🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgen Eşitlik Ve Benzerlikleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgen Eşitlik Ve Benzerlikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni veriliyor.
Kenar uzunlukları aşağıdaki gibidir:
ABC üçgeninde: \(|AB| = 5\) cm, \(|BC| = 7\) cm, \(|AC| = 9\) cm.
DEF üçgeninde: \(|DE| = 5\) cm, \(|EF| = 7\) cm, \(|DF| = 9\) cm.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz. Eğer eş iseler, hangi eşlik kuralına göre eş olduklarını açıklayınız. 🤔
Kenar uzunlukları aşağıdaki gibidir:
ABC üçgeninde: \(|AB| = 5\) cm, \(|BC| = 7\) cm, \(|AC| = 9\) cm.
DEF üçgeninde: \(|DE| = 5\) cm, \(|EF| = 7\) cm, \(|DF| = 9\) cm.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz. Eğer eş iseler, hangi eşlik kuralına göre eş olduklarını açıklayınız. 🤔
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Üçgenlerde Eşlik Kurallarını hatırlamamız gerekiyor. Özellikle Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) Eşlik Kuralı burada işimize yarayacak.
- 👉 Öncelikle verilen kenar uzunluklarını kontrol edelim:
- ABC üçgeninin kenarları: \(|AB| = 5\) cm, \(|BC| = 7\) cm, \(|AC| = 9\) cm.
- DEF üçgeninin kenarları: \(|DE| = 5\) cm, \(|EF| = 7\) cm, \(|DF| = 9\) cm.
- 📌 Karşılıklı kenarların uzunluklarını eşleştirelim:
- \(|AB| = |DE| = 5\) cm
- \(|BC| = |EF| = 7\) cm
- \(|AC| = |DF| = 9\) cm
- ✅ Gördüğümüz gibi, her iki üçgenin de karşılıklı tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir.
- 💡 Bu durum, Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) Eşlik Kuralı'nı sağlamaktadır.
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde \(|AB| = 6\) cm, \(|AC| = 8\) cm ve \(m(\widehat{BAC}) = 50^\circ\) olarak verilmiştir.
Bir DEF üçgeninde ise \(|DE| = 6\) cm, \(|DF| = 8\) cm ve \(m(\widehat{EDF}) = 50^\circ\) olarak verilmiştir.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz ve hangi eşlik kuralına göre eş olduklarını açıklayınız. 📐
Bir DEF üçgeninde ise \(|DE| = 6\) cm, \(|DF| = 8\) cm ve \(m(\widehat{EDF}) = 50^\circ\) olarak verilmiştir.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz ve hangi eşlik kuralına göre eş olduklarını açıklayınız. 📐
Çözüm:
Bu soruda, iki kenar uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açının ölçüsü verilmiştir. Bu durumda Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.) Eşlik Kuralı'nı kullanacağız.
- 👉 Verilen bilgileri kontrol edelim:
- ABC üçgeni için:
- \(|AB| = 6\) cm
- \(|AC| = 8\) cm
- Bu iki kenar arasındaki açı \(m(\widehat{BAC}) = 50^\circ\)
- DEF üçgeni için:
- \(|DE| = 6\) cm
- \(|DF| = 8\) cm
- Bu iki kenar arasındaki açı \(m(\widehat{EDF}) = 50^\circ\)
- 📌 Karşılıklı kenar ve açıları eşleştirelim:
- \(|AB| = |DE| = 6\) cm
- \(|AC| = |DF| = 8\) cm
- Bu kenarlar arasındaki açılar \(m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{EDF}) = 50^\circ\)
- ✅ Gördüğümüz gibi, iki üçgenin ikişer kenarı ve bu kenarlar arasında kalan açıları birbirine eşittir.
- 💡 Bu durum, Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.) Eşlik Kuralı'nı sağlamaktadır.
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde \(m(\widehat{BAC}) = 70^\circ\), \(m(\widehat{ABC}) = 60^\circ\) ve \(|BC| = 10\) cm olarak verilmiştir.
Bir KLM üçgeninde ise \(m(\widehat{LKM}) = 70^\circ\), \(m(\widehat{KLM}) = 60^\circ\) ve \(|LM| = 10\) cm olarak verilmiştir.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz ve hangi eşlik kuralına göre eş olduklarını açıklayınız. 🤓
Bir KLM üçgeninde ise \(m(\widehat{LKM}) = 70^\circ\), \(m(\widehat{KLM}) = 60^\circ\) ve \(|LM| = 10\) cm olarak verilmiştir.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz ve hangi eşlik kuralına göre eş olduklarını açıklayınız. 🤓
Çözüm:
Bu problemde, iki açının ölçüsü ve bu iki açı arasında kalan kenarın uzunluğu verilmiştir. Bu durumda Açı-Kenar-Açı (A.K.A.) Eşlik Kuralı'nı kullanmalıyız.
- 👉 Verilen bilgileri inceleyelim:
- ABC üçgeni için:
- \(m(\widehat{BAC}) = 70^\circ\)
- \(m(\widehat{ABC}) = 60^\circ\)
- Bu iki açı arasında kalan kenar \(|BC| = 10\) cm
- KLM üçgeni için:
- \(m(\widehat{LKM}) = 70^\circ\) (K açısı)
- \(m(\widehat{KLM}) = 60^\circ\) (L açısı)
- Bu iki açı arasında kalan kenar \(|LM| = 10\) cm
- 📌 Karşılıklı açıları ve bu açılar arasındaki kenarı eşleştirelim:
- \(m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{LKM}) = 70^\circ\)
- \(m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{KLM}) = 60^\circ\)
- Bu açılar arasında kalan kenarlar \(|BC| = |LM| = 10\) cm
- ✅ Gördüğümüz gibi, iki üçgenin ikişer açısı ve bu açılar arasında kalan kenarları birbirine eşittir.
- 💡 Bu durum, Açı-Kenar-Açı (A.K.A.) Eşlik Kuralı'nı sağlamaktadır.
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde \(m(\widehat{A}) = 80^\circ\) ve \(m(\widehat{B}) = 40^\circ\) olarak verilmiştir.
Bir DEF üçgeninde ise \(m(\widehat{D}) = 80^\circ\) ve \(m(\widehat{E}) = 40^\circ\) olarak verilmiştir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz ve hangi benzerlik kuralına göre benzer olduklarını açıklayınız. 🤔
Bir DEF üçgeninde ise \(m(\widehat{D}) = 80^\circ\) ve \(m(\widehat{E}) = 40^\circ\) olarak verilmiştir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz ve hangi benzerlik kuralına göre benzer olduklarını açıklayınız. 🤔
Çözüm:
Bu tür bir soruda, üçgenlerin sadece açıları hakkında bilgi verildiğinde Açı-Açı (A.A.) Benzerlik Teoremi'ni kullanırız.
- 👉 Verilen açıları inceleyelim:
- ABC üçgeninde: \(m(\widehat{A}) = 80^\circ\), \(m(\widehat{B}) = 40^\circ\).
- DEF üçgeninde: \(m(\widehat{D}) = 80^\circ\), \(m(\widehat{E}) = 40^\circ\).
- 📌 Karşılıklı açıları eşleştirelim:
- \(m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) = 80^\circ\)
- \(m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) = 40^\circ\)
- ✅ İki üçgenin ikişer açısının ölçüleri birbirine eşit olduğu için, üçüncü açılarının da eşit olması gerekir (çünkü üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\)dir).
- ABC üçgeninde \(m(\widehat{C}) = 180^\circ - (80^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\).
- DEF üçgeninde \(m(\widehat{F}) = 180^\circ - (80^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\).
- Yani, \(m(\widehat{C}) = m(\widehat{F})\).
- 💡 Bu durum, Açı-Açı (A.A.) Benzerlik Teoremi'ni sağlamaktadır. Eğer iki üçgenin karşılıklı iki açısı eşitse, bu üçgenler benzerdir.
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde, BC kenarına paralel olan bir DE doğru parçası çizilmiştir. D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası ise AC kenarı üzerindedir.
Verilen uzunluklar: \(|AD| = 4\) cm, \(|DB| = 2\) cm ve \(|AE| = 6\) cm'dir.
Buna göre \(|EC|\) uzunluğunu bulunuz. 📏
Verilen uzunluklar: \(|AD| = 4\) cm, \(|DB| = 2\) cm ve \(|AE| = 6\) cm'dir.
Buna göre \(|EC|\) uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu problemde, bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru parçasının oluşturduğu benzerlik durumu olan Temel Benzerlik Teoremi (Thales Teoremi)'ni kullanacağız.
- 👉 Öncelikle verilen bilgileri düzenleyelim:
- \(DE \parallel BC\) (DE doğru parçası BC kenarına paraleldir.)
- \(|AD| = 4\) cm
- \(|DB| = 2\) cm
- \(|AE| = 6\) cm
- 📌 Temel Benzerlik Teoremi'ne göre, eğer bir doğru parçası üçgenin bir kenarına paralelse, diğer iki kenarı orantılı olarak böler. Bu durumda, aşağıdaki oran geçerlidir: \[ \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \]
- 💡 Şimdi verilen değerleri bu orana yerleştirelim: \[ \frac{4}{2} = \frac{6}{|EC|} \]
- Hesaplamayı yapalım:
- \(2 = \frac{6}{|EC|}\)
- \(2 \cdot |EC| = 6\)
- \(|EC| = \frac{6}{2}\)
- \(|EC| = 3\) cm
- ✅ Böylece, \(|EC|\) uzunluğunu 3 cm olarak bulduk.
Örnek 6:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni veriliyor.
Kenar uzunlukları aşağıdaki gibidir:
ABC üçgeninde: \(|AB| = 6\) cm, \(|BC| = 9\) cm, \(|AC| = 12\) cm.
DEF üçgeninde: \(|DE| = 4\) cm, \(|EF| = 6\) cm, \(|DF| = 8\) cm.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz. Eğer benzer iseler, hangi benzerlik kuralına göre benzer olduklarını ve benzerlik oranını açıklayınız. 🧐
Kenar uzunlukları aşağıdaki gibidir:
ABC üçgeninde: \(|AB| = 6\) cm, \(|BC| = 9\) cm, \(|AC| = 12\) cm.
DEF üçgeninde: \(|DE| = 4\) cm, \(|EF| = 6\) cm, \(|DF| = 8\) cm.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz. Eğer benzer iseler, hangi benzerlik kuralına göre benzer olduklarını ve benzerlik oranını açıklayınız. 🧐
Çözüm:
Bu soruda, iki üçgenin tüm kenar uzunlukları verilmiştir. Bu durumda Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) Benzerlik Teoremi'ni kullanmalıyız.
- 👉 Verilen kenar uzunluklarını listeleyelim:
- ABC üçgeni: \(|AB| = 6\) cm, \(|BC| = 9\) cm, \(|AC| = 12\) cm.
- DEF üçgeni: \(|DE| = 4\) cm, \(|EF| = 6\) cm, \(|DF| = 8\) cm.
- 📌 Benzerlik olup olmadığını anlamak için karşılıklı kenarların oranlarını kontrol etmemiz gerekiyor. Kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayarak eşleştirme yapabiliriz:
- En küçük kenarlar: \(|AB| = 6\) ve \(|DE| = 4\). Oran: \( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)
- Ortanca kenarlar: \(|BC| = 9\) ve \(|EF| = 6\). Oran: \( \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \)
- En büyük kenarlar: \(|AC| = 12\) ve \(|DF| = 8\). Oran: \( \frac{|AC|}{|DF|} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \)
- ✅ Gördüğümüz gibi, karşılıklı tüm kenar çiftlerinin oranları birbirine eşittir ve bu oran \( \frac{3}{2} \)dir.
- 💡 Bu durum, Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) Benzerlik Teoremi'ni sağlamaktadır.
Örnek 7:
Bir mühendis, bir binanın yüksekliğini doğrudan ölçemediği için benzerlik prensibini kullanmaya karar vermiştir.
Mühendis, yerden 1.5 metre yükseklikteki bir gözlem noktasından (A noktası), binanın en üst noktasını (C noktası) ve binanın önündeki 3 metre uzunluğundaki bir direğin (DE) en üst noktasını (D noktası) aynı hizaya getiriyor.
Mühendisin gözlem noktası ile direk arasındaki yatay uzaklık 4 metre, direk ile bina arasındaki yatay uzaklık ise 20 metredir.
Buna göre binanın yüksekliğini bulunuz. (Direk ve bina yere dik durumdadır.) 🏗️
Mühendis, yerden 1.5 metre yükseklikteki bir gözlem noktasından (A noktası), binanın en üst noktasını (C noktası) ve binanın önündeki 3 metre uzunluğundaki bir direğin (DE) en üst noktasını (D noktası) aynı hizaya getiriyor.
Mühendisin gözlem noktası ile direk arasındaki yatay uzaklık 4 metre, direk ile bina arasındaki yatay uzaklık ise 20 metredir.
Buna göre binanın yüksekliğini bulunuz. (Direk ve bina yere dik durumdadır.) 🏗️
Çözüm:
Bu problem, benzer üçgenlerin günlük hayatta bir uygulama örneğidir. Şekli zihnimizde canlandırdığımızda, iki benzer üçgen oluştuğunu göreceğiz.
- 👉 Verilenleri betimleyelim:
- Gözlem noktası (A) yerden 1.5 m yükseklikte.
- Direk (DE) yüksekliği 3 m.
- Gözlem noktası ile direk arası yatay uzaklık: \(|AB'| = 4\) m. (B' direğin tabanındaki noktanın A noktasına göre yatay izdüşümü)
- Direk ile bina arası yatay uzaklık: \(|B'C'| = 20\) m. (C' binanın tabanındaki noktanın A noktasına göre yatay izdüşümü)
- 📌 Bu durumu iki üçgen şeklinde düşünebiliriz:
- Birinci üçgen: Gözlem noktasının yatayından direğin tepesine kadar olan kısım. Bu üçgenin yüksekliği \(|D'D| = |DE| - 1.5 = 3 - 1.5 = 1.5\) m'dir. Yatay kenarı \(|AB'| = 4\) m'dir. (D' noktası D noktasının A noktasının yatay hizasındaki izdüşümüdür.)
- İkinci üçgen: Gözlem noktasının yatayından binanın tepesine kadar olan kısım. Bu üçgenin yüksekliği binanın yüksekliğinden gözlem noktasının yüksekliğinin çıkarılmış halidir. Yatay kenarı \(|AC'| = |AB'| + |B'C'| = 4 + 20 = 24\) m'dir.
- 💡 Bu iki üçgen Açı-Açı (A.A.) Benzerlik Teoremi'ne göre benzerdir, çünkü her ikisi de gözlem noktasından tepe noktasına doğru uzanan aynı "görüş açısını" paylaşır ve yatay kenarları yere diktir.
- Benzerlik oranını kullanarak binanın yüksekliğini bulalım. Binanın yüksekliği \(H\) olsun. Gözlem noktasının yatayından binanın tepesine kadar olan yükseklik \(H - 1.5\) olacaktır. \[ \frac{\text{Küçük üçgenin yüksekliği}}{\text{Büyük üçgenin yüksekliği}} = \frac{\text{Küçük üçgenin yatay kenarı}}{\text{Büyük üçgenin yatay kenarı}} \] \[ \frac{1.5}{H - 1.5} = \frac{4}{24} \]
- Denklemi çözelim: \[ \frac{1.5}{H - 1.5} = \frac{1}{6} \] \[ 1.5 \cdot 6 = 1 \cdot (H - 1.5) \] \[ 9 = H - 1.5 \] \[ H = 9 + 1.5 \] \[ H = 10.5 \text{ metre} \]
- ✅ Binanın yüksekliği 10.5 metredir.
Örnek 8:
Ayşe, bir ağacın boyunu ölçmek istiyor ancak ağaç çok yüksek. Güneşli bir günde, kendi boyunun ve gölge boyunun oranını kullanarak ağacın boyunu tahmin etmeye karar veriyor.
Ayşe'nin boyu 1.60 metre ve o anki gölge boyu 2.40 metredir.
Ağacın gölge boyu ise 12 metredir.
Buna göre ağacın boyu yaklaşık olarak kaç metredir? (Ayşe ve ağaç yere dik durmaktadır.) 🌳
Ayşe'nin boyu 1.60 metre ve o anki gölge boyu 2.40 metredir.
Ağacın gölge boyu ise 12 metredir.
Buna göre ağacın boyu yaklaşık olarak kaç metredir? (Ayşe ve ağaç yere dik durmaktadır.) 🌳
Çözüm:
Bu problem, günlük hayatta benzer üçgenlerin en sık karşılaşılan uygulamalarından biridir: gölge boyu hesaplamaları. Güneş ışınları paralel geldiği için, aynı anda oluşan gölgeler benzer üçgenler oluşturur.
- 👉 Verilen bilgileri not edelim:
- Ayşe'nin boyu: \(H_{Ayşe} = 1.60\) m
- Ayşe'nin gölge boyu: \(G_{Ayşe} = 2.40\) m
- Ağacın gölge boyu: \(G_{Ağaç} = 12\) m
- Ağacın boyu: \(H_{Ağaç}\) (Bunu bulacağız.)
- 📌 Ayşe'nin boyu ve gölge boyu ile ağacın boyu ve gölge boyu arasında oluşan üçgenler benzerdir. Bu benzerlik, güneş ışınlarının geliş açısının her iki durumda da aynı olmasından kaynaklanır (A.A. Benzerlik). Dolayısıyla, boyların oranı gölge boylarının oranına eşit olacaktır: \[ \frac{H_{Ayşe}}{G_{Ayşe}} = \frac{H_{Ağaç}}{G_{Ağaç}} \]
- 💡 Şimdi verilen değerleri formüle yerleştirelim: \[ \frac{1.60}{2.40} = \frac{H_{Ağaç}}{12} \]
- Denklemi çözmek için oranları sadeleştirelim: \[ \frac{160}{240} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3} \] \[ \frac{2}{3} = \frac{H_{Ağaç}}{12} \]
- Şimdi içler dışlar çarpımı yapalım: \[ 3 \cdot H_{Ağaç} = 2 \cdot 12 \] \[ 3 \cdot H_{Ağaç} = 24 \] \[ H_{Ağaç} = \frac{24}{3} \] \[ H_{Ağaç} = 8 \text{ metre} \]
- ✅ Ağacın boyu yaklaşık olarak 8 metredir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgen-esitlik-ve-benzerlikleri/sorular