🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgende Açı Kenar Eşitsizliği Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgende Açı Kenar Eşitsizliği Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde \( \hat{A} = 50^\circ \) ve \( \hat{B} = 70^\circ \) ise, en uzun kenar hangisidir? 📐
Çözüm:
- Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, \( \hat{C} \) açısını bulalım: \( \hat{C} = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
- Üçgende en büyük açının karşısındaki kenar en uzundur. Açıları sıralayalım: \( \hat{B} > \hat{C} > \hat{A} \) yani \( 70^\circ > 60^\circ > 50^\circ \).
- Bu durumda, en büyük açı olan \( \hat{B} \) açısının karşısındaki kenar olan AC kenarı en uzundur. ✅
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde kenar uzunlukları \( a = 8 \) cm, \( b = 12 \) cm ve \( c = 5 \) cm olarak verilmiştir. En küçük açı hangi köşeye aittir? 🤔
Çözüm:
- Üçgende en küçük açının karşısındaki kenar en kısadır. Kenar uzunluklarını sıralayalım: \( a < c < b \) yani \( 8 < 5 < 12 \). Bu sıralamada bir hata var, doğru sıralama \( c < a < b \) yani \( 5 < 8 < 12 \) olmalıdır.
- En kısa kenar c kenarıdır (5 cm).
- En kısa kenarın karşısındaki açı en küçük açıdır. c kenarının karşısındaki açı \( \hat{C} \) açısıdır.
- Dolayısıyla, en küçük açı \( \hat{C} \) köşesine aittir. 👉
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 7 \) birim, \( |BC| = 10 \) birim ve \( |AC| = x \) birimdir. x'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamını bulunuz. 🔢
Çözüm:
- Üçgende iki kenar uzunluğunun toplamı diğer kenardan büyük, farkı ise diğer kenardan küçük olmalıdır. Bu kurala üçgen eşitsizliği denir.
- \( |AC| \) kenarı için eşitsizlikleri yazalım:
- \( |AB| + |BC| > |AC| \implies 7 + 10 > x \implies 17 > x \)
- \( |AB| + |AC| > |BC| \implies 7 + x > 10 \implies x > 3 \)
- \( |BC| + |AC| > |AB| \implies 10 + x > 7 \implies x > -3 \) (Bu eşitsizlik zaten \( x > 3 \) tarafından kapsanmaktadır.)
- Bu eşitsizlikleri birleştirdiğimizde: \( 3 < x < 17 \) olur.
- x'in alabileceği tam sayılar: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16.
- Bu tam sayıların toplamını bulmak için aritmetik dizi formülünü kullanabiliriz veya tek tek toplayabiliriz. Toplam: \( (4+16) + (5+15) + ... + (10) \) şeklinde gruplandırarak veya \( \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \) formülü ile: \( n = 16 - 4 + 1 = 13 \). Toplam = \( \frac{13(4 + 16)}{2} = \frac{13 \times 20}{2} = 130 \). ✅
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 9 \) cm ve \( |AC| = 13 \) cm'dir. Bu üçgen çizilebilir mi? Nedenini açıklayınız. 📏
Çözüm:
- Bir üçgenin çizilebilmesi için üçgen eşitsizliğinin sağlanması gerekir.
- Kenar uzunluklarını kontrol edelim:
- \( 5 + 9 > 13 \implies 14 > 13 \) (Sağlanıyor)
- \( 5 + 13 > 9 \implies 18 > 9 \) (Sağlanıyor)
- \( 9 + 13 > 5 \implies 22 > 5 \) (Sağlanıyor)
- Tüm üçgen eşitsizlikleri sağlandığı için bu kenar uzunluklarına sahip bir üçgen çizilebilir. 💡
Örnek 5:
Bir parkta bulunan üç farklı bank A, B ve C noktalarında bulunmaktadır. A ve B bankları arasındaki mesafe 8 metre, B ve C bankları arasındaki mesafe 15 metredir. A ve C bankları arasındaki mesafenin metre cinsinden alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? 🌳
Çözüm:
- Bu problem, üçgen eşitsizliği ile ilgilidir. A, B ve C noktaları bir üçgenin köşeleri olarak düşünülebilir.
- \( |AB| = 8 \) metre ve \( |BC| = 15 \) metre verilmiş. \( |AC| \) mesafesini (x diyelim) bulmamız gerekiyor.
- Üçgen eşitsizliğine göre:
- \( |AB| + |BC| > |AC| \implies 8 + 15 > x \implies 23 > x \)
- \( |AB| + |AC| > |BC| \implies 8 + x > 15 \implies x > 7 \)
- \( |BC| + |AC| > |AB| \implies 15 + x > 8 \implies x > -7 \) (Bu eşitsizlik \( x > 7 \) tarafından kapsanır.)
- Yani, \( 7 < x < 23 \) olmalıdır.
- x'in alabileceği tam sayılar: 8, 9, 10, ..., 22.
- Bu tam sayıların toplamını bulalım:
- Toplam terim sayısı: \( 22 - 8 + 1 = 15 \)
- Toplam: \( \frac{15 \times (8 + 22)}{2} = \frac{15 \times 30}{2} = 15 \times 15 = 225 \). ✅
Örnek 6:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın temelini tasarlarken üçgen bir şekil kullanıyor. İki kenarın uzunluğu 10 metre ve 15 metre olarak belirlenmiş. Üçüncü kenarın uzunluğu en fazla kaç metre olabilir ki, bu üçgen sağlam bir yapı oluştursun? 🏗️
Çözüm:
- Bu senaryoda, verilen iki kenar uzunluğu ile üçüncü kenarın alabileceği maksimum değeri bulmak için üçgen eşitsizliğini kullanacağız.
- Kenar uzunlukları 10 m ve 15 m olsun. Üçüncü kenara 'x' diyelim.
- Üçgen eşitsizliğinin bir kuralı şudur: Üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğu, diğer iki kenarının uzunlukları toplamından küçük olmalıdır.
- Bu durumda, üçüncü kenar ('x') diğer iki kenarın toplamından küçük olmalıdır:
- \( x < 10 + 15 \)
- \( x < 25 \)
- Bu, üçüncü kenarın uzunluğunun 25 metreden küçük olması gerektiğini gösterir.
- Dolayısıyla, üçüncü kenarın alabileceği en fazla tam sayı değeri 24 metredir. Bu, üçgenin sağlam bir yapı oluşturmasını garantiler. 💡
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgende-aci-kenar-esitsizligi/sorular