🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgende Açı, Benzerlik Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgende Açı, Benzerlik Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde A açısının ölçüsü \( 70^\circ \), B açısının ölçüsü \( 60^\circ \) ise C açısının ölçüsü kaç derecedir? 🤔
Çözüm:
Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \)dir. Bu temel kuralı kullanarak C açısını bulabiliriz. 💡
- 👉 Verilenler:
- A açısı \( = 70^\circ \)
- B açısı \( = 60^\circ \)
- 👉 İstenen: C açısının ölçüsü
- 👉 Çözüm Adımları:
- Üçgenin iç açıları toplamı formülünü yazalım:
\( m(\angle A) + m(\angle B) + m(\angle C) = 180^\circ \) - Verilen açı değerlerini formülde yerine koyalım:
\( 70^\circ + 60^\circ + m(\angle C) = 180^\circ \) - Bilinen açıları toplayalım:
\( 130^\circ + m(\angle C) = 180^\circ \) - C açısını bulmak için \( 130^\circ \)'yi eşitliğin diğer tarafına atalım:
\( m(\angle C) = 180^\circ - 130^\circ \) - Sonucu hesaplayalım:
\( m(\angle C) = 50^\circ \) - ✅ Cevap: C açısının ölçüsü \( 50^\circ \)dir.
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde A açısının ölçüsü \( 85^\circ \) ve B açısının ölçüsü \( 45^\circ \)dir. Buna göre, C köşesindeki dış açının ölçüsü kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Bir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir. Bu kuralı kullanarak C dış açısını kolayca bulabiliriz. 📌
- 👉 Verilenler:
- A açısı \( = 85^\circ \)
- B açısı \( = 45^\circ \)
- 👉 İstenen: C köşesindeki dış açının ölçüsü
- 👉 Çözüm Adımları:
- C köşesindeki dış açı, kendisine komşu olmayan A ve B iç açılarının toplamına eşittir.
\( \text{Dış Açı (C)} = m(\angle A) + m(\angle B) \) - Verilen açı değerlerini formülde yerine koyalım:
\( \text{Dış Açı (C)} = 85^\circ + 45^\circ \) - Sonucu hesaplayalım:
\( \text{Dış Açı (C)} = 130^\circ \) - Alternatif olarak, önce C iç açısını bulup sonra \( 180^\circ \)'den çıkarabilirdik:
- \( m(\angle C) = 180^\circ - (85^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \)
- Dış açı \( = 180^\circ - m(\angle C) = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \)
- ✅ Cevap: C köşesindeki dış açının ölçüsü \( 130^\circ \)dir.
Örnek 3:
Bir ABC ikizkenar üçgeninde AB kenarının uzunluğu AC kenarının uzunluğuna eşittir (\( |AB| = |AC| \)). A açısının ölçüsü \( 40^\circ \) olduğuna göre, B ve C açılarının ölçüleri kaç derecedir? 🧐
Çözüm:
İkizkenar üçgende, eşit kenarların karşısındaki açılar da birbirine eşittir. Bu bilgi, soruyu çözmek için anahtarımızdır! 🔑
- 👉 Verilenler:
- Üçgen ABC ikizkenar, \( |AB| = |AC| \)
- A açısı \( = 40^\circ \)
- 👉 İstenen: B ve C açılarının ölçüleri
- 👉 Çözüm Adımları:
- \( |AB| = |AC| \) olduğu için, bu kenarların karşısındaki açılar olan C ve B açıları birbirine eşittir. Yani \( m(\angle B) = m(\angle C) \)dir.
- Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğu için:
\( m(\angle A) + m(\angle B) + m(\angle C) = 180^\circ \) - \( m(\angle C) \) yerine \( m(\angle B) \) yazarak denklemi düzenleyelim:
\( 40^\circ + m(\angle B) + m(\angle B) = 180^\circ \) - Denklemi basitleştirelim:
\( 40^\circ + 2 \cdot m(\angle B) = 180^\circ \) - \( 40^\circ \)'yi eşitliğin diğer tarafına atalım:
\( 2 \cdot m(\angle B) = 180^\circ - 40^\circ \) - Çıkarmayı yapalım:
\( 2 \cdot m(\angle B) = 140^\circ \) - Her iki tarafı 2'ye bölerek B açısını bulalım:
\( m(\angle B) = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ \) - B açısı C açısına eşit olduğu için:
\( m(\angle C) = 70^\circ \) - ✅ Cevap: B açısı \( 70^\circ \), C açısı \( 70^\circ \)dir.
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde AD doğru parçası A açısının açıortayıdır ve BC kenarına D noktasında değmektedir. Eğer \( m(\angle B) = 50^\circ \) ve \( m(\angle C) = 70^\circ \) ise, \( m(\angle ADB) \) kaç derecedir? 💡 (Şekli gözünde canlandır: A tepede, BC tabanda, AD A'dan BC'ye inen çizgi)
Çözüm:
Açıortay, bir açıyı iki eşit parçaya bölen doğru parçasıdır. Bu tanımı ve üçgenin iç açıları toplamını kullanarak soruyu çözebiliriz. 🧠
- 👉 Verilenler:
- ABC üçgeni
- AD, A açısının açıortayı
- \( m(\angle B) = 50^\circ \)
- \( m(\angle C) = 70^\circ \)
- 👉 İstenen: \( m(\angle ADB) \)
- 👉 Çözüm Adımları:
- Öncelikle ABC üçgeninin A açısının tamamını bulalım:
\( m(\angle A) + m(\angle B) + m(\angle C) = 180^\circ \)
\( m(\angle A) + 50^\circ + 70^\circ = 180^\circ \)
\( m(\angle A) + 120^\circ = 180^\circ \)
\( m(\angle A) = 60^\circ \) - AD, A açısının açıortayı olduğu için A açısını iki eşit parçaya böler. Yani \( m(\angle BAD) = m(\angle CAD) = \frac{m(\angle A)}{2} \)dir.
\( m(\angle BAD) = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \) - Şimdi ABD üçgenine odaklanalım. Bu üçgenin iç açıları toplamı da \( 180^\circ \)dir.
\( m(\angle BAD) + m(\angle B) + m(\angle ADB) = 180^\circ \) - Bilinen değerleri yerine koyalım:
\( 30^\circ + 50^\circ + m(\angle ADB) = 180^\circ \) - Toplama işlemini yapalım:
\( 80^\circ + m(\angle ADB) = 180^\circ \) - \( m(\angle ADB) \)'yi yalnız bırakalım:
\( m(\angle ADB) = 180^\circ - 80^\circ \) - Sonucu hesaplayalım:
\( m(\angle ADB) = 100^\circ \) - ✅ Cevap: \( m(\angle ADB) = 100^\circ \)dir.
Örnek 5:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni benzerdir (\( \triangle ABC \sim \triangle DEF \)). Eğer \( m(\angle A) = 65^\circ \) ve \( m(\angle B) = 50^\circ \) ise, \( m(\angle D) \) ve \( m(\angle E) \) açıları kaç derecedir? 👯♀️
Çözüm:
Benzer üçgenlerde karşılıklı açılar eşittir. Bu, benzerlik kavramının temelidir! 🌟
- 👉 Verilenler:
- \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \)
- \( m(\angle A) = 65^\circ \)
- \( m(\angle B) = 50^\circ \)
- 👉 İstenen: \( m(\angle D) \) ve \( m(\angle E) \)
- 👉 Çözüm Adımları:
- Benzer üçgenlerde karşılıklı köşelerdeki açılar eşittir. Bu durumda:
- A köşesi D köşesine karşılık gelir, bu yüzden \( m(\angle D) = m(\angle A) \)dir.
- B köşesi E köşesine karşılık gelir, bu yüzden \( m(\angle E) = m(\angle B) \)dir.
- C köşesi F köşesine karşılık gelir, bu yüzden \( m(\angle F) = m(\angle C) \)dir.
- \( m(\angle D) \)'yi bulalım:
\( m(\angle D) = m(\angle A) = 65^\circ \) - \( m(\angle E) \)'yi bulalım:
\( m(\angle E) = m(\angle B) = 50^\circ \) - Ek olarak, C ve F açılarını da bulabiliriz:
\( m(\angle C) = 180^\circ - (m(\angle A) + m(\angle B)) = 180^\circ - (65^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ \)
Bu durumda \( m(\angle F) = 65^\circ \) olur. - ✅ Cevap: \( m(\angle D) = 65^\circ \) ve \( m(\angle E) = 50^\circ \)dir.
Örnek 6:
Bir ABC üçgeninde AB kenarı 6 cm, BC kenarı 9 cm ve B açısı \( 70^\circ \)dir. Bir DEF üçgeninde DE kenarı 12 cm, EF kenarı 18 cm ve E açısı \( 70^\circ \)dir. Bu iki üçgen benzer midir? Benzerlerse benzerlik oranı kaçtır? 📏
Çözüm:
İki üçgenin benzer olabilmesi için çeşitli kriterler vardır. Burada Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Teoremini kullanabiliriz: İki üçgenin karşılıklı iki kenarının uzunlukları oranı eşit ve bu kenarlar arasındaki açılar eşitse, bu üçgenler benzerdir. 🧐
- 👉 Verilenler:
- \( \triangle ABC \): \( |AB| = 6 \text{ cm} \), \( |BC| = 9 \text{ cm} \), \( m(\angle B) = 70^\circ \)
- \( \triangle DEF \): \( |DE| = 12 \text{ cm} \), \( |EF| = 18 \text{ cm} \), \( m(\angle E) = 70^\circ \)
- 👉 İstenen: Üçgenler benzer mi? Benzerlik oranı nedir?
- 👉 Çözüm Adımları:
- Öncelikle, iki üçgenin verilen açılarının eşit olup olmadığını kontrol edelim:
\( m(\angle B) = 70^\circ \) ve \( m(\angle E) = 70^\circ \). Açılar eşit, bu KAK benzerliği için ilk şartı sağlar. ✅ - Şimdi bu eşit açının kolları olan kenarların oranlarına bakalım. AB kenarı ile DE kenarı ve BC kenarı ile EF kenarı arasındaki oranları inceleyelim:
- Birinci kenar oranı: \( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \)
- İkinci kenar oranı: \( \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} \)
- Kenar oranları birbirine eşit çıktı (\( \frac{1}{2} \)). Bu da KAK benzerliği için ikinci şartı sağlar. ✅
- Hem açılar eşit hem de bu açıları oluşturan kenarların oranları eşit olduğu için, bu iki üçgen benzerdir.
- Benzerlik oranı, bulduğumuz kenar oranına eşittir.
- ✅ Cevap: Evet, \( \triangle ABC \) ve \( \triangle DEF \) üçgenleri KAK benzerlik teoremine göre benzerdir (\( \triangle ABC \sim \triangle DEF \)). Benzerlik oranı \( \frac{1}{2} \)dir.
Örnek 7:
Yere dik duran 3 metre boyundaki bir direğin gölge boyu 4 metredir. Aynı anda, direkten belirli bir mesafede duran ve direğe paralel 1.5 metre boyundaki bir çubuğun gölge boyu kaç metredir? (Güneş ışınlarının yere paralel geldiği varsayılacaktır.) ☀️
Çözüm:
Bu tür sorular, benzer üçgenlerin günlük hayattaki en güzel uygulamalarından biridir. Güneş ışınları yere paralel geldiği için oluşan üçgenler benzer olacaktır. 💡
- 👉 Verilenler:
- Direğin boyu \( = 3 \text{ m} \)
- Direğin gölge boyu \( = 4 \text{ m} \)
- Çubuğun boyu \( = 1.5 \text{ m} \)
- 👉 İstenen: Çubuğun gölge boyu
- 👉 Çözüm Adımları:
- Direk ve gölgesi ile yer arasında bir dik üçgen oluşur. Çubuk ve gölgesi ile yer arasında da başka bir dik üçgen oluşur.
- Güneş ışınları aynı açıyla geldiği için, bu iki dik üçgenin taban açıları (gölgenin yerle yaptığı açı) eşittir. Ayrıca, hem direk hem de çubuk yere dik olduğu için tepe açıları da eşittir (90 derece). Bu durumda, Açı-Açı (AA) Benzerlik Teoremine göre bu iki üçgen benzerdir.
- Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir (benzerlik oranı).
- Direğin boyunun çubuğun boyuna oranı, direğin gölge boyunun çubuğun gölge boyuna oranına eşit olacaktır.
- Denklemi kuralım:
\( \frac{\text{Direğin Boyu}}{\text{Çubuğun Boyu}} = \frac{\text{Direğin Gölge Boyu}}{\text{Çubuğun Gölge Boyu}} \) - Verilen değerleri yerine koyalım ve çubuğun gölge boyunu \( x \) ile gösterelim:
\( \frac{3}{1.5} = \frac{4}{x} \) - Oranı basitleştirelim:
\( \frac{3}{1.5} = 2 \) - Denklem şu hale gelir:
\( 2 = \frac{4}{x} \) - İçler dışlar çarpımı yaparak \( x \)'i bulalım:
\( 2 \cdot x = 4 \)
\( x = \frac{4}{2} \)
\( x = 2 \text{ m} \) - ✅ Cevap: Çubuğun gölge boyu 2 metredir.
Örnek 8:
Bir mimar, yapacağı binanın maketini tasarlıyor. Binanın gerçek yüksekliği 40 metre olacak. Mimar, maketi \( \frac{1}{200} \) ölçek kullanarak yapıyor. Buna göre, maket binanın yüksekliği kaç santimetre olmalıdır? 🏢
Çözüm:
Ölçek, benzerlik oranının günlük hayattaki en yaygın kullanım alanlarından biridir. Maketler, haritalar ve çizimler hep benzerlik prensibine göre yapılır. 📏
- 👉 Verilenler:
- Gerçek binanın yüksekliği \( = 40 \text{ metre} \)
- Ölçek (benzerlik oranı) \( = \frac{1}{200} \)
- 👉 İstenen: Maket binanın yüksekliği (santimetre cinsinden)
- 👉 Çözüm Adımları:
- Ölçek, maket üzerindeki bir uzunluğun gerçekteki karşılığına oranıdır. Yani:
\( \text{Ölçek} = \frac{\text{Maket Uzunluğu}}{\text{Gerçek Uzunluk}} \) - İlk olarak, gerçek yüksekliği maket yüksekliği ile aynı birime çevirelim. Maket yüksekliği genellikle santimetre cinsinden ifade edilir.
\( 1 \text{ metre} = 100 \text{ santimetre} \)
\( 40 \text{ metre} = 40 \times 100 = 4000 \text{ santimetre} \) - Şimdi formülü kullanarak maket yüksekliğini bulalım. Maket yüksekliğini \( x \) ile gösterelim:
\( \frac{1}{200} = \frac{x}{4000} \) - İçler dışlar çarpımı yapabiliriz veya her iki tarafı 4000 ile çarparak \( x \)'i yalnız bırakabiliriz:
\( x = \frac{1}{200} \times 4000 \) - Hesaplamayı yapalım:
\( x = \frac{4000}{200} = \frac{40}{2} = 20 \) - ✅ Cevap: Maket binanın yüksekliği 20 santimetre olmalıdır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgende-aci-benzerlik/sorular