🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgen Eşitsizliği Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgen Eşitsizliği Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları \( a \), \( b \) ve \( c \) olmak üzere, \( a = 7 \) cm ve \( b = 12 \) cm olarak verilmiştir. Buna göre, üçüncü kenar olan \( c \)'nin alabileceği değer aralığını bulunuz. 💡
Çözüm:
Üçgen eşitsizliği kuralına göre, bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyük olmalıdır.
- 👉 Adım 1: Kenar uzunluklarını belirleyelim.
- Birinci kenar \( a = 7 \) cm
- İkinci kenar \( b = 12 \) cm
- Üçüncü kenar \( c \)
- 👉 Adım 2: Üçgen eşitsizliğini uygulayalım.
- Diğer iki kenarın farkının mutlak değeri: \( |12 - 7| = |5| = 5 \)
- Diğer iki kenarın toplamı: \( 12 + 7 = 19 \)
- 👉 Adım 3: \( c \) kenarı için eşitsizliği yazalım.
- \( |b - a| < c < a + b \)
- \( 5 < c < 19 \)
- ✅ Sonuç olarak, üçüncü kenar \( c \)'nin alabileceği değer aralığı \( (5, 19) \)'dur. Yani \( c \), 5'ten büyük ve 19'dan küçük olmalıdır.
Örnek 2:
Kenar uzunlukları 8 cm ve 15 cm olan bir üçgenin üçüncü kenarı bir tam sayı olduğuna göre, bu kenarın alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? 🤔
Çözüm:
Yine üçgen eşitsizliği kuralını kullanarak üçüncü kenarın alabileceği tam sayı değerlerini bulacağız.
- 👉 Adım 1: Kenar uzunluklarını belirleyelim.
- Birinci kenar = 8 cm
- İkinci kenar = 15 cm
- Üçüncü kenar \( x \) (bir tam sayı)
- 👉 Adım 2: Üçgen eşitsizliğini yazalım.
- \( |15 - 8| < x < 15 + 8 \)
- \( 7 < x < 23 \)
- 👉 Adım 3: \( x \)'in alabileceği tam sayı değerlerini listeleyelim.
- \( x \) değerleri 7'den büyük ve 23'ten küçük olmalıdır.
- Bu değerler: 8, 9, 10, ..., 22'dir.
- 👉 Adım 4: Tam sayı adedini hesaplayalım.
- Bir aralıktaki tam sayı adedini bulmak için (Son Terim - İlk Terim) + 1 formülünü kullanabiliriz.
- \( 22 - 8 + 1 = 15 \)
- ✅ Buna göre, üçüncü kenar 15 farklı tam sayı değeri alabilir.
Örnek 3:
Bir üçgenin kenar uzunlukları 6 cm, 10 cm ve \( (2x-4) \) cm'dir. Buna göre, \( x \)'in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? 📌
Çözüm:
Üçgen eşitsizliğini kullanarak \( x \)'in aralığını bulup, en büyük tam sayı değerini belirleyeceğiz.
- 👉 Adım 1: Üçgenin kenar uzunluklarını not alalım.
- Kenarlar: 6 cm, 10 cm, \( (2x-4) \) cm.
- 👉 Adım 2: Üçgen eşitsizliğini \( (2x-4) \) kenarı için uygulayalım.
- \( |10 - 6| < 2x - 4 < 10 + 6 \)
- \( 4 < 2x - 4 < 16 \)
- 👉 Adım 3: Eşitsizliği \( x \) için çözmek üzere her tarafa 4 ekleyelim.
- \( 4 + 4 < 2x - 4 + 4 < 16 + 4 \)
- \( 8 < 2x < 20 \)
- 👉 Adım 4: Eşitsizliğin her tarafını 2'ye bölelim.
- \[ \frac{8}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{20}{2} \]
- \( 4 < x < 10 \)
- 👉 Adım 5: \( x \)'in alabileceği en büyük tam sayı değerini bulalım.
- \( x \) değeri 4'ten büyük ve 10'dan küçük olmalıdır.
- Bu aralıktaki tam sayılar 5, 6, 7, 8, 9'dur.
- En büyük tam sayı değeri 9'dur.
- ✅ Buna göre, \( x \)'in alabileceği en büyük tam sayı değeri 9'dur.
Örnek 4:
Aşağıda verilen şekil, ortak kenarı \( [BD] \) olan iki üçgenden oluşmaktadır.
ABC üçgeninin kenar uzunlukları 6 cm, 9 cm ve \( |BD| \) cm'dir.
BCD üçgeninin kenar uzunlukları ise 5 cm, 12 cm ve \( |BD| \) cm'dir.
Buna göre, \( |BD| \) kenar uzunluğunun alabileceği tam sayı değerleri toplamı kaçtır? 📐
ABC üçgeninin kenar uzunlukları 6 cm, 9 cm ve \( |BD| \) cm'dir.
BCD üçgeninin kenar uzunlukları ise 5 cm, 12 cm ve \( |BD| \) cm'dir.
Buna göre, \( |BD| \) kenar uzunluğunun alabileceği tam sayı değerleri toplamı kaçtır? 📐
Çözüm:
Bu problemde, iki farklı üçgen için ayrı ayrı üçgen eşitsizliği uygulayıp, ortak kenarın her iki eşitsizliği de sağlaması gereken aralığı bulacağız.
- 👉 Adım 1: ABC üçgeni için üçgen eşitsizliğini uygulayalım.
- Kenarlar: 6 cm, 9 cm, \( |BD| \)
- \( |9 - 6| < |BD| < 9 + 6 \)
- \( 3 < |BD| < 15 \) (Eşitsizlik 1)
- 👉 Adım 2: BCD üçgeni için üçgen eşitsizliğini uygulayalım.
- Kenarlar: 5 cm, 12 cm, \( |BD| \)
- \( |12 - 5| < |BD| < 12 + 5 \)
- \( 7 < |BD| < 17 \) (Eşitsizlik 2)
- 👉 Adım 3: Her iki eşitsizliği de sağlayan ortak aralığı bulalım.
- Eşitsizlik 1'den \( |BD| \)'nin alt sınırı 3, üst sınırı 15.
- Eşitsizlik 2'den \( |BD| \)'nin alt sınırı 7, üst sınırı 17.
- Ortak alt sınır için büyük olanı alırız: \( \text{maks}(3, 7) = 7 \)
- Ortak üst sınır için küçük olanı alırız: \( \text{min}(15, 17) = 15 \)
- Böylece, \( |BD| \) için ortak aralık: \( 7 < |BD| < 15 \)
- 👉 Adım 4: \( |BD| \)'nin alabileceği tam sayı değerlerini bulalım.
- Bu aralıktaki tam sayılar: 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14'tür.
- 👉 Adım 5: Bu tam sayı değerlerinin toplamını hesaplayalım.
- \( 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 77 \)
- ✅ \( |BD| \) kenar uzunluğunun alabileceği tam sayı değerleri toplamı 77'dir.
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları \( a \), \( b \) ve \( c \) olmak üzere, \( a = 10 \) cm ve \( b = 18 \) cm olarak verilmiştir. Bu üçgenin çevresi bir tam sayı olduğuna göre, üçüncü kenar \( c \)'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? 🧐
Çözüm:
Bu problemde, hem üçgen eşitsizliğini hem de çevrenin tam sayı olma koşulunu birlikte değerlendireceğiz.
- 👉 Adım 1: Üçgen eşitsizliğini kullanarak \( c \)'nin alabileceği aralığı bulalım.
- Kenarlar: 10 cm, 18 cm, \( c \)
- \( |18 - 10| < c < 18 + 10 \)
- \( 8 < c < 28 \)
- 👉 Adım 2: Çevrenin tanımını yazalım.
- Çevre \( (Ç) = a + b + c \)
- \( Ç = 10 + 18 + c \)
- \( Ç = 28 + c \)
- 👉 Adım 3: Çevrenin bir tam sayı olma koşulunu değerlendirelim.
- \( a \) ve \( b \) tam sayı olduğu için, \( c \) de tam sayı olursa çevre de tam sayı olur.
- Ancak, \( c \) bir tam sayı olmak zorunda değildir, sadece üçgen eşitsizliğini sağlamalıdır. Çevre tam sayı olmalı.
- 👉 Adım 4: \( c \)'nin en küçük tam sayı değerini bulmak için, \( c \) için bulduğumuz aralığı kullanalım.
- \( c > 8 \) olduğu için, \( c \) 8'den büyük herhangi bir reel sayı olabilir.
- Çevre \( Ç = 28 + c \) olduğu için, \( c \) değeri arttıkça çevre de artar.
- Bizden \( c \)'nin en küçük tam sayı değeri istendiği için, \( c \)'nin kendisinin de tam sayı olması gerektiğini düşünebiliriz.
- Eğer \( c \) bir tam sayı olsaydı, \( c \)'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri 9 olurdu. Bu durumda çevre \( 28 + 9 = 37 \) olurdu.
- ✅ Bu tür sorularda genellikle "üçüncü kenar bir tam sayı" veya "çevre bir tam sayı" denir. Eğer \( c \)'nin kendisinin tam sayı olduğu belirtilmemişse ve sadece çevrenin tam sayı olduğu belirtilmişse, \( c \)'nin tam sayı olması şart değildir. Ancak 9. sınıf müfredatında bu tür ince detaylar genellikle göz ardı edilerek \( c \)'nin de tam sayı olması beklenir. Bu durumda, \( c \)'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri 9'dur.
Örnek 6:
Umut, elindeki 25 cm uzunluğundaki bir teli üç parçaya ayırarak bir üçgen oluşturmak istiyor. Parçaların her birinin uzunluğu birer tam sayı olduğuna göre, Umut bu teli kaç farklı şekilde kesebilir? ✂️
Çözüm:
Bu problem, üçgen eşitsizliğini ve tam sayı kombinasyonlarını birleştirir.
- 👉 Adım 1: Telin uzunluğu ve parça sayısını belirleyelim.
- Toplam tel uzunluğu = 25 cm.
- Üç parçanın uzunlukları \( a \), \( b \), \( c \) olsun.
- \( a + b + c = 25 \) ve \( a, b, c \) birer pozitif tam sayıdır.
- 👉 Adım 2: Üçgen eşitsizliği kuralını uygulayalım.
- Bir üçgen oluşturulabilmesi için, herhangi iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır.
- Örneğin, \( a + b > c \).
- \( a + b + c = 25 \) olduğundan, \( a + b = 25 - c \) yazabiliriz.
- Bu durumda eşitsizlik \( 25 - c > c \) haline gelir.
- \( 25 > 2c \Rightarrow c < 12.5 \)
- 👉 Adım 3: Benzer şekilde diğer kenarlar için de eşitsizlikleri yazabiliriz.
- \( a < 12.5 \)
- \( b < 12.5 \)
- \( c < 12.5 \)
- 👉 Adım 4: \( a, b, c \) pozitif tam sayılar olduğundan, her bir kenarın alabileceği en büyük tam sayı değeri 12'dir.
- Yani, \( 1 \le a, b, c \le 12 \).
- 👉 Adım 5: Şimdi, \( a + b + c = 25 \) koşulunu sağlayan ve \( a, b, c \) değerleri 12'den büyük olmayan tam sayı üçlülerini bulmalıyız. Bu tür sorularda genellikle deneme yanılma veya sistemli bir listeleme yapılır.
- \( a \) için en küçük değerden başlayalım ve \( a \le b \le c \) kabul ederek tekrar eden durumları engelleriz. (Sonra permütasyonlarını sayarız)
- Eğer \( a=1 \), \( b=12 \) ise \( c=12 \). (1, 12, 12) -> \( 1+12 > 12 \) (EVET)
- Eğer \( a=2 \), \( b=11 \) ise \( c=12 \). (2, 11, 12) -> \( 2+11 > 12 \) (EVET)
- Eğer \( a=3 \), \( b=10 \) ise \( c=12 \). (3, 10, 12) -> \( 3+10 > 12 \) (EVET)
- Eğer \( a=3 \), \( b=11 \) ise \( c=11 \). (3, 11, 11) -> \( 3+11 > 11 \) (EVET)
- Eğer \( a=4 \), \( b=9 \) ise \( c=12 \). (4, 9, 12) -> \( 4+9 > 12 \) (EVET)
- Eğer \( a=4 \), \( b=10 \) ise \( c=11 \). (4, 10, 11) -> \( 4+10 > 11 \) (EVET)
- Eğer \( a=5 \), \( b=8 \) ise \( c=12 \). (5, 8, 12) -> \( 5+8 > 12 \) (EVET)
- Eğer \( a=5 \), \( b=9 \) ise \( c=11 \). (5, 9, 11) -> \( 5+9 > 11 \) (EVET)
- Eğer \( a=5 \), \( b=10 \) ise \( c=10 \). (5, 10, 10) -> \( 5+10 > 10 \) (EVET)
- Eğer \( a=6 \), \( b=7 \) ise \( c=12 \). (6, 7, 12) -> \( 6+7 > 12 \) (EVET)
- Eğer \( a=6 \), \( b=8 \) ise \( c=11 \). (6, 8, 11) -> \( 6+8 > 11 \) (EVET)
- Eğer \( a=6 \), \( b=9 \) ise \( c=10 \). (6, 9, 10) -> \( 6+9 > 10 \) (EVET)
- Eğer \( a=7 \), \( b=7 \) ise \( c=11 \). (7, 7, 11) -> \( 7+7 > 11 \) (EVET)
- Eğer \( a=7 \), \( b=8 \) ise \( c=10 \). (7, 8, 10) -> \( 7+8 > 10 \) (EVET)
- Eğer \( a=7 \), \( b=9 \) ise \( c=9 \). (7, 9, 9) -> \( 7+9 > 9 \) (EVET)
- Eğer \( a=8 \), \( b=8 \) ise \( c=9 \). (8, 8, 9) -> \( 8+8 > 9 \) (EVET)
- 👉 Adım 6: Bu listedeki her bir üçlü, benzersiz bir kesim şeklini temsil eder (sıra önemli değil).
- Toplamda 16 farklı üçlü bulduk.
- ✅ Umut bu teli 16 farklı şekilde keserek bir üçgen oluşturabilir.
Örnek 7:
Bir ABCD dörtgeninde köşegen \( [AC] \) çizilmiştir.
ABC üçgeninin kenar uzunlukları 5 cm ve 10 cm'dir.
ADC üçgeninin kenar uzunlukları ise 4 cm ve 13 cm'dir.
Buna göre, \( [AC] \) köşegeninin uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? 🏞️
ABC üçgeninin kenar uzunlukları 5 cm ve 10 cm'dir.
ADC üçgeninin kenar uzunlukları ise 4 cm ve 13 cm'dir.
Buna göre, \( [AC] \) köşegeninin uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? 🏞️
Çözüm:
Bu problemde, ortak bir kenar olan \( [AC] \) köşegeni için iki farklı üçgen eşitsizliği uygulayacağız.
- 👉 Adım 1: ABC üçgeni için üçgen eşitsizliğini uygulayalım.
- Kenarlar: 5 cm, 10 cm, \( |AC| \)
- \( |10 - 5| < |AC| < 10 + 5 \)
- \( 5 < |AC| < 15 \) (Eşitsizlik 1)
- 👉 Adım 2: ADC üçgeni için üçgen eşitsizliğini uygulayalım.
- Kenarlar: 4 cm, 13 cm, \( |AC| \)
- \( |13 - 4| < |AC| < 13 + 4 \)
- \( 9 < |AC| < 17 \) (Eşitsizlik 2)
- 👉 Adım 3: Her iki eşitsizliği de sağlayan ortak aralığı bulalım.
- Eşitsizlik 1'den \( |AC| \)'nin alt sınırı 5, üst sınırı 15.
- Eşitsizlik 2'den \( |AC| \)'nin alt sınırı 9, üst sınırı 17.
- Ortak alt sınır için büyük olanı alırız: \( \text{maks}(5, 9) = 9 \)
- Ortak üst sınır için küçük olanı alırız: \( \text{min}(15, 17) = 15 \)
- Böylece, \( |AC| \) için ortak aralık: \( 9 < |AC| < 15 \)
- 👉 Adım 4: \( |AC| \)'nin alabileceği tam sayı değerlerini bulalım.
- Bu aralıktaki tam sayılar: 10, 11, 12, 13, 14'tür.
- 👉 Adım 5: Bu tam sayı değerlerinin toplamını hesaplayalım.
- \( 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 60 \)
- ✅ \( [AC] \) köşegeninin uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 60'tır.
Örnek 8:
Bir mühendis, A, B ve C şehirlerini birbirine bağlayacak yeni yollar tasarlamaktadır. A şehri ile B şehri arasındaki yol 20 km, B şehri ile C şehri arasındaki yol ise 35 km olarak belirlenmiştir. Buna göre, A şehri ile C şehri arasındaki yeni yolun uzunluğu (bir tam sayı cinsinden) en az kaç km olabilir? 🛣️
Çözüm:
Bu problem, üç şehir arasındaki mesafeleri bir üçgenin kenarları olarak düşünerek üçgen eşitsizliğini uygulamamızı gerektirir.
- 👉 Adım 1: Şehirler arası mesafeleri üçgenin kenarları olarak kabul edelim.
- \( |AB| = 20 \) km
- \( |BC| = 35 \) km
- \( |AC| = x \) km (A ile C arası yolun uzunluğu)
- 👉 Adım 2: Üçgen eşitsizliğini \( |AC| \) kenarı için uygulayalım.
- \( |35 - 20| < x < 35 + 20 \)
- \( 15 < x < 55 \)
- 👉 Adım 3: \( x \)'in alabileceği en küçük tam sayı değerini bulalım.
- Eşitsizliğe göre \( x \), 15'ten büyük olmalıdır.
- Bu durumda, 15'ten büyük olan ilk tam sayı 16'dır.
- ✅ A şehri ile C şehri arasındaki yeni yolun uzunluğu en az 16 km olabilir.
Örnek 9:
Bir çiftçi, tarlasının etrafına çit çekmek istiyor. Tarlası üçgen şeklinde olup, iki kenarının uzunluğu 40 metre ve 75 metredir. Çiftçi, elindeki mevcut çit malzemesiyle üçüncü kenarı da çevirecektir. Üçüncü kenarın uzunluğu bir tam sayı olacağına göre, çiftçinin en fazla kaç metre çit malzemesine ihtiyacı olabilir? (Mevcut çit malzemesi tam olarak kullanılacaktır.) 🚜
Çözüm:
Bu senaryoda, üçüncü kenarın alabileceği en büyük tam sayı değerini bulup, tarlanın çevresini hesaplayarak çit malzemesi ihtiyacını belirleyeceğiz.
- 👉 Adım 1: Tarlanın kenar uzunluklarını belirleyelim.
- Birinci kenar = 40 metre
- İkinci kenar = 75 metre
- Üçüncü kenar = \( x \) metre (bir tam sayı)
- 👉 Adım 2: Üçgen eşitsizliğini \( x \) kenarı için uygulayalım.
- \( |75 - 40| < x < 75 + 40 \)
- \( 35 < x < 115 \)
- 👉 Adım 3: \( x \)'in alabileceği en büyük tam sayı değerini bulalım.
- Eşitsizliğe göre \( x \), 115'ten küçük olmalıdır.
- Bu durumda, 115'ten küçük olan en büyük tam sayı 114'tür.
- 👉 Adım 4: Çiftçinin en fazla kaç metre çit malzemesine ihtiyacı olabileceğini hesaplayalım.
- Bu, üçgenin çevresinin en büyük değerini bulmak anlamına gelir.
- Çevre = Kenar 1 + Kenar 2 + Kenar 3
- Çevre \( = 40 + 75 + x \)
- \( x \)'in en büyük değeri 114 olduğu için, en büyük çevre:
- Çevre \( = 40 + 75 + 114 = 229 \) metre
- ✅ Çiftçinin en fazla 229 metre çit malzemesine ihtiyacı olabilir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgen-esitsizligi/sorular