🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgende açı kenar bağıntısı Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgende açı kenar bağıntısı Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 7 \) cm, \( |BC| = 5 \) cm ve \( |AC| = 9 \) cm olarak verilmiştir. Bu üçgenin kenar uzunluklarına göre açıları arasındaki sıralamayı bulunuz. 💡
Çözüm:
Üçgende kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların büyüklükleri doğru orantılıdır. Yani, en uzun kenarın karşısındaki açı en büyüktür, en kısa kenarın karşısındaki açı ise en küçüktür. 📌
- Verilen kenar uzunlukları: \( |AC| = 9 \) cm, \( |AB| = 7 \) cm, \( |BC| = 5 \) cm.
- Kenar uzunluklarını büyükten küçüğe sıralayalım: \( 9 > 7 > 5 \).
- Bu kenarların karşısındaki açılara bakalım:
- \( |AC| = 9 \) cm kenarının karşısındaki açı \( \angle B \)'dir.
- \( |AB| = 7 \) cm kenarının karşısındaki açı \( \angle C \)'dir.
- \( |BC| = 5 \) cm kenarının karşısındaki açı \( \angle A \)'dır.
- Dolayısıyla, kenar uzunluklarının sıralamasına göre açıların sıralaması da aynı olacaktır: \( \angle B > \angle C > \angle A \). ✅
Örnek 2:
Bir üçgenin iç açıları \( 40^\circ \) ve \( 60^\circ \) olarak verilmiştir. Üçüncü açıyı bulunuz ve kenar uzunlukları arasındaki sıralamayı belirleyiniz. 🤔
Çözüm:
Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \)'dir. Kenar uzunlukları ile karşısındaki açıların büyüklükleri doğru orantılıdır. 📏
- Üçgenin iç açılarının toplamı: \( 180^\circ \).
- Verilen açılar: \( 40^\circ \) ve \( 60^\circ \).
- Üçüncü açıyı bulmak için: \( 180^\circ - (40^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).
- Üçgenin açıları: \( 40^\circ, 60^\circ, 80^\circ \).
- Açıları büyükten küçüğe sıralayalım: \( 80^\circ > 60^\circ > 40^\circ \).
- Bu açılara karşılık gelen kenarların sıralaması da aynı olacaktır:
- \( 80^\circ \) açısının karşısındaki kenar en uzundur.
- \( 60^\circ \) açısının karşısındaki kenar ortancadır.
- \( 40^\circ \) açısının karşısındaki kenar en kısadır.
- Kenar sıralaması: En uzun kenar > Orta kenar > En kısa kenar. 👉
Örnek 3:
Bir DEF üçgeninde \( |DE| = 10 \) cm, \( |EF| = 12 \) cm ve \( |DF| = x \) cm'dir. Bu üçgenin bir üçgen olabilmesi için \( x \)'in alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz. ➕
Çözüm:
Bir üçgenin kenar uzunlukları arasında üçgen eşitsizliği bağıntısı geçerlidir. Bu bağıntıya göre, herhangi bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkından ise büyüktür. 📐
- Üçgen eşitsizliği bağıntıları:
- \( |DE| + |EF| > |DF| \implies 10 + 12 > x \implies 22 > x \)
- \( |DE| + |DF| > |EF| \implies 10 + x > 12 \implies x > 12 - 10 \implies x > 2 \)
- \( |EF| + |DF| > |DE| \implies 12 + x > 10 \implies x > 10 - 12 \implies x > -2 \) (Bu koşul zaten \( x > 2 \) tarafından sağlanır.)
- Bu iki koşulu birleştirdiğimizde: \( 2 < x < 22 \).
- \( x \)'in alabileceği tam sayı değerleri 3'ten 21'e kadar olan tüm sayılardır. ✅
Örnek 4:
Bir GHI üçgeninde \( \angle G = 75^\circ \) ve \( \angle H = 45^\circ \)'dir. Kenar uzunlukları \( |GH| \), \( |HI| \) ve \( |GI| \) arasındaki doğru sıralamayı bulunuz. 🏆
Çözüm:
Öncelikle üçgenin üçüncü açısını bulmalıyız. Ardından kenar uzunlukları ile karşısındaki açıların büyüklükleri arasındaki ilişkiyi kullanacağız. 💡
- Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \)'dir.
- \( \angle I = 180^\circ - (\angle G + \angle H) = 180^\circ - (75^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
- Üçgenin açıları: \( \angle G = 75^\circ \), \( \angle H = 45^\circ \), \( \angle I = 60^\circ \).
- Açıları büyükten küçüğe sıralayalım: \( \angle G (75^\circ) > \angle I (60^\circ) > \angle H (45^\circ) \).
- Bu açılara karşılık gelen kenarların sıralaması da aynı olacaktır:
- \( \angle G \) açısının karşısındaki kenar \( |HI| \)'dir ve en uzundur.
- \( \angle I \) açısının karşısındaki kenar \( |GH| \)'dir ve ortancadır.
- \( \angle H \) açısının karşısındaki kenar \( |GI| \)'dir ve en kısadır.
- Dolayısıyla sıralama: \( |HI| > |GH| > |GI| \). 👉
Örnek 5:
Bir bisiklet tamircisi, farklı boyutlarda üç bisiklet kadrosu hazırlamıştır. Kadro A'nın kenar uzunlukları 50 cm, 60 cm ve 70 cm'dir. Kadro B'nin kenar uzunlukları 55 cm, 65 cm ve 75 cm'dir. Kadro C'nin kenar uzunlukları ise 50 cm, 70 cm ve 90 cm'dir. Hangi kadronun en geniş oturma açısına sahip olacağını (yani en büyük iç açıya sahip olacağını) belirleyiniz. 🚴
Çözüm:
En geniş oturma açısı, üçgenin en büyük iç açısına karşılık gelir. En büyük iç açı ise en uzun kenarın karşısındaki açıdır. Bu nedenle, her kadro için en uzun kenarı belirleyip, bu kenarın karşısındaki açının büyüklüğünü kıyaslayacağız. 🧐
- Kadro A: Kenar uzunlukları 50 cm, 60 cm, 70 cm. En uzun kenar 70 cm'dir.
- Kadro B: Kenar uzunlukları 55 cm, 65 cm, 75 cm. En uzun kenar 75 cm'dir.
- Kadro C: Kenar uzunlukları 50 cm, 70 cm, 90 cm. En uzun kenar 90 cm'dir.
- Karşılaştırma: Kadro C'nin en uzun kenarı (90 cm), diğer kadroların en uzun kenarlarından daha uzundur.
- Bu durum, Kadro C'nin en büyük iç açıya sahip olacağını gösterir. Dolayısıyla, Kadro C en geniş oturma açısına sahiptir. ✅
Örnek 6:
Bir bahçe düzenlemesi yapan kişi, üçgen şeklinde bir alan oluşturmak istiyor. Alanın bir kenarı 8 metre, diğer kenarı 15 metre olacak şekilde çizim yapıyor. Üçüncü kenarın uzunluğu en fazla kaç metre olabilir ki bu alan bir üçgen oluşturabilsin? 🌳
Çözüm:
Bu problem, üçgen eşitsizliği prensibini kullanır. Bir üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük olmalıdır. 📏
- Verilen kenar uzunlukları: 8 metre ve 15 metre.
- Üçüncü kenarın uzunluğuna \( x \) diyelim.
- Üçgen eşitsizliğine göre:
- \( 8 + 15 > x \implies 23 > x \)
- \( 8 + x > 15 \implies x > 15 - 8 \implies x > 7 \)
- \( 15 + x > 8 \) (Bu koşul zaten \( x > 7 \) tarafından sağlanır.)
- Bu iki koşulu birleştirdiğimizde \( 7 < x < 23 \) olur.
- Üçüncü kenarın uzunluğu en fazla 22 metre olabilir (tam sayı olarak). Eğer ondalıklı değerleri de düşünürsek, 23 metreden küçük herhangi bir değer olabilir. Soruda "en fazla kaç metre olabilir" dendiği için, 23'ten küçük en büyük değeri (virgülden sonraki kısmı dikkate alarak) düşünebiliriz. Ancak genellikle bu tür sorularda tam sayı değeri istenir. Eğer tam sayı isteniyorsa cevap 22'dir. Eğer ondalıklı değerler de kabul ediliyorsa, 23'e çok yakın bir değer olabilir. Sorunun bağlamına göre, 23 metreden küçük olması gerektiğini vurgulamak önemlidir. 📌
Örnek 7:
Bir KLM üçgeninde \( |KL| = 5 \) birim, \( |LM| = 7 \) birim ve \( |KM| = 8 \) birimdir. Bu üçgenin en küçük iç açısının ölçüsünün hangi açığa karşılık geldiğini ve bu açının hangi kenarın karşısında olduğunu bulunuz. 🧐
Çözüm:
Bir üçgenin en küçük iç açısı, en kısa kenarın karşısındaki açıdır. Bu nedenle, öncelikle üçgenin kenar uzunluklarını sıralamalıyız. 📏
- Verilen kenar uzunlukları: \( |KL| = 5 \), \( |LM| = 7 \), \( |KM| = 8 \).
- Kenar uzunluklarını küçükten büyüğe sıralayalım: \( 5 < 7 < 8 \).
- Bu sıralamaya göre en kısa kenar \( |KL| = 5 \) birimdir.
- En kısa kenarın karşısındaki açı en küçük açıdır. \( |KL| \) kenarının karşısındaki açı \( \angle M \)'dir.
- Dolayısıyla, en küçük iç açı \( \angle M \)'dir ve bu açı en kısa kenar olan \( |KL| \) kenarının karşısındadır. ✅
Örnek 8:
Bir PQR üçgeninde \( |PQ| = 10 \) cm, \( |QR| = 12 \) cm ve \( |PR| = 14 \) cm'dir. Bu üçgenin açıları arasındaki sıralamayı büyükten küçüğe doğru yapınız. 📈
Çözüm:
Üçgende kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların büyüklükleri doğru orantılıdır. En uzun kenarın karşısındaki açı en büyüktür, en kısa kenarın karşısındaki açı ise en küçüktür. 💡
- Verilen kenar uzunlukları: \( |PQ| = 10 \) cm, \( |QR| = 12 \) cm, \( |PR| = 14 \) cm.
- Kenar uzunluklarını büyükten küçüğe sıralayalım: \( |PR| (14) > |QR| (12) > |PQ| (10) \).
- Bu kenarların karşısındaki açılara bakalım:
- \( |PR| = 14 \) cm kenarının karşısındaki açı \( \angle Q \)'dur.
- \( |QR| = 12 \) cm kenarının karşısındaki açı \( \angle P \)'dir.
- \( |PQ| = 10 \) cm kenarının karşısındaki açı \( \angle R \)'dir.
- Dolayısıyla, kenar uzunluklarının sıralamasına göre açıların sıralaması da aynı olacaktır: \( \angle Q > \angle P > \angle R \). 👉
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgende-aci-kenar-bagintisi/sorular