🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgen Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgen Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, A açısının ölçüsü \( 50^\circ \), B açısının ölçüsü \( 70^\circ \) olduğuna göre, C açısının ölçüsü kaç derecedir? 🤔
Çözüm:
Bir üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) olduğunu biliyoruz. İşte çözüm adımları:
- 👉 Üçgenin iç açıları A, B ve C olsun.
- ✅ Verilenler: \( m(\hat{A}) = 50^\circ \) ve \( m(\hat{B}) = 70^\circ \).
- 💡 Üçgenin iç açıları toplamı formülü: \( m(\hat{A}) + m(\hat{B}) + m(\hat{C}) = 180^\circ \).
- Hesaplama:
- \( 50^\circ + 70^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
- \( 120^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
- \( m(\hat{C}) = 180^\circ - 120^\circ \)
- \( m(\hat{C}) = 60^\circ \)
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde, A köşesindeki dış açının ölçüsü \( 130^\circ \), B açısının ölçüsü \( 60^\circ \) olduğuna göre, C açısının ölçüsü kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Bir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir. Bu bilgiyi kullanarak C açısının ölçüsünü bulalım:
- 👉 A köşesindeki dış açı \( 130^\circ \) ise, A iç açısı \( 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \) olur. (Doğru açı \( 180^\circ \) olduğu için)
- ✅ Verilen iç açı: \( m(\hat{B}) = 60^\circ \).
- 💡 Dış açı kuralını uygulayalım: A köşesindeki dış açı \( = m(\hat{B}) + m(\hat{C}) \).
- Hesaplama:
- \( 130^\circ = 60^\circ + m(\hat{C}) \)
- \( m(\hat{C}) = 130^\circ - 60^\circ \)
- \( m(\hat{C}) = 70^\circ \)
- Önce A iç açısını bulalım: \( m(\hat{A}) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \).
- Sonra üçgenin iç açıları toplamını kullanalım: \( m(\hat{A}) + m(\hat{B}) + m(\hat{C}) = 180^\circ \).
- \( 50^\circ + 60^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
- \( 110^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
- \( m(\hat{C}) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \)
Örnek 3:
Bir ABC ikizkenar üçgeninde, AB kenarı AC kenarına eşittir (\( |AB| = |AC| \)). A açısının ölçüsü \( 80^\circ \) olduğuna göre, B açısının ölçüsü kaç derecedir? 📏
Çözüm:
İkizkenar üçgenlerde eşit kenarların karşılarındaki açılar da eşittir. İşte çözüm adımları:
- 👉 Üçgenin ikizkenar olduğu bilgisi: \( |AB| = |AC| \).
- ✅ Bu durumda, AB kenarının karşısındaki C açısı ile AC kenarının karşısındaki B açısı birbirine eşittir: \( m(\hat{B}) = m(\hat{C}) \).
- 💡 Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğu için: \( m(\hat{A}) + m(\hat{B}) + m(\hat{C}) = 180^\circ \).
- Verilen: \( m(\hat{A}) = 80^\circ \).
- Hesaplama:
- \( 80^\circ + m(\hat{B}) + m(\hat{B}) = 180^\circ \) (Çünkü \( m(\hat{C}) = m(\hat{B}) \))
- \( 80^\circ + 2 \cdot m(\hat{B}) = 180^\circ \)
- \( 2 \cdot m(\hat{B}) = 180^\circ - 80^\circ \)
- \( 2 \cdot m(\hat{B}) = 100^\circ \)
- \( m(\hat{B}) = \frac{100^\circ}{2} \)
- \( m(\hat{B}) = 50^\circ \)
Örnek 4:
Bir eşkenar üçgenin her bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir? 🔺
Çözüm:
Eşkenar üçgenin temel özelliklerini hatırlayalım:
- 👉 Eşkenar üçgen, tüm kenar uzunlukları birbirine eşit olan bir üçgendir.
- ✅ Kenarları eşit olduğu için, bu kenarların karşılarındaki açılar da birbirine eşittir. Yani tüm iç açılar birbirine eşittir.
- 💡 Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan ve üç açısı da eşit olduğundan, her bir açının ölçüsünü bulmak için toplamı 3'e böleriz.
- Hesaplama:
- Her bir iç açının ölçüsü \( x \) olsun.
- \( x + x + x = 180^\circ \)
- \( 3x = 180^\circ \)
- \( x = \frac{180^\circ}{3} \)
- \( x = 60^\circ \)
Örnek 5:
Bir dik üçgende dik kenarların uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Dik üçgenlerde kenar uzunlukları arasında Pisagor teoremi bağıntısı bulunur. Hadi hipotenüsü bulalım:
- 👉 Dik üçgende, dik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir ve en uzun kenardır. Diğer iki kenara ise dik kenarlar denir.
- ✅ Pisagor teoremi: "Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir."
- 💡 Formül: \( a^2 + b^2 = c^2 \) (Burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür).
- Verilenler: Dik kenarlar \( a = 6 \) cm ve \( b = 8 \) cm.
- Hesaplama:
- \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- \( 36 + 64 = c^2 \)
- \( 100 = c^2 \)
- \( c = \sqrt{100} \)
- \( c = 10 \) cm
Örnek 6:
Kenar uzunlukları 5 cm ve 12 cm olan bir üçgenin üçüncü kenarının uzunluğu (x) için hangi eşitsizlik doğru olur? 📏
Çözüm:
Üçgen eşitsizliği (veya üçgen olma şartı) kuralını hatırlayarak üçüncü kenarın alabileceği değer aralığını bulalım:
- 👉 Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farklarının mutlak değerinden ise büyük olmalıdır.
- ✅ Verilen kenarlar: \( a = 5 \) cm ve \( b = 12 \) cm. Üçüncü kenar \( x \) olsun.
- 💡 Üçgen eşitsizliği formülü: \( |a - b| < x < a + b \).
- Hesaplama:
- Önce kenarların farkının mutlak değerini alalım: \( |12 - 5| = |7| = 7 \).
- Sonra kenarların toplamını alalım: \( 12 + 5 = 17 \).
- Bu değerleri eşitsizliğe yerleştirelim: \( 7 < x < 17 \).
Örnek 7:
Elif, bir bahçeye üçgen şeklinde bir çiçek yatağı yapmak istiyor. Yatağın kenarlarından ikisinin uzunluğu 10 metre ve 18 metre olarak belirlenmiştir. Elif, bu çiçek yatağının çevresinin bir tam sayı olmasını istiyor. Üçüncü kenarın uzunluğu (x) da bir tam sayı olduğuna göre, çiçek yatağının çevresi en az kaç metre olabilir? 🌷
Çözüm:
Bu problemde hem üçgen eşitsizliğini hem de çevre kavramını birleştirerek çözüm yapacağız:
- 👉 Çiçek yatağının kenarları 10 m, 18 m ve \( x \) m olsun.
- ✅ Üçgen Eşitsizliği'ni uygulayalım:
- \( |18 - 10| < x < 18 + 10 \)
- \( 8 < x < 28 \)
- 💡 Üçüncü kenar \( x \) bir tam sayı olduğu için, \( x \) 'in alabileceği en küçük tam sayı değeri 9, en büyük tam sayı değeri ise 27'dir.
- Çiçek yatağının çevresi \( Ç = 10 + 18 + x = 28 + x \) olacaktır.
- Çevrenin en az olmasını istediğimiz için, \( x \) 'in alabileceği en küçük tam sayı değerini seçmeliyiz.
- Hesaplama:
- \( x_{min} = 9 \) metre.
- Çevre \( = 28 + 9 = 37 \) metre.
Örnek 8:
Bir itfaiyeci, 12 metre yüksekliğindeki bir binanın penceresine ulaşmak için merdiven kullanıyor. Merdivenin ayağı binadan 5 metre uzaklığa yerleştirilmiştir. İtfaiyecinin kullandığı merdivenin uzunluğu en az kaç metre olmalıdır? (Merdivenin zemine dik durduğu varsayılacaktır.) 🚒
Çözüm:
Bu durum, bir dik üçgen modeli oluşturur ve Pisagor teoremi ile çözülebilir.
- 👉 Binanın yüksekliği, dik üçgenin bir dik kenarıdır (\( a = 12 \) metre).
- ✅ Merdivenin ayağının binadan uzaklığı, dik üçgenin diğer dik kenarıdır (\( b = 5 \) metre).
- 💡 Merdivenin uzunluğu ise, dik üçgenin hipotenüsüdür (\( c \)). Pisagor teoremini kullanacağız: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Hesaplama:
- \( 12^2 + 5^2 = c^2 \)
- \( 144 + 25 = c^2 \)
- \( 169 = c^2 \)
- \( c = \sqrt{169} \)
- \( c = 13 \) metre
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgen/sorular