🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgen eşlik ve benzerliği Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgen eşlik ve benzerliği Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birbirine eş iki üçgen düşünelim. Birinci üçgenin kenar uzunlukları 5 cm, 7 cm ve 9 cm'dir. Bu iki üçgen eş olduğuna göre, ikinci üçgenin kenar uzunlukları toplamı kaç cm olur?
💡 Üçgen Eşliği Nedir? İki üçgenin karşılıklı kenar ve açıları birbirine eşitse bu üçgenler eştir. Eş üçgenlerin tüm elemanları (kenarlar ve açılar) birbirine eşittir.
Çözüm:
- İki üçgenin eş olması, tüm karşılıklı kenar ve açılarının eşit olması anlamına gelir.
- Birinci üçgenin kenar uzunlukları 5 cm, 7 cm ve 9 cm'dir.
- Bu üçgenlerin kenar uzunlukları toplamı: \( 5 + 7 + 9 = 21 \) cm'dir.
- Üçgenler eş olduğu için, ikinci üçgenin de kenar uzunlukları aynı olacaktır: 5 cm, 7 cm ve 9 cm.
- Dolayısıyla, ikinci üçgenin kenar uzunlukları toplamı da \( 5 + 7 + 9 = 21 \) cm olur.
Örnek 2:
ABC üçgeninde \( \angle A = 50^\circ \), \( \angle B = 60^\circ \) ve \( \angle C = 70^\circ \) olarak verilmiştir. DEF üçgeninde \( \angle D = 50^\circ \), \( \angle E = 60^\circ \) ve \( \angle F = 70^\circ \) olarak verilmiştir. Bu iki üçgen arasındaki eşlik durumu nedir?
📌 Açı-Açı-Açı (AAA) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı tüm açıları eşitse, bu üçgenler benzerdir. Ancak 9. Sınıf müfredatında eşlik için genellikle kenar ve açıların birlikte kullanıldığı durumlar ele alınır. Burada verilen durumlar eşliği de destekler.
Çözüm:
- ABC üçgeninin açıları: \( \angle A = 50^\circ \), \( \angle B = 60^\circ \), \( \angle C = 70^\circ \).
- DEF üçgeninin açıları: \( \angle D = 50^\circ \), \( \angle E = 60^\circ \), \( \angle F = 70^\circ \).
- Karşılıklı açılara bakarsak:
- \( \angle A = \angle D = 50^\circ \)
- \( \angle B = \angle E = 60^\circ \)
- \( \angle C = \angle F = 70^\circ \)
- Tüm karşılıklı açılar eşit olduğundan, ABC üçgeni ile DEF üçgeni eştir. Eşlik yazımı şu şekildedir: \( ABC \cong DEF \).
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde AB kenarı 8 cm, BC kenarı 10 cm ve AC kenarı 12 cm'dir. DEF üçgeninde DE kenarı 8 cm, EF kenarı 10 cm ve DF kenarı 12 cm'dir. Eğer \( \angle B = \angle E \) ise, bu iki üçgenin eşlik durumu nedir?
💡 Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı iki kenarı ve bu kenarların arasındaki açısı eşitse, bu üçgenler eştir.
Çözüm:
- ABC üçgeninde kenarlar ve aralarındaki açı: AB = 8 cm, BC = 10 cm, \( \angle B \)
- DEF üçgeninde kenarlar ve aralarındaki açı: DE = 8 cm, EF = 10 cm, \( \angle E \)
- Soruda \( \angle B = \angle E \) olduğu bilgisi verilmiş.
- Bu durumda, ABC üçgeninin AB kenarı ile DEF üçgeninin DE kenarı (8 cm) eşittir.
- ABC üçgeninin BC kenarı ile DEF üçgeninin EF kenarı (10 cm) eşittir.
- Ve bu iki kenar arasındaki açılar da eşittir: \( \angle B = \angle E \).
- Bu durum KAK eşlik kuralını sağlar.
Örnek 4:
İki farklı ABC ve DEF üçgeni verilmiştir. \( AB = DE = 6 \) cm, \( BC = EF = 8 \) cm ve \( AC = DF = 10 \) cm'dir. Bu iki üçgenin benzerlik oranı nedir?
📌 Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı tüm kenar uzunlukları orantılı ise bu üçgenler benzerdir. Eğer kenar uzunlukları eşitse, üçgenler eştir ve benzerlik oranı 1'dir.
Çözüm:
- ABC üçgeninin kenarları: AB = 6 cm, BC = 8 cm, AC = 10 cm.
- DEF üçgeninin kenarları: DE = 6 cm, EF = 8 cm, DF = 10 cm.
- Karşılıklı kenarların oranlarına bakalım:
- \( \frac{AB}{DE} = \frac{6}{6} = 1 \)
- \( \frac{BC}{EF} = \frac{8}{8} = 1 \)
- \( \frac{AC}{DF} = \frac{10}{10} = 1 \)
- Tüm karşılıklı kenarların oranları eşit ve 1'e eşittir.
- Bu, üçgenlerin hem benzer hem de eş olduğu anlamına gelir.
Örnek 5:
Bir parkta bulunan iki salıncak, zemine göre aynı açılarla durmaktadır. Birinci salıncağın oturma kısmından ipin bağlı olduğu noktaya olan mesafe 2 metre ve bu ipin uzunluğu 3 metredir. İkinci salıncağın oturma kısmından ipin bağlı olduğu noktaya olan mesafe de 2 metre ve ipin uzunluğu 3 metredir. Eğer iki salıncağın ipinin zemine yaptığı açılar da aynı ise, bu iki salıncağın ip ile oturma kısmı arasında oluşan üçgenler eş midir?
👉 Günlük Hayatta Eşlik: Eşlik kavramı, nesnelerin birebir aynı boyut ve şekilde olduğunu göstermek için kullanılır. Mühendislik, mimarlık ve tasarım gibi alanlarda bu prensip önemlidir.
Çözüm:
- Her iki salıncak için de bir üçgen oluştuğunu düşünelim. Bu üçgenin kenarları:
- Salıncağın ipinin uzunluğu (3 metre).
- Oturma kısmından ipin bağlı olduğu noktaya olan mesafe (2 metre).
- İki nokta arasındaki yatay mesafe (bu kenar her iki salıncakta da aynı olacaktır çünkü açılar ve diğer kenarlar aynı).
- Soruda, ipin uzunlukları (3 metre) ve oturma kısmından ipin bağlı olduğu noktaya olan mesafeler (2 metre) eşittir.
- Ayrıca, ipin zemine yaptığı açılar da aynı olarak verilmiş. Bu, üçgenin iki kenarı ve aralarındaki açı bilgisini sağlar.
- Kenar-Açı-Kenar (KAK) eşlik kuralına göre, iki kenarı ve aralarındaki açı eşit olan üçgenler eştir.
Örnek 6:
Bir mimar, bir binanın iki farklı cephesinde aynı boyutlarda ve aynı eğimlerde pencere tasarlıyor. Bir pencerenin üst kenarı 1.5 metre, yan kenarları 2 metre uzunluğundadır. Bu pencerenin üst kenarı ile yan kenarı arasındaki açı \( 90^\circ \) (dik açı) olarak tasarlanmıştır. İki pencere de bu özelliklere sahip olduğuna göre, bu pencerelerin oluşturduğu üçgenler eş midir?
💡 Dik Üçgenlerde Eşlik: Dik üçgenlerde hipotenüs ve bir dik kenar eşitse (Dik Kenar-Dik Kenar - DKK eşliği) veya bir dik kenar ve bir dar açı eşitse (Dik Kenar-Açı - DKA eşliği) üçgenler eştir. Burada KAK kuralı uygulanabilir.
Çözüm:
- Her bir pencere için, üst kenar, yan kenar ve bu iki kenarın oluşturduğu köşeyi birleştiren çizgi bir üçgen oluşturur.
- Birinci pencere için: Üst kenar = 1.5 m, Yan kenar = 2 m, Aradaki Açı = \( 90^\circ \).
- İkinci pencere için: Üst kenar = 1.5 m, Yan kenar = 2 m, Aradaki Açı = \( 90^\circ \).
- Her iki üçgende de iki kenar uzunluğu (1.5 m ve 2 m) ve bu kenarlar arasındaki açı (\( 90^\circ \)) birbirine eşittir.
- Bu durum Kenar-Açı-Kenar (KAK) eşlik kuralını sağlar.
Örnek 7:
ABC üçgeninde AC kenarı 10 cm, BC kenarı 12 cm ve \( \angle C = 40^\circ \) olarak verilmiştir. DEF üçgeninde DF kenarı 10 cm, EF kenarı 12 cm ve \( \angle F = 40^\circ \) olarak verilmiştir. ABC üçgeninin AB kenarının uzunluğu ile DEF üçgeninin DE kenarının uzunluğu arasında nasıl bir ilişki vardır?
📌 Eş Üçgenlerin Özellikleri: Eş üçgenlerin karşılıklı tüm kenar uzunlukları ve açıları birbirine eşittir.
Çözüm:
- ABC üçgeninde AC = 10 cm, BC = 12 cm ve \( \angle C = 40^\circ \).
- DEF üçgeninde DF = 10 cm, EF = 12 cm ve \( \angle F = 40^\circ \).
- Karşılıklı kenarlara bakalım:
- AC kenarı ile DF kenarı eşittir (10 cm).
- BC kenarı ile EF kenarı eşittir (12 cm).
- Bu kenarların arasındaki açılar da eşittir: \( \angle C = \angle F = 40^\circ \).
- Bu durum, Kenar-Açı-Kenar (KAK) eşlik kuralını sağlar.
- Dolayısıyla, ABC üçgeni ile DEF üçgeni eştir.
- Eş üçgenlerin karşılıklı kenarları da eşit olacağından, AB kenarının uzunluğu DE kenarının uzunluğuna eşit olacaktır.
Örnek 8:
Bir ABCD paralelkenarında, köşegen AC çizilmiştir. Bu köşegen, paralelkenarı iki üçgene ayırır: ABC üçgeni ve ADC üçgeni. Bu iki üçgenin eşlik durumu hakkında ne söylenebilir?
👉 Paralelkenarın Özellikleri: Paralelkenarda karşılıklı kenarlar paralel ve eşittir. Karşılıklı açılar eşittir. Köşegenler birbirini ortalar.
Çözüm:
- ABCD bir paralelkenar olsun. Karşılıklı kenarları eşittir: \( AB = DC \) ve \( BC = AD \).
- Aynı zamanda karşılıklı kenarlar paraleldir: \( AB \parallel DC \) ve \( BC \parallel AD \).
- AC köşegeni çizildiğinde, iki üçgen oluşur: \( \triangle ABC \) ve \( \triangle ADC \).
- Bu üçgenlerin kenarlarına bakalım:
- \( \triangle ABC \) kenarları: AB, BC, AC
- \( \triangle ADC \) kenarları: AD, DC, AC
- Karşılıklı kenarları karşılaştıralım:
- AB kenarı ile DC kenarı eşittir (paralelkenarın özelliği).
- BC kenarı ile AD kenarı eşittir (paralelkenarın özelliği).
- Her iki üçgenin de AC kenarı ortaktır.
- Üçgenlerin üç kenarı da birbirine eşit olduğundan (AB=DC, BC=AD, AC=AC), Kenar-Kenar-Kenar (KKK) eşlik kuralı sağlanır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgen-eslik-ve-benzerligi/sorular