Üçgen Eşliği Ders Notu

İki üçgenin birebir eşlenmesinde, karşılıklı kenarları ve karşılıklı açıları eşit ise bu üçgenlere eş üçgenler denir. Eş üçgenler, boyut ve şekil olarak tamamen aynı olan üçgenlerdir.

Eşlik Sembolü 🤝

İki üçgenin eş olduğunu göstermek için "eşittir" işaretinin üzerine "benzerlik" işaretinin (tilde) konulmasıyla elde edilen \( \cong \) sembolü kullanılır.

• Eğer ABC üçgeni ile DEF üçgeni eş ise, bu durum \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) şeklinde gösterilir.
• Bu gösterim, A açısının D açısına, B açısının E açısına, C açısının F açısına eşit olduğunu; aynı zamanda AB kenarının DE kenarına, BC kenarının EF kenarına ve AC kenarının DF kenarına eşit olduğunu ifade eder.

Üçgen Eşlik Kuralları 📏

İki üçgenin eş olup olmadığını anlamak için tüm kenar ve açılarının eşit olduğunu tek tek kontrol etmeye gerek yoktur. Belirli eşlik kuralları sayesinde üçgenlerin eşliği daha kolay tespit edilebilir.

1. Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşlik Kuralı ✅

İki üçgen arasında yapılan birebir eşlemede, karşılıklı iki kenarının uzunlukları ve bu kenarlar arasında kalan açılarının ölçüleri eşit ise bu üçgenler eştir.

• Eğer bir ABC üçgeninde AB kenarı, BC kenarı ve bu iki kenar arasındaki B açısı; bir DEF üçgeninde DE kenarı, EF kenarı ve bu iki kenar arasındaki E açısına sırasıyla eşit ise, yani:
  • \( |AB| = |DE| \)
  • \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) \)
  • \( |BC| = |EF| \)
  O halde \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) olur.

KAK Eşliği Örnek:

Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm ve \( m(\widehat{B}) = 60^\circ \) olsun. Başka bir KLM üçgeninde \( |KL| = 5 \) cm, \( |LM| = 7 \) cm ve \( m(\widehat{L}) = 60^\circ \) olsun. Bu durumda, ABC üçgeni ile KLM üçgeni KAK eşlik kuralına göre eştir. Yani \( \triangle ABC \cong \triangle KLM \).

2. Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşlik Kuralı 📐

İki üçgen arasında yapılan birebir eşlemede, karşılıklı iki açısının ölçüleri ve bu açılar arasında kalan kenarlarının uzunlukları eşit ise bu üçgenler eştir.

• Eğer bir ABC üçgeninde B açısı, C açısı ve bu iki açı arasında kalan BC kenarı; bir DEF üçgeninde E açısı, F açısı ve bu iki açı arasında kalan EF kenarına sırasıyla eşit ise, yani:
  • \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) \)
  • \( |BC| = |EF| \)
  • \( m(\widehat{C}) = m(\widehat{F}) \)
  O halde \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) olur.

AKA Eşliği Örnek:

Bir PQR üçgeninde \( m(\widehat{Q}) = 45^\circ \), \( |QR| = 10 \) cm ve \( m(\widehat{R}) = 70^\circ \) olsun. Başka bir XYZ üçgeninde \( m(\widehat{Y}) = 45^\circ \), \( |YZ| = 10 \) cm ve \( m(\widehat{Z}) = 70^\circ \) olsun. Bu durumda, PQR üçgeni ile XYZ üçgeni AKA eşlik kuralına göre eştir. Yani \( \triangle PQR \cong \triangle XYZ \).

3. Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşlik Kuralı 🧱

İki üçgen arasında yapılan birebir eşlemede, karşılıklı tüm kenarlarının uzunlukları eşit ise bu üçgenler eştir.

• Eğer bir ABC üçgeninde AB, BC ve AC kenarlarının uzunlukları; bir DEF üçgeninde DE, EF ve DF kenarlarının uzunluklarına sırasıyla eşit ise, yani:
  • \( |AB| = |DE| \)
  • \( |BC| = |EF| \)
  • \( |AC| = |DF| \)
  O halde \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) olur.

KKK Eşliği Örnek:

Bir GHI üçgeninde \( |GH| = 6 \) cm, \( |HI| = 8 \) cm ve \( |GI| = 10 \) cm olsun. Başka bir JKL üçgeninde \( |JK| = 6 \) cm, \( |KL| = 8 \) cm ve \( |JL| = 10 \) cm olsun. Bu durumda, GHI üçgeni ile JKL üçgeni KKK eşlik kuralına göre eştir. Yani \( \triangle GHI \cong \triangle JKL \).