💡 9. Sınıf Matematik: Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları Çözümlü Örnekler

Bu soruda üçgenin iç açıları ile kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi kullanacağız. 💡

• Öncelikle üçgenin üçüncü açısı olan C açısının ölçüsünü bulalım. Bir üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğu için: \[ C = 180^\circ - (A + B) \] \[ C = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) \] \[ C = 180^\circ - 120^\circ \] \[ C = 60^\circ \]
• Şimdi üçgenin tüm açılarını biliyoruz:
  • \( A = 70^\circ \)
  • \( B = 50^\circ \)
  • \( C = 60^\circ \)
• Üçgende Açı-Kenar Bağıntısı kuralına göre, büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur. ✅
• Açıları küçükten büyüğe sıralayalım: \( B < C < A \) yani \( 50^\circ < 60^\circ < 70^\circ \).
• Bu açıların karşısındaki kenarlar da aynı sıralamayı takip eder:
  • B açısının karşısındaki kenar b (AC kenarı)
  • C açısının karşısındaki kenar c (AB kenarı)
  • A açısının karşısındaki kenar a (BC kenarı)
• Dolayısıyla kenarların sıralaması küçükten büyüğe şu şekildedir: \( b < c < a \). ✨

Bu soruda kenar uzunlukları verildiğinde açıların nasıl sıralanacağını bulacağız. 📌

• Verilen kenar uzunlukları:
  • KL (m kenarı) = 8 cm
  • LM (k kenarı) = 10 cm
  • KM (l kenarı) = 7 cm
• Üçgende Açı-Kenar Bağıntısı kuralına göre, küçük kenarın karşısında küçük açı, büyük kenarın karşısında büyük açı bulunur. 👉
• Kenar uzunluklarını küçükten büyüğe sıralayalım: \( KM < KL < LM \) yani \( 7 < 8 < 10 \).
• Bu kenarların karşısındaki açılar da aynı sıralamayı takip eder:
  • KM kenarının karşısındaki açı L açısı
  • KL kenarının karşısındaki açı M açısı
  • LM kenarının karşısındaki açı K açısı
• Dolayısıyla açıların sıralaması küçükten büyüğe şu şekildedir: \( L < M < K \). ✅

Bu soruda Üçgen Eşitsizliği kuralını kullanacağız. 💡

• Üçgen Eşitsizliği kuralına göre, bir üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğu, diğer iki kenarının uzunluklarının farkının mutlak değerinden büyük, toplamından ise küçük olmalıdır.
• Verilen kenar uzunlukları DE = 12 cm ve EF = 7 cm'dir. DF kenarı x olduğuna göre, eşitsizliği yazalım: \[ |DE - EF| < x < DE + EF \] \[ |12 - 7| < x < 12 + 7 \] \[ 5 < x < 19 \]
• Bu eşitsizliğe göre x'in alabileceği tam sayı değerleri 6, 7, 8, ..., 18'dir. ✅
• x'in alabileceği değerler toplamını bulmak için bu sayıları toplamalıyız. Bu bir ardışık sayılar toplamıdır:
  • Terim sayısı = Son terim - İlk terim + 1 = \( 18 - 6 + 1 = 13 \)
  • Toplam = (İlk terim + Son terim) * Terim sayısı / 2
  • Toplam = \( (6 + 18) \times 13 / 2 \)
  • Toplam = \( 24 \times 13 / 2 \)
  • Toplam = \( 12 \times 13 \)
  • Toplam = \( 156 \)
• x'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 156'dır. ✨

Bu soruda hem Üçgen Eşitsizliği hem de geniş açılı üçgenlerde kenar bağıntısını kullanacağız. 💡

• Öncelikle Üçgen Eşitsizliğini uygulayalım: \[ |AC - AB| < x < AC + AB \] \[ |10 - 6| < x < 10 + 6 \] \[ 4 < x < 16 \] Bu durumda x'in alabileceği tam sayı değerleri \( 5, 6, ..., 15 \) olur.
• Şimdi B açısının \( 90^\circ \) den büyük olma koşulunu değerlendirelim. Bir üçgende geniş açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyüktür. Bu kural 9. sınıfta Pisagor bağıntısı ile birlikte işlenir. 📌
  • Eğer \( B = 90^\circ \) olsaydı, Pisagor Teoremi'ne göre \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \) olurdu.
  • Yani \( 10^2 = 6^2 + x^2 \) olurdu.
  • \( 100 = 36 + x^2 \)
  • \( x^2 = 64 \)
  • \( x = 8 \)
• Ancak B açısı \( 90^\circ \) den büyük olduğu için, B açısının karşısındaki kenar olan AC'nin karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından daha büyük olmalıdır: \[ AC^2 > AB^2 + BC^2 \] \[ 10^2 > 6^2 + x^2 \] \[ 100 > 36 + x^2 \] \[ 64 > x^2 \] Bu durumda x'in karesi 64'ten küçük olmalıdır. x bir kenar uzunluğu olduğu için pozitif olmalı, yani \( 0 < x < 8 \) olmalıdır. ✅
• Her iki koşulu birleştirmeliyiz:
  • Üçgen Eşitsizliğinden: \( 4 < x < 16 \)
  • Geniş açı koşulundan: \( 0 < x < 8 \)
• Bu iki aralığın kesişimini alırsak: \( 4 < x < 8 \).
• x'in alabileceği tam sayı değerleri 5, 6, 7'dir.
• Dolayısıyla x'in alabileceği 3 farklı değer vardır. ✨

Bu soruda iki farklı üçgendeki açı-kenar bağıntılarını ayrı ayrı uygulayacak ve ortak kenar (AC) üzerinden sıralamayı birleştireceğiz. 💡

• Önce ABC üçgenini inceleyelim:
  • Açıları: \( A=60^\circ \), \( B=70^\circ \).
  • C açısını bulalım: \( C = 180^\circ - (60^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \).
  • Açıları küçükten büyüğe sıralayalım: \( C < A < B \) yani \( 50^\circ < 60^\circ < 70^\circ \).
  • Bu açıların karşısındaki kenarları sıralayalım: \( AB < BC < AC \). (A açısının karşısı BC, B açısının karşısı AC, C açısının karşısı AB)
• Şimdi ACD üçgenini inceleyelim:
  • Açıları: \( C=80^\circ \), \( D=50^\circ \). (Buradaki C açısı, ACD açısıdır.)
  • A açısını (CAD) bulalım: \( A = 180^\circ - (80^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \).
  • Açıları küçükten büyüğe sıralayalım: \( A = D < C \) yani \( 50^\circ = 50^\circ < 80^\circ \).
  • Bu açıların karşısındaki kenarları sıralayalım: \( CD = AC < AD \). (A açısının karşısı CD, D açısının karşısı AC, C açısının karşısı AD)
• Her iki üçgenden elde ettiğimiz sıralamaları birleştirelim:
  • ABC üçgeninden: \( AB < BC < AC \)
  • ACD üçgeninden: \( CD = AC < AD \)
• Gördüğümüz gibi, AC kenarı her iki sıralamada da ortak bir referans noktasıdır.
• Birleştirdiğimizde genel sıralama şöyle olur: \( AB < BC < AC = CD < AD \). ✅

Bu yeni nesil problemde hem üçgen eşitsizliği hem de dar açılı üçgen koşulunu kullanmalıyız. 💡

• 1. Adım: Üçgen Eşitsizliğini Uygulayalım.
  • Üçgenin kenarları 5 metre, 8 metre ve x metredir.
  • \[ |8 - 5| < x < 8 + 5 \]
  • \[ 3 < x < 13 \]
  • Bu eşitsizliğe göre x'in alabileceği tam sayı değerleri \( 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 \) olur.
• 2. Adım: Dar Açı Koşulunu Uygulayalım.
  • 5 metrelik çubuk ile 8 metrelik çubuk arasındaki açı \( 90^\circ \) den küçüktür.
  • Dar açılı üçgenlerde, dar açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından küçüktür.
  • Eğer bu açıya \( \alpha \) dersek ve \( \alpha < 90^\circ \) ise, \( \alpha \)'nın karşısındaki kenar x olduğundan:
  • \[ x^2 < 5^2 + 8^2 \]
  • \[ x^2 < 25 + 64 \]
  • \[ x^2 < 89 \]
• 3. Adım: Her İki Koşulu Birleştirelim.
  • Üçgen Eşitsizliğinden: \( 3 < x < 13 \)
  • Dar açı koşulundan: \( x^2 < 89 \). Bu da yaklaşık olarak \( x < \sqrt{89} \).
  • \( \sqrt{81} = 9 \) ve \( \sqrt{100} = 10 \) olduğu için, \( \sqrt{89} \) yaklaşık olarak 9.4 civarındadır.
  • Yani \( x < 9.4... \) olmalıdır. x bir tam sayı olduğu için \( x \le 9 \) olmalıdır. ✅
• İki koşulun kesişimini alırsak: \( 3 < x \le 9 \).
• x'in alabileceği tam sayı değerleri 4, 5, 6, 7, 8, 9'dur.
• Dolayısıyla x'in alabileceği 6 farklı tam sayı değeri vardır. ✨

Bu günlük hayat probleminde, açı-kenar bağıntısı ve üçgen eşitsizliğini kullanarak en uygun değeri bulacağız. 💡

• 1. Adım: Üçgen Eşitsizliğini Uygulayalım.
  • Üçgenin kenarları 15 metre, 20 metre ve x metredir.
  • \[ |20 - 15| < x < 20 + 15 \]
  • \[ 5 < x < 35 \]
  • Bu eşitsizliğe göre x'in alabileceği tam sayı değerleri \( 6, 7, ..., 34 \) aralığındadır.
• 2. Adım: Mimarın Koşulunu Değerlendirelim.
  • Mimar, 15 metrelik kirişin karşısındaki açının en büyük açı olmasını istemiyor.
  • Açı-kenar bağıntısına göre, en büyük açının karşısında en uzun kenar bulunur.
  • Eğer 15 metrelik kirişin karşısındaki açı en büyük açı olmayacaksa, 15 metrelik kiriş de en uzun kenar olamaz.
  • Yani, üçgenin en uzun kenarı 15 metreden büyük olmalıdır.
  • Bu durumda, 20 metre veya x metre, 15 metreden daha uzun olmalıdır.
  • 20 metre zaten 15 metreden uzundur. Dolayısıyla, x kenarı da 15 metreden büyük olmalıdır (\( x > 15 \)). ✅
• 3. Adım: Her İki Koşulu Birleştirelim.
  • Üçgen Eşitsizliğinden: \( 5 < x < 35 \)
  • Mimarın koşulundan: \( x > 15 \)
• Bu iki koşulun kesişimini alırsak: \( 15 < x < 35 \).
• x'in alabileceği tam sayı değerleri \( 16, 17, ..., 34 \) aralığındadır.
• Mimarın istediği koşulları sağlayan x'in alabileceği en küçük tam sayı değeri 16'dır. ✨

Bu soruda hem üçgen eşitsizliğini hem de kenar uzunluklarının pozitif olma koşulunu göz önünde bulundurmalıyız. 💡

• 1. Adım: Kenar Uzunlukları Pozitif Olmalıdır.
  • Kenar uzunlukları pozitif olmak zorundadır:
    • \( 2x-1 > 0 \implies 2x > 1 \implies x > 1/2 \)
    • \( x+3 > 0 \implies x > -3 \)
    • \( 2x+1 > 0 \implies 2x > -1 \implies x > -1/2 \)
  • Bu üç eşitsizliğin kesişimi \( x > 1/2 \)'dir.
• 2. Adım: Üçgen Eşitsizliğini Uygulayalım.
  • Her bir kenar, diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçüktür. En uzun kenarın \( 2x+1 \) olduğu varsayımıyla (çünkü \( 2x+1 \) > \( 2x-1 \) ve \( 2x+1 \) > \( x+3 \) (eğer \( x > -2 \) ise)), bu kenara göre eşitsizliği yazalım: \[ |(2x-1) - (x+3)| < 2x+1 < (2x-1) + (x+3) \] Önce sağ tarafı inceleyelim: \[ 2x+1 < 3x+2 \] \[ -1 < x \] Şimdi sol tarafı inceleyelim: \[ |x-4| < 2x+1 \] Bu eşitsizliği iki durum için çözmeliyiz:
    • Durum 1: \( x-4 \ge 0 \implies x \ge 4 \). Bu durumda \( x-4 < 2x+1 \implies -5 < x \).
    • Durum 2: \( x-4 < 0 \implies x < 4 \). Bu durumda \( -(x-4) < 2x+1 \implies -x+4 < 2x+1 \implies 3 < 3x \implies 1 < x \).
  • Her iki durumdan ve \( x > 1/2 \) koşulundan genel olarak \( x > 1 \) sonucunu elde ederiz.
• 3. Adım: Çevre Koşulunu Uygulayalım.
  • Üçgenin çevresi, kenar uzunluklarının toplamıdır: \[ Çevre = (2x-1) + (x+3) + (2x+1) \] \[ Çevre = 5x + 3 \]
  • Çevrenin en az 20 cm olduğu verilmiş: \[ 5x + 3 \ge 20 \] \[ 5x \ge 17 \] \[ x \ge \frac{17}{5} \] \[ x \ge 3.4 \]
• 4. Adım: Tüm Koşulları Birleştirelim.
  • \( x > 1/2 \)
  • \( x > 1 \) (Üçgen Eşitsizliğinden)
  • \( x \ge 3.4 \) (Çevre koşulundan)
• Tüm bu koşulları sağlayan x'in en küçük tam sayı değeri 4'tür. ✅

Bu problemde, iki farklı üçgen için ayrı ayrı üçgen eşitsizliği ve geniş açı koşulunu uygulayarak BD köşegeninin aralığını bulacağız. 💡

• 1. Adım: ABC üçgenini inceleyelim.
  • Kenarlar: AB = 7, BC = 9, AC = y diyelim.
  • Üçgen Eşitsizliği: \[ |9 - 7| < y < 9 + 7 \] \[ 2 < y < 16 \]
  • Açı-kenar bağıntısından, 7'nin karşısı 40 derece ise, 9'un karşısındaki A açısı (BAC) ve y'nin karşısındaki B açısı (ABC) hakkında yorum yapabiliriz. Ancak bu üçgen için B açısının veya A açısının 90 dereceden büyük olup olmadığı bilgisi verilmemiş, sadece \( 40^\circ \) verilmiş. Bu durumda sadece temel üçgen eşitsizliğini kullanmak yeterlidir.
• 2. Adım: ADC üçgenini inceleyelim.
  • Kenarlar: AD = 12, CD = 5, AC = y diyelim.
  • Üçgen Eşitsizliği: \[ |12 - 5| < y < 12 + 5 \] \[ 7 < y < 17 \]
  • Ek olarak, D açısı (ADC) \( 100^\circ \) verilmiş. Bu, D açısının geniş açı olduğu anlamına gelir.
  • Geniş açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyüktür (9. sınıf bilgisi dahilindedir). \[ y^2 > AD^2 + CD^2 \] \[ y^2 > 12^2 + 5^2 \] \[ y^2 > 144 + 25 \] \[ y^2 > 169 \] \[ y > \sqrt{169} \] \[ y > 13 \]
  • ADC üçgeni için y'nin aralığı:
    • Üçgen Eşitsizliğinden: \( 7 < y < 17 \)
    • Geniş açı koşulundan: \( y > 13 \)
  • Bu iki koşulun kesişimi: \( 13 < y < 17 \).
• 3. Adım: Her iki üçgenin AC kenarı için bulduğumuz aralıkları birleştirelim.
  • ABC üçgeninden: \( 2 < y < 16 \)
  • ADC üçgeninden: \( 13 < y < 17 \)
• Bu iki aralığın kesişimi, AC kenarı y için geçerli olan aralığı verir: \[ max(2, 13) < y < min(16, 17) \] \[ 13 < y < 16 \]
• y'nin alabileceği tam sayı değerleri 14, 15'tir. Yani AC köşegeninin uzunluğu 14 cm veya 15 cm olabilir. 📌

Bu soru BD köşegeninin uzunluğunu sorduğu için, sorunun metninde AC köşegeninin değil, BD köşegeninin sorulduğu varsayılmaktadır. Soruyu, BD köşegenini soracak şekilde yeniden yorumlayalım. Eğer soruda AC köşegeninin uzunluğu x olarak verilmiş olsaydı, cevap 2 farklı değer olurdu. Ancak BD köşegenini sorduğu için, bu bilgi eksikliği nedeniyle 9. sınıf müfredatına uygun şekilde çözmek zordur.

Düzeltme: Soruda BD köşegeninin uzunluğu (x) istenmiş. Ancak verilen açılar ve kenarlar AC köşegenini ilgilendiriyor. Bu durumda BD köşegenini doğrudan bulmak için yeterli bilgi yok. 9. sınıf müfredatında kosinüs teoremi veya daha ileri düzey bağıntılar bulunmadığı için BD'yi doğrudan hesaplayamayız.

Bu tür bir soruda genellikle ortak bir kenar üzerinden sıralama veya aralık bulma beklenir. Eğer soru AC köşegenini sorsaydı yukarıdaki çözüm doğru olurdu.

Varsayım: Sorunun aslında AC köşegenini sorduğu ve bir yazım hatası olduğu varsayımıyla devam edelim, aksi takdirde 9. sınıf müfredatı dışına çıkmak gerekir. Eğer BD'yi sorsaydı, ya BD'yi içeren üçgenlerin açıları verilirdi ya da daha ileri düzey teoremler gerekirdi.

Eğer soru AC köşegenini (y) sorsaydı:
AC kenarının alabileceği tam sayı değerleri 14 ve 15 olmak üzere 2 farklı değer olurdu.

Eğer soru BD köşegenini (x) sormaya devam ediyorsa, bu soru 9. sınıf müfredatının ötesindedir. 9. sınıf seviyesinde BD'nin aralığını sadece bu bilgilerle bulmak mümkün değildir.

Bu durumda, soruyu 9. sınıf müfredatına uygun hale getirmek için AC köşegeninin uzunluğunu soran bir soru olarak kabul ediyorum. Aksi takdirde, 9. sınıf seviyesinde bir çözüm sunulamayacaktır. Varsayılan Soru: "AC köşegeninin uzunluğu (x) bir tam sayı olduğuna göre, x'in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?" Çözümün Devamı:

• Yukarıdaki adımlarda AC köşegeninin (y) aralığını \( 13 < y < 16 \) olarak bulmuştuk.
• Bu aralıktaki tam sayı değerleri 14 ve 15'tir.
• Dolayısıyla, x (yani AC)in alabileceği 2 farklı tam sayı değeri vardır. ✅