📄 9. Sınıf Matematik: Üçgen eşlik ve benzerliği Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

İki üçgenin eş olması, karşılıklı kenar uzunluklarının ve karşılıklı açı ölçülerinin birbirine eşit olması anlamına gelir. Soruda ABC ve DEF üçgenlerinin eş olduğu belirtilmiştir. Bu eşlik, kenarların ve açıların sıralamasına göre yorumlanmalıdır. Genellikle eşlik ABC \cong DEF şeklinde yazılırsa, bu A \leftrightarrow D, B \leftrightarrow E, C \leftrightarrow F eşleşmesini ifade eder.

Bu durumda karşılıklı kenarlar eşittir: |AB| = |DE|, |BC| = |EF|, |AC| = |DF|.
Ve karşılıklı açılar eştir: m(\hat{A}) = m(\hat{D}), m(\hat{B}) = m(\hat{E}), m(\hat{C}) = m(\hat{F}).

Verilenler:
|AB| = 7 cm, |BC| = 9 cm, |AC| = 11 cm
m(\hat{B}) = 50^\circ

Eşlik tanımına göre:
|DE| = |AB| = 7 cm
|EF| = |BC| = 9 cm
|DF| = |AC| = 11 cm
m(\hat{E}) = m(\hat{B}) = 50^\circ

Sonuç olarak, |DE| = 7 cm, |EF| = 9 cm, |DF| = 11 cm ve m(\hat{E}) = 50^\circ'dir.

💡 Çözüm Adımları:

İki üçgenin benzer olup olmadığını kontrol etmek için kenar uzunlukları arasındaki orantıya bakmalıyız. Eğer karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ise üçgenler KKK benzerlik kuralına göre benzerdir.

Verilen kenar uzunlukları:
ABC üçgeni: |AB|=6, |BC|=8, |AC|=10
DEF üçgeni: |DE|=12, |EF|=16, |DF|=20

Karşılıklı kenarların oranlarını hesaplayalım:

Oran 1: \frac{|DE|}{|AB|} = \frac{12}{6} = 2
Oran 2: \frac{|EF|}{|BC|} = \frac{16}{8} = 2
Oran 3: \frac{|DF|}{|AC|} = \frac{20}{10} = 2

Üç oranın da birbirine eşit (2'ye eşit) olduğunu görüyoruz. Bu durum, DEF üçgeninin kenar uzunluklarının ABC üçgeninin kenar uzunluklarının 2 katı olduğunu gösterir. Dolayısıyla, bu iki üçgen Kenar-Kenar-Kenar (KKK) benzerlik kuralına göre benzerdir.

Benzerlik oranı k=2'dir. Bu, DEF üçgeninin ABC üçgeninden 2 kat daha büyük olduğu anlamına gelir.

💡 Çözüm Adımları:

İki üçgenin benzer olması için en az iki açılarının ölçüsünün eş olması yeterlidir (Açı-Açı (AA) benzerlik kuralı). Üçgenlerin iç açılarının toplamı 180^\circ olduğundan, iki açı eş ise üçüncü açılar da otomatik olarak eş olur.

Verilen açılar:
KLM üçgeni: m(\hat{K})=70^\circ, m(\hat{L})=50^\circ
PQR üçgeni: m(\hat{Q})=50^\circ, m(\hat{R})=60^\circ

Önce KLM üçgeninin üçüncü açısını bulalım:
m(\hat{M}) = 180^\circ - (m(\hat{K}) + m(\hat{L})) = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ.

Şimdi PQR üçgeninin üçüncü açısını bulalım:
m(\hat{P}) = 180^\circ - (m(\hat{Q}) + m(\hat{R})) = 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ.

Karşılaştıralım:
KLM üçgeninin açıları: 70^\circ, 50^\circ, 60^\circ
PQR üçgeninin açıları: 70^\circ, 50^\circ, 60^\circ

Açı ölçüleri eşleşiyor: m(\hat{K}) = m(\hat{P}) = 70^\circ, m(\hat{L}) = m(\hat{Q}) = 50^\circ, m(\hat{M}) = m(\hat{R}) = 60^\circ.

Bu nedenle, KLM ve PQR üçgenleri Açı-Açı (AA) benzerlik kuralına göre benzerdir. Benzerlik eşleşmesi KLM \sim PQR'dir.