🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgen Kenar Bağıntıları Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgen Kenar Bağıntıları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde kenar uzunlukları \(a\), \(b\) ve \(c\) ile gösterilmiştir. Eğer \(b = 7\) cm ve \(c = 10\) cm ise, \(a\) kenarının alabileceği tam sayı değerlerinin kaç tane olduğunu bulunuz. 💡
Çözüm:
Üçgen eşitsizliği kuralını uygulayarak \(a\) kenarının hangi aralıkta olması gerektiğini bulalım:
- 📌 Üçgen Eşitsizliği Kuralı: Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyük olmalıdır.
- 👉 Verilen kenarlar: \(b = 7\) cm ve \(c = 10\) cm.
- ✅ Bu kurala göre \(a\) kenarı için bağıntı: \[ |c - b| < a < c + b \]
- ✅ Değerleri yerine yazalım: \[ |10 - 7| < a < 10 + 7 \]
- ✅ İşlemi yapalım: \[ 3 < a < 17 \]
- ✅ Bu aralıktaki tam sayılar \(4, 5, 6, ..., 16\) şeklindedir.
- ✅ Toplam tam sayı adedini bulmak için: Son terim - İlk terim + 1 formülünü kullanırız.
- \(16 - 4 + 1 = 13\)
- Sonuç olarak, \(a\) kenarının alabileceği 13 farklı tam sayı değeri vardır.
Örnek 2:
Şekildeki ABCD dörtgeninde, AB kenarı ile BC kenarı birbirine diktir (\(m(\widehat{ABC}) = 90^\circ\)). Ayrıca \(m(\widehat{ADC}) = 80^\circ\) ve \(m(\widehat{BCD}) = 70^\circ\) olarak verilmiştir.
Kenar uzunlukları için \(|AB| = 5\) cm, \(|BC| = 12\) cm ve \(|CD| = 15\) cm olduğuna göre, \(|AD|\) kenarının en küçük tam sayı değeri kaçtır? 🤔
Kenar uzunlukları için \(|AB| = 5\) cm, \(|BC| = 12\) cm ve \(|CD| = 15\) cm olduğuna göre, \(|AD|\) kenarının en küçük tam sayı değeri kaçtır? 🤔
Çözüm:
Bu soruda hem Pisagor bağıntısını (dik üçgen olduğu için) hem de üçgen eşitsizliğini kullanacağız.
- 📌 Öncelikle ABC dik üçgeninde \(|AC|\) kenarını bulalım.
- Dik kenarlar \(|AB| = 5\) ve \(|BC| = 12\).
- Pisagor bağıntısına göre: \(|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2\)
- \[ |AC|^2 = 5^2 + 12^2 \]
- \[ |AC|^2 = 25 + 144 \]
- \[ |AC|^2 = 169 \]
- \[ |AC| = \sqrt{169} = 13 \]
- 👉 Şimdi ACD üçgenini inceleyelim. Kenarları \(|AC| = 13\), \(|CD| = 15\) ve \(|AD|\) kenarıdır.
- Üçgen eşitsizliğini uygulayalım: \[ |15 - 13| < |AD| < 15 + 13 \]
- \[ 2 < |AD| < 28 \]
- ✅ \(|AD|\) kenarının alabileceği tam sayı değerleri bu aralıktadır.
- Soruda \(|AD|\) kenarının en küçük tam sayı değeri sorulduğu için, bu aralıktaki en küçük tam sayı 3'tür.
Örnek 3:
Bir KLM üçgeninde açılar arasında \(m(\widehat{K}) > m(\widehat{L}) > m(\widehat{M})\) ilişkisi bulunmaktadır.
Buna göre, bu üçgenin kenar uzunlukları olan \(k, l, m\) (karşılarındaki kenarlar) arasındaki doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir? 📝
Buna göre, bu üçgenin kenar uzunlukları olan \(k, l, m\) (karşılarındaki kenarlar) arasındaki doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir? 📝
Çözüm:
Üçgende açı-kenar ilişkisi kuralını uygulayarak kenarları sıralayalım:
- 📌 Açı-Kenar İlişkisi Kuralı: Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur.
- 👉 Verilen açı sıralaması: \(m(\widehat{K}) > m(\widehat{L}) > m(\widehat{M})\).
- ✅ K açısının karşısındaki kenar \(k\), L açısının karşısındaki kenar \(l\), M açısının karşısındaki kenar \(m\)'dir.
- Bu kurala göre, en büyük açı olan \(m(\widehat{K})\) karşısındaki \(k\) kenarı en uzun, en küçük açı olan \(m(\widehat{M})\) karşısındaki \(m\) kenarı ise en kısa olacaktır.
- Sonuç olarak, kenar uzunlukları arasındaki doğru sıralama: \[ k > l > m \]
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde \(m(\widehat{A}) = 70^\circ\) ve \(m(\widehat{B}) = 50^\circ\) olarak verilmiştir.
Kenar uzunlukları \(a, b, c\) olduğuna göre, bu kenarların küçükten büyüğe doğru sıralanışı nasıldır? 📏
Kenar uzunlukları \(a, b, c\) olduğuna göre, bu kenarların küçükten büyüğe doğru sıralanışı nasıldır? 📏
Çözüm:
Öncelikle verilmeyen C açısını bulup, ardından açı-kenar ilişkisini uygulayalım.
- 📌 Üçgenin İç Açıları Toplamı Kuralı: Bir üçgenin iç açılarının toplamı \(180^\circ\)dir.
- 👉 Verilen açılar: \(m(\widehat{A}) = 70^\circ\) ve \(m(\widehat{B}) = 50^\circ\).
- ✅ \(m(\widehat{C})\) açısını bulalım: \[ m(\widehat{C}) = 180^\circ - (m(\widehat{A}) + m(\widehat{B})) \]
- \[ m(\widehat{C}) = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) \]
- \[ m(\widehat{C}) = 180^\circ - 120^\circ \]
- \[ m(\widehat{C}) = 60^\circ \]
- ✅ Şimdi açıları sıralayalım: \(m(\widehat{B}) = 50^\circ\), \(m(\widehat{C}) = 60^\circ\), \(m(\widehat{A}) = 70^\circ\).
- Yani: \(m(\widehat{B}) < m(\widehat{C}) < m(\widehat{A})\).
- 📌 Açı-Kenar İlişkisi Kuralı: Büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur.
- ✅ Bu kurala göre, açıların karşısındaki kenarları sıralayalım:
- \(m(\widehat{B})\) karşısında \(b\) kenarı, \(m(\widehat{C})\) karşısında \(c\) kenarı, \(m(\widehat{A})\) karşısında \(a\) kenarı bulunur.
- Küçükten büyüğe doğru sıralama: \[ b < c < a \]
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde \(|AB| = 8\) cm, \(|AC| = 13\) cm ve \(m(\widehat{BAC}) > 90^\circ\) olduğuna göre, \(|BC|\) kenarının alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? 🧐
Çözüm:
Bu soruda hem üçgen eşitsizliğini hem de geniş açılı üçgen özelliğini bir arada kullanacağız.
- 📌 Üçgen Eşitsizliği Kuralı: Bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyüktür.
- 👉 Verilen kenarlar: \(|AB| = 8\) cm, \(|AC| = 13\) cm. \(|BC|\) kenarına \(x\) diyelim.
- ✅ Üçgen eşitsizliğini uygulayalım: \[ |13 - 8| < x < 13 + 8 \]
- \[ 5 < x < 21 \]
- 📌 Geniş Açılı Üçgen Kuralı: Bir üçgende bir açı geniş açı (\(> 90^\circ\)) ise, bu geniş açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyük olmalıdır. (Pisagor bağıntısının geniş açıya uyarlanmış hali)
- 👉 \(m(\widehat{BAC}) > 90^\circ\) olduğu için, bu açının karşısındaki kenar \(|BC|\) yani \(x\)'tir.
- ✅ Kuralı uygulayalım: \(x^2 > |AB|^2 + |AC|^2\)
- \[ x^2 > 8^2 + 13^2 \]
- \[ x^2 > 64 + 169 \]
- \[ x^2 > 233 \]
- ✅ Her iki tarafın karekökünü alalım: \(x > \sqrt{233}\).
- \(\sqrt{225} = 15\) ve \(\sqrt{256} = 16\) olduğundan, \(\sqrt{233}\) yaklaşık olarak \(15.26\) civarındadır.
- Yani \(x > 15.26\).
- 👉 Şimdi her iki koşulu birleştirelim:
- 1. Koşul: \(5 < x < 21\)
- 2. Koşul: \(x > 15.26\)
- ✅ Bu iki koşulu sağlayan aralık: \[ 15.26 < x < 21 \]
- \(x\) kenarının alabileceği en küçük tam sayı değeri bu aralıkta 16'dır.
Örnek 6:
Bir mühendis, bir köprü projesi için üçgen şeklinde destekleyici çelik kirişler tasarlamaktadır. Tasarımına göre, bir üçgen kirişin iki kenarının uzunluğu 18 metre ve 25 metre olacaktır.
Köprünün estetik görünümünü ve dayanıklılığını sağlamak için üçüncü kenarın uzunluğu metre cinsinden bir tam sayı olmalıdır.
Ayrıca, kullanılacak çelik malzemenin maliyeti, kirişin çevresiyle doğru orantılıdır. Mühendis, maliyeti minimumda tutmak istediğine göre, üçüncü kenarın uzunluğu kaç metre olmalıdır? 🏗️💰
Köprünün estetik görünümünü ve dayanıklılığını sağlamak için üçüncü kenarın uzunluğu metre cinsinden bir tam sayı olmalıdır.
Ayrıca, kullanılacak çelik malzemenin maliyeti, kirişin çevresiyle doğru orantılıdır. Mühendis, maliyeti minimumda tutmak istediğine göre, üçüncü kenarın uzunluğu kaç metre olmalıdır? 🏗️💰
Çözüm:
Maliyeti minimumda tutmak, çevreyi minimumda tutmak demektir. Çevrenin minimum olması için üçüncü kenarın uzunluğu da minimum olmalıdır.
- 📌 Üçgen Eşitsizliği Kuralı: Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyük olmalıdır.
- 👉 Verilen kenarlar: \(k_1 = 18\) metre ve \(k_2 = 25\) metre. Üçüncü kenara \(x\) diyelim.
- ✅ Bu kurala göre \(x\) kenarı için bağıntı: \[ |k_2 - k_1| < x < k_2 + k_1 \]
- \[ |25 - 18| < x < 25 + 18 \]
- \[ 7 < x < 43 \]
- ✅ \(x\) kenarı metre cinsinden bir tam sayı olmalıdır.
- Maliyeti minimumda tutmak için çevrenin en küçük olması gerekir. Çevre = \(18 + 25 + x\).
- Çevrenin en küçük olması için \(x\)'in alabileceği en küçük tam sayı değeri seçilmelidir.
- \(7 < x < 43\) aralığındaki en küçük tam sayı 8'dir.
- Sonuç olarak, üçüncü kenarın uzunluğu 8 metre olmalıdır ki maliyet minimum olsun.
Örnek 7:
Bir bahçıvan, bahçesine üçgen şeklinde bir çiçek tarhı yapmak istemektedir. Tarhın iki kenarına 4 metre ve 9 metre uzunluğunda ahşap çit çekmiştir.
Üçüncü kenara da çit çekecektir ancak elinde sadece belirli uzunluklarda çit parçaları vardır.
Eğer üçüncü kenara çekilecek çit, metre cinsinden bir tam sayı uzunluğunda olacaksa, bahçıvanın kullanabileceği en uzun çit parçası kaç metre olmalıdır? 🌷🌳
Üçüncü kenara da çit çekecektir ancak elinde sadece belirli uzunluklarda çit parçaları vardır.
Eğer üçüncü kenara çekilecek çit, metre cinsinden bir tam sayı uzunluğunda olacaksa, bahçıvanın kullanabileceği en uzun çit parçası kaç metre olmalıdır? 🌷🌳
Çözüm:
Bahçıvanın kullanabileceği en uzun çit parçasını bulmak için üçgen eşitsizliği kuralını uygulayalım.
- 📌 Üçgen Eşitsizliği Kuralı: Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyük olmalıdır.
- 👉 Verilen kenarlar: \(k_1 = 4\) metre ve \(k_2 = 9\) metre. Üçüncü kenara \(x\) diyelim.
- ✅ Bu kurala göre \(x\) kenarı için bağıntı: \[ |k_2 - k_1| < x < k_2 + k_1 \]
- \[ |9 - 4| < x < 9 + 4 \]
- \[ 5 < x < 13 \]
- ✅ \(x\) kenarı metre cinsinden bir tam sayı olmalıdır.
- Bahçıvanın kullanabileceği en uzun çit parçasını bulmak için \(x\)'in alabileceği en büyük tam sayı değeri seçilmelidir.
- \(5 < x < 13\) aralığındaki en büyük tam sayı 12'dir.
- Sonuç olarak, bahçıvanın kullanabileceği en uzun çit parçası 12 metre olmalıdır.
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde \(|AB| = (x + 3)\) cm, \(|BC| = (2x - 1)\) cm ve \(|AC| = 10\) cm olarak verilmiştir.
Buna göre, \(x\) bir tam sayı olduğuna göre, \(x\)'in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? 🔢
Buna göre, \(x\) bir tam sayı olduğuna göre, \(x\)'in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? 🔢
Çözüm:
Üçgen eşitsizliğini kullanarak \(x\)'in aralığını bulalım ve ardından en büyük tam sayı değerini belirleyelim.
- 📌 Üçgen Eşitsizliği Kuralı: Bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyük olmalıdır.
- 👉 Kenarlar: \(a = (2x - 1)\), \(b = 10\), \(c = (x + 3)\).
- ✅ Her bir kenarın uzunluğu sıfırdan büyük olmalıdır:
- 1. \(x + 3 > 0 \implies x > -3\)
- 2. \(2x - 1 > 0 \implies 2x > 1 \implies x > 0.5\)
- Bu koşullardan \(x > 0.5\) genel geçerli olandır.
- ✅ Şimdi üçgen eşitsizliğini uygulayalım:
- 1. Durum: \(| (x+3) - (2x-1) | < 10 < (x+3) + (2x-1)\)
- Önce sol taraf: \(| x+3 - 2x+1 | < 10 \implies | -x+4 | < 10\)
- Bu iki duruma ayrılır:
- \(-x+4 < 10 \implies -x < 6 \implies x > -6\)
- \(-x+4 > -10 \implies -x > -14 \implies x < 14\)
- Yani, \( -6 < x < 14 \)
- Şimdi sağ taraf: \( 10 < x+3+2x-1 \implies 10 < 3x+2 \)
- \[ 8 < 3x \]
- \[ \frac{8}{3} < x \]
- \[ 2.66... < x \]
- 2. Durum: \(| 10 - (x+3) | < 2x-1 < 10 + (x+3)\)
- Sol taraf: \(| 7-x | < 2x-1\)
- Bu iki duruma ayrılır:
- \(7-x < 2x-1 \implies 8 < 3x \implies x > \frac{8}{3}\)
- \(7-x > -(2x-1) \implies 7-x > -2x+1 \implies x > -6\)
- Sağ taraf: \(2x-1 < 10+x+3 \implies 2x-1 < x+13 \implies x < 14\)
- 3. Durum: \(| 10 - (2x-1) | < x+3 < 10 + (2x-1)\)
- Sol taraf: \(| 11-2x | < x+3\)
- Bu iki duruma ayrılır:
- \(11-2x < x+3 \implies 8 < 3x \implies x > \frac{8}{3}\)
- \(11-2x > -(x+3) \implies 11-2x > -x-3 \implies 14 > x\)
- Sağ taraf: \(x+3 < 10+2x-1 \implies x+3 < 2x+9 \implies -6 < x\)
- ✅ Tüm bu eşitsizlikleri birleştirelim:
- \(x > 0.5\) (kenar uzunlukları pozitif olmalı)
- \(x < 14\)
- \(x > \frac{8}{3} \approx 2.66\)
- Bu koşulları sağlayan en dar aralık: \[ \frac{8}{3} < x < 14 \]
- Yani, \(2.66... < x < 14\).
- \(x\) bir tam sayı olduğuna göre, \(x\)'in alabileceği en büyük tam sayı değeri 13'tür.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgen-kenar-bagintilari/sorular