hat{BCA}) = 50^\circ \), \( m(\hat{ABC}) = 70^\circ \)
- Açıları küçükten büyüğe sıralayalım: \( m(\hat{BCA}) < m(\hat{BAC}) < m(\hat{ABC}) \)
- Karşılık gelen kenarları sıralayalım: \( AB < BC < AC \) (Çünkü \( \hat{BCA} \) karşısında AB, \( \hat{BAC} \) karşısında BC, \( \hat{ABC} \) karşısında AC vardır.)
2. ADC Üçgeni İçin Kenar Sıralaması:
- Açılar: \( m(\hat{DAC}) = 40^\circ \), \( m(\hat{ACD}) = 75^\circ \), \( m(\hat{ADC}) = 65^\circ \)
- Açıları küçükten büyüğe sıralayalım: \( m(\hat{DAC}) < m(\hat{ADC}) < m(\hat{ACD}) \)
- Karşılık gelen kenarları sıralayalım: \( CD < AC < AD \) (Çünkü \( \hat{DAC} \) karşısında CD, \( \hat{ADC} \) karşısında AC, \( \hat{ACD} \) karşısında AD vardır.)
3. Genel Sıralama ve En Uzun Kenar:
- ABC üçgeninde en uzun kenar \( AC \) idi.
- ADC üçgeninde en uzun kenar \( AD \) idi.
- Şimdi bu iki üçgenin en uzun kenarlarını karşılaştırmalıyız.
ABC üçgeninde \( AC \) kenarı \( 70^\circ \) derecenin karşısındadır.
ADC üçgeninde \( AD \) kenarı \( 75^\circ \) derecenin karşısındadır. - ADC üçgenindeki en büyük açı \( m(\hat{ACD}) = 75^\circ \) ve bu açının karşısındaki kenar \( AD \) kenarıdır.
Bu açı, diğer tüm açılardan ve ABC üçgenindeki en büyük açıdan ( \( m(\hat{ABC}) = 70^\circ \) ) daha büyüktür. - Dolayısıyla, en uzun kenar \( AD \) kenarıdır. ✅
Örnek 5:
Bir KLM dik üçgeninde \( K \) açısı \( 90^\circ \) dir. Buna göre, bu üçgenin kenar uzunlukları \( k, l, m \) arasındaki doğru sıralama nedir?
Çözüm:
Dik üçgenlerde hipotenüs her zaman en uzun kenardır. 📏
- \( K \) açısı \( 90^\circ \) ise, bu açı dik açıdır.
- Dik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir.
- \( K \) açısının karşısındaki kenar \( k \) kenarıdır.
- Diğer açılar olan \( L \) ve \( M \) açıları dar açılardır (yani \( 90^\circ \) den küçüktürler).
- Dolayısıyla, \( 90^\circ \) olan \( K \) açısı en büyük açıdır.
- Büyük açı karşısında büyük kenar olacağı için, \( K \) açısının karşısındaki \( k \) kenarı en uzundur.
- Diğer kenarlar \( l \) ve \( m \) ise daha kısadır.
- Kenar uzunlukları arasındaki doğru sıralama:
\( l < k \) ve \( m < k \).
\( l \) ve \( m \) arasındaki ilişkiyi bilmek için \( L \) ve \( M \) açılarının değerlerini bilmemiz gerekir. Ancak kesin olarak bildiğimiz tek şey \( k \) kenarının en uzun olduğudur. ✅
Örnek 6:
Bir mühendis, bir köprü inşaatı için üçgen şeklinde bir destek yapısı tasarlamaktadır. Bu destek yapısı, yerdeki A ve B noktaları ile havada C noktasını birleştiren çelik çubuklardan (ABC üçgeni) oluşacaktır. Mühendis, A noktasındaki açının \( 55^\circ \), B noktasındaki açının ise \( 65^\circ \) olmasını planlamıştır.
Köprünün stabilitesi için en uzun çelik çubuğun hangisi olması gerektiğini belirleyiniz. (Kenarlar \( AB, BC, AC \) dir.)
Köprünün stabilitesi için en uzun çelik çubuğun hangisi olması gerektiğini belirleyiniz. (Kenarlar \( AB, BC, AC \) dir.)
Çözüm:
Bu yeni nesil soruda, günlük hayattan bir senaryo üzerinden açı-kenar ilişkisini yorumlamamız isteniyor. 🏗️
- Verilenler:
\( m(\hat{A}) = 55^\circ \)
\( m(\hat{B}) = 65^\circ \) - Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğu için \( C \) açısını bulalım:
\( m(\hat{A}) + m(\hat{B}) + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
\( 55^\circ + 65^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
\( 120^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
\( m(\hat{C}) = 180^\circ - 120^\circ \)
\( m(\hat{C}) = 60^\circ \) - Şimdi tüm açıları biliyoruz:
\( m(\hat{A}) = 55^\circ \)
\( m(\hat{B}) = 65^\circ \)
\( m(\hat{C}) = 60^\circ \) - En uzun çelik çubuk, en büyük açının karşısındaki kenar olacaktır.
- Açılar arasında en büyük olanı \( m(\hat{B}) = 65^\circ \) dir.
- \( \hat{B} \) açısının karşısındaki kenar \( AC \) kenarıdır.
- Dolayısıyla, köprünün stabilitesi için en uzun çelik çubuk \( AC \) çubuğu olmalıdır. ✅
Örnek 7:
Bir marangoz, üçgen şeklinde bir raf tasarlıyor. Bu rafın kenar uzunlukları sırasıyla \( 10 \) cm, \( 15 \) cm ve \( x \) cm olacaktır. Marangoz, rafın sağlam olması için \( x \) kenarının uzunluğunun diğer iki kenarın uzunluklarına göre belirli bir aralıkta olması gerektiğini biliyor. Buna göre, \( x \) kenarının alabileceği tam sayı değerleri aralığını bulunuz. 🛠️
Çözüm:
Bu günlük hayat örneği, üçgen eşitsizliğinin pratik bir uygulamasını göstermektedir.
- Rafın kenar uzunlukları \( 10 \) cm, \( 15 \) cm ve \( x \) cm'dir.
- Bir üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi (üçgen eşitsizliği) kullanacağız:
Bir kenar, diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyük, toplamından ise küçük olmalıdır. - \( x \) kenarı için eşitsizliği yazalım:
- \[ |15 - 10| < x < 15 + 10 \]
- İşlemleri yapalım:
- \[ 5 < x < 25 \]
- Bu eşitsizliğe göre, \( x \) kenarı \( 5 \) cm ile \( 25 \) cm arasındaki tam sayı değerlerini alabilir.
- Yani, \( x \) kenarının alabileceği tam sayı değerleri \( 6, 7, ..., 24 \) aralığındadır. ✅
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde \( m(\hat{A}) > 90^\circ \) (geniş açı) olduğu biliniyor. Üçgenin kenar uzunlukları \( a, b, c \) olduğuna göre, bu kenarlar arasındaki ilişki hakkında ne söylenebilir?
Çözüm:
Bu soruda geniş açılı üçgenlerdeki özel durumu hatırlamamız gerekiyor. 💡
- Bir üçgende en büyük açı karşısında en uzun kenar bulunur.
- Verilen bilgiye göre \( m(\hat{A}) > 90^\circ \) dir. Yani \( A \) açısı bir geniş açıdır.
- Bir üçgende sadece bir tane geniş açı olabilir. Çünkü iki geniş açının toplamı bile \( 180^\circ \) den büyük olur ve bu bir üçgen oluşturmaz.
- Dolayısıyla, \( A \) açısı üçgenin en büyük açısıdır.
- \( A \) açısının karşısındaki kenar \( a \) kenarıdır.
- En büyük açının karşısındaki kenar en uzun kenar olacağı için, \( a \) kenarı üçgenin en uzun kenarıdır.
- Diğer bir deyişle, \( a > b \) ve \( a > c \) dir.
\( b \) ve \( c \) arasındaki ilişkiyi bilmek için \( B \) ve \( C \) açılarının değerlerini bilmemiz gerekir. Ancak kesin olan şey, geniş açının karşısındaki kenarın en uzun kenar olduğudur. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgende-aci-kenar-i-liskileri/sorular