🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgende Açı Kenar Bağlantıları Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgende Açı Kenar Bağlantıları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 5 \) cm, \( |AC| = 8 \) cm ve \( |BC| = 10 \) cm'dir. Bu üçgenin kenar uzunluklarına göre açılarını büyükten küçüğe sıralayınız.
Çözüm:
- Kural: Bir üçgende, büyük kenarın karşısındaki açı daha büyüktür.
- Üçgenin kenar uzunlukları \( |BC| = 10 \) cm, \( |AC| = 8 \) cm ve \( |AB| = 5 \) cm'dir.
- En uzun kenar \( |BC| \) olduğundan, bu kenarın karşısındaki \( \hat{A} \) açısı en büyüktür.
- Ortanca kenar \( |AC| \) olduğundan, bu kenarın karşısındaki \( \hat{B} \) açısı ortanca büyüklüktedir.
- En kısa kenar \( |AB| \) olduğundan, bu kenarın karşısındaki \( \hat{C} \) açısı en küçüktür.
- Dolayısıyla, açılar arasındaki sıralama \( \hat{A} > \hat{B} > \hat{C} \) şeklindedir. 💡
Örnek 2:
Bir üçgende iki kenar uzunluğu \( 7 \) cm ve \( 12 \) cm olarak verilmiştir. Üçüncü kenarın alabileceği tam sayı değerlerinin toplamını bulunuz.
Çözüm:
- Üçgen Eşitsizliği Kuralı: Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkından ise büyüktür.
- Üçüncü kenarın uzunluğuna \( x \) diyelim.
- Kurala göre: \( |12 - 7| < x < 12 + 7 \)
- Bu da \( 5 < x < 19 \) anlamına gelir.
- \( x \) bir tam sayı olacağından, alabileceği değerler \( 6, 7, 8, ..., 18 \) dir.
- Bu değerlerin toplamını bulmak için aritmetik dizi toplam formülünü kullanabiliriz: \( \text{Toplam} = \frac{n}{2} \times (\text{ilk terim} + \text{son terim}) \).
- Burada \( n \) (terim sayısı) \( 18 - 6 + 1 = 13 \) tür.
- Toplam = \( \frac{13}{2} \times (6 + 18) = \frac{13}{2} \times 24 = 13 \times 12 = 156 \) TL'dir. 💰
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde \( \hat{A} = 50^\circ \) ve \( \hat{B} = 70^\circ \) olarak verilmiştir. Bu üçgenin kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Çözüm:
- Kural: Bir üçgende, küçük açının karşısındaki kenar daha kısadır.
- Öncelikle \( \hat{C} \) açısını bulalım. Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) dir.
- \( \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^\circ \)
- \( 50^\circ + 70^\circ + \hat{C} = 180^\circ \)
- \( 120^\circ + \hat{C} = 180^\circ \)
- \( \hat{C} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)
- Açılarımız: \( \hat{A} = 50^\circ \), \( \hat{B} = 70^\circ \), \( \hat{C} = 60^\circ \).
- Açıları küçükten büyüğe sıralarsak: \( \hat{A} < \hat{C} < \hat{B} \) yani \( 50^\circ < 60^\circ < 70^\circ \).
- Bu açıların karşısındaki kenarlar da aynı sıralamayla kısa kalacaktır.
- \( \hat{A} \) karşısındaki kenar \( |BC| \), \( \hat{C} \) karşısındaki kenar \( |AB| \), \( \hat{B} \) karşısındaki kenar \( |AC| \).
- Dolayısıyla kenar sıralaması: \( |BC| < |AB| < |AC| \) şeklindedir. ✅
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 10 \) birim, \( |BC| = 15 \) birim ve \( |AC| = x \) birimdir. \( x \) tam sayı olduğuna göre, \( x \)'in alabileceği kaç farklı değer vardır?
Çözüm:
- Üçgen Eşitsizliği Kuralı: Bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın toplamından küçük ve farkından büyüktür.
- Üçüncü kenar \( x \) için eşitsizlikleri kuralım:
- \( |15 - 10| < x < 15 + 10 \)
- \( 5 < x < 25 \)
- \( x \) bir tam sayı olduğuna göre, alabileceği değerler \( 6, 7, 8, ..., 24 \) aralığındadır.
- Bu aralıktaki tam sayıların adedini bulmak için: \( \text{Değer Sayısı} = \text{Son Değer} - \text{İlk Değer} + 1 \)
- Değer Sayısı = \( 24 - 6 + 1 = 18 + 1 = 19 \)
- Yani \( x \) tam sayısı 19 farklı değer alabilir. 🔢
Örnek 5:
Bir inşaat mühendisi, iki farklı noktadan bir binanın tepesine olan açıları ölçüyor. A noktasından binanın tepesine olan uzaklık 20 metre ve açı 40 derecedir. B noktasından binanın tepesine olan uzaklık 30 metre ve açı 30 derecedir. A ve B noktaları arasındaki uzaklık 40 metre olduğuna göre, bu üçgenin kenar uzunluklarına göre açılarını büyükten küçüğe sıralayınız. (Bu soruda, verilen uzaklıklar ve açılar bir üçgen oluşturmaktadır.)
Çözüm:
- Kural: Üçgende büyük kenarın karşısındaki açı daha büyüktür.
- Üçgenimizin kenarları: \( a = 20 \) m, \( b = 30 \) m, \( c = 40 \) m.
- Kenar uzunluklarını büyükten küçüğe sıralayalım: \( 40 > 30 > 20 \).
- Bu kenarların karşısındaki açılar da aynı sıralamayla büyük olacaktır.
- En uzun kenar olan 40 m'nin karşısındaki açı en büyüktür.
- Ortanca kenar olan 30 m'nin karşısındaki açı ortanca büyüklüktedir.
- En kısa kenar olan 20 m'nin karşısındaki açı en küçüktür.
- Dolayısıyla, açıların büyükten küçüğe sıralaması şu şekildedir: En büyük Açı > Orta Açı > En Küçük Açı. 📐
Örnek 6:
Bir parkta bulunan üç ağaç, bir üçgen oluşturmaktadır. Birinci ağaçtan ikinci ağaca olan uzaklık 15 metre, ikinci ağaçtan üçüncü ağaca olan uzaklık 20 metredir. Üçüncü ağaçtan birinci ağaca olan uzaklık ise 25 metredir. Bu parktaki ağaçların konumlarını belirleyen üçgenin kenar uzunluklarına göre açılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Çözüm:
- Kural: Üçgende küçük kenarın karşısındaki açı daha küçüktür.
- Ağaçlar arasındaki uzaklıklar (kenar uzunlukları): 15 m, 20 m, 25 m.
- Kenar uzunluklarını küçükten büyüğe sıralayalım: \( 15 < 20 < 25 \).
- Bu kenarların karşısındaki açılar da aynı sıralamayla küçük olacaktır.
- En kısa kenar olan 15 m'nin karşısındaki açı en küçüktür.
- Ortanca kenar olan 20 m'nin karşısındaki açı ortanca büyüklüktedir.
- En uzun kenar olan 25 m'nin karşısındaki açı en büyüktür.
- Dolayısıyla, açıların küçükten büyüğe sıralaması şu şekildedir: En Küçük Açı < Orta Açı < En Büyük Açı. 🌳
Örnek 7:
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 6 \) cm, \( |BC| = 10 \) cm ve \( |AC| = 14 \) cm'dir. Bu üçgenin iç açılarını \( \hat{A}, \hat{B}, \hat{C} \) olarak adlandıralım. \( \hat{A} \) açısının dar açı mı, geniş açı mı yoksa dik açı mı olduğunu belirleyiniz.
Çözüm:
- Kural: Bir üçgende, bir açının dik olup olmadığını anlamak için Pisagor teoreminin bir genellemesi olan kosinüs teoremini kullanabiliriz (ancak 9. sınıf müfredatında bu genellikle kenar uzunlukları ilişkisiyle dolaylı yoldan kontrol edilir). Dar veya geniş açı olup olmadığını anlamak için en uzun kenarın karesini diğer iki kenarın kareleri toplamı ile karşılaştırırız.
- En uzun kenar \( |AC| = 14 \) cm'dir.
- Diğer iki kenar \( |AB| = 6 \) cm ve \( |BC| = 10 \) cm'dir.
- En uzun kenarın karesini hesaplayalım: \( |AC|^2 = 14^2 = 196 \).
- Diğer iki kenarın kareleri toplamını hesaplayalım: \( |AB|^2 + |BC|^2 = 6^2 + 10^2 = 36 + 100 = 136 \).
- Şimdi karşılaştıralım: \( |AC|^2 \) ile \( |AB|^2 + |BC|^2 \).
- \( 196 > 136 \) olduğundan, en uzun kenarın karşısındaki \( \hat{B} \) açısı geniş açıdır.
- Soruda \( \hat{A} \) açısı soruluyor. \( \hat{A} \) açısı \( |BC| \) kenarının karşısındadır ve \( |BC| \) en uzun kenar değildir.
- En uzun kenarın karşısındaki açı geniş açı ise, diğer iki açı dar açı olmak zorundadır.
- Dolayısıyla, \( \hat{A} \) açısı dar açıdır. 🧐
Örnek 8:
Bir gemi kaptanı, rotasını belirlemek için harita üzerinde üç limanı işaretliyor: Liman A, Liman B ve Liman C. Liman A'dan Liman B'ye olan mesafe 50 km, Liman B'den Liman C'ye olan mesafe 70 km'dir. Liman A'dan Liman C'ye olan mesafe ise 90 km'dir. Kaptan, Liman B'de iken Liman A'ya ve Liman C'ye olan açısal mesafeyi ölçüyor. Liman B'deki açısal mesafenin (yani \( \hat{B} \) açısının) dar açı, geniş açı veya dik açı olup olmadığını belirleyiniz.
Çözüm:
- Kural: Bir açının dik, dar veya geniş açı olduğunu belirlemek için en uzun kenarın karesini diğer iki kenarın kareleri toplamı ile karşılaştırırız.
- Üçgenimizin kenarları: \( |AB| = 50 \) km, \( |BC| = 70 \) km, \( |AC| = 90 \) km.
- En uzun kenar \( |AC| = 90 \) km'dir. Bu kenarın karşısındaki açı \( \hat{B} \) açısıdır.
- En uzun kenarın karesini hesaplayalım: \( |AC|^2 = 90^2 = 8100 \).
- Diğer iki kenarın kareleri toplamını hesaplayalım: \( |AB|^2 + |BC|^2 = 50^2 + 70^2 = 2500 + 4900 = 7400 \).
- Şimdi karşılaştıralım: \( |AC|^2 \) ile \( |AB|^2 + |BC|^2 \).
- \( 8100 > 7400 \) olduğundan, en uzun kenarın karşısındaki \( \hat{B} \) açısı geniştir.
- Yani Liman B'deki açısal mesafe geniştir. 🚢
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgende-aci-kenar-baglantilari/sorular