🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgen Benzerlikleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgen Benzerlikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, BC kenarına paralel bir DE doğru parçası çizilmiştir. D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası ise AC kenarı üzerindedir.
Eğer \( |AD| = 4 \) cm, \( |DB| = 6 \) cm ve \( |AE| = 5 \) cm ise, \( |EC| \) kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu problemde, temel üçgen benzerliği teoremini kullanacağız. BC kenarına paralel DE doğru parçası çizildiği için, ABC üçgeni ile ADE üçgeni benzerdir.
- Benzerlik Durumu: AA Benzerliği. Çünkü DE || BC olduğundan,
\( \angle ADE = \angle ABC \) (yöndeş açılar)
\( \angle AED = \angle ACB \) (yöndeş açılar)
\( \angle DAE = \angle BAC \) (ortak açı) - Benzerlik Oranı: Benzer üçgenlerin karşılıklı kenarları orantılıdır.
\( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|} \) - Verilen Değerleri Yerine Koyma:
\( |AB| = |AD| + |DB| = 4 + 6 = 10 \) cm
\( |AC| = |AE| + |EC| = 5 + |EC| \) cm - Orantıyı Kurma:
\( \frac{4}{10} = \frac{5}{5 + |EC|} \) - Çözüm: İçler dışlar çarpımı yapalım:
\( 4 \times (5 + |EC|) = 10 \times 5 \)
\( 20 + 4|EC| = 50 \)
\( 4|EC| = 50 - 20 \)
\( 4|EC| = 30 \)
\( |EC| = \frac{30}{4} \)
\( |EC| = 7.5 \) cm
Örnek 2:
Bir parkta, gökyüzüne doğru yükselen bir balonun tepesi ile yere dik duran bir ağacın tepesi aynı doğrultudadır. Balonun yerden yüksekliği 20 metre, ağacın boyu ise 8 metredir. Balonun tepesinden ağacın tepesine çizilen doğru parçası, ağacın tabanından 6 metre uzaklıktadır. 🌳🎈
Bu bilgilere göre, balonun ağaca olan yatay uzaklığı kaç metredir?
Çözüm:
Bu durumu bir üçgen benzerliği problemi olarak modelleyebiliriz.
- Şekil Betimlemesi: Yere dik duran ağacı bir dik kenar, balonun yerden yüksekliğini diğer dik kenar olarak düşünelim. Balonun tepesi ile ağacın tepesini birleştiren doğru parçası, benzer üçgenlerin hipotenüslerini oluşturacaktır.
- Benzer Üçgenler: Birinci üçgenimiz, ağacın boyunu ve ağacın tabanından balonun tepesine olan yatay uzaklığı içeren büyük üçgen olsun. İkinci üçgenimiz ise, balonun yerden yüksekliğini ve ağacın tabanından balonun tepesine olan yatay uzaklığı içeren daha küçük bir üçgen olsun. Bu iki üçgen benzerdir (yöndeş açılar ve ortak açı nedeniyle).
- Verilenler:
Ağacın boyu = \( 8 \) m
Balonun yerden yüksekliği = \( 20 \) m
Balonun tepesinden ağacın tepesine olan uzaklık (doğrusal) = \( 6 \) m (Bu, aslında balonun tepesinden ağacın tabanına olan yatay uzaklık olarak yorumlanmalıdır, çünkü soru metni bu şekilde kurulmuş.) - Değişken Tanımlama: Balonun ağaca olan yatay uzaklığı \( x \) metre olsun.
- Benzerlik Oranı:
\( \frac{\text{Ağacın Boyu}}{\text{Balonun Yüksekliği}} = \frac{\text{Ağacın Tabanından Balona Yatay Uzaklık}}{\text{Balonun Tabanından Balona Yatay Uzaklık}} \)
\( \frac{8}{20} = \frac{6}{x} \) - Çözüm: İçler dışlar çarpımı yapalım:
\( 8 \times x = 20 \times 6 \)
\( 8x = 120 \)
\( x = \frac{120}{8} \)
\( x = 15 \) metre
Örnek 3:
Bir fotoğrafçı, uzaktaki bir binanın fotoğrafını çekmek istemektedir. Fotoğraf makinesinin merceğinin oluşturduğu üçgen ile binanın kendisinin oluşturduğu üçgen arasında bir benzerlik ilişkisi vardır. Fotoğrafçının makinesinin merceğinin alt kenarı 5 cm, üst kenarı 5 cm'dir (bu, merceğin oluşturduğu görüş açısını temsil eder). Merceğin fotoğrafı netleştirdiği uzaklık 30 cm'dir. Binanın fotoğraf makinesine olan uzaklığı 150 metredir. 📸
Binanın gerçek yüksekliği 45 metre olduğuna göre, fotoğraf makinesinin sensörüne düşen binanın görüntüsünün yüksekliği kaç cm olmalıdır?
Çözüm:
Bu problem, fotoğraf makinesinin çalışma prensibini üçgen benzerliği ile açıklar.
- Benzer Üçgenler: Fotoğraf makinesinin merceğinin oluşturduğu dar açı ve binanın kendisi, iki benzer üçgen oluşturur. Birinci üçgen, merceğin görüş açısını ve sensöre düşen görüntünün yüksekliğini içerir. İkinci üçgen ise, binanın gerçek yüksekliğini ve binanın fotoğraf makinesine olan uzaklığını içerir.
- Birim Dönüşümü: Öncelikle tüm birimleri aynı yapmalıyız. Binanın fotoğraf makinesine olan uzaklığı 150 metre = 15000 cm'dir.
- Verilenler:
Merceğin görüş açısı (alt ve üst kenar eşitliği, yani bir ikizkenar üçgenin taban kenarı gibi düşünülebilir, ancak burada önemli olan görüş açısının kendisidir, bu nedenle mercekten binaya olan uzaklık ve sensöre düşen görüntü yüksekliği arasındaki ilişkiyi kullanacağız.)
Merceğin netleştirme uzaklığı (sensöre olan uzaklık) = \( 30 \) cm
Binanın gerçek yüksekliği = \( 45 \) m = \( 4500 \) cm
Binanın fotoğraf makinesine uzaklığı = \( 150 \) m = \( 15000 \) cm - Değişken Tanımlama: Sensöre düşen binanın görüntüsünün yüksekliği \( h \) cm olsun.
- Benzerlik Oranı:
\( \frac{\text{Sensöre Düşen Görüntü Yüksekliği}}{\text{Binanın Gerçek Yüksekliği}} = \frac{\text{Merceğin Sensöre Uzaklığı}}{\text{Binanın Makineye Uzaklığı}} \)
\( \frac{h}{4500} = \frac{30}{15000} \) - Çözüm: Orantıyı sadeleştirelim:
\( \frac{30}{15000} = \frac{3}{1500} = \frac{1}{500} \)
Şimdi \( h \) değerini bulalım:
\( \frac{h}{4500} = \frac{1}{500} \)
\( h = \frac{4500}{500} \)
\( h = 9 \) cm
Örnek 4:
Bir harita üzerinde, iki şehir arasındaki uzaklık 5 cm olarak gösterilmiştir. Bu haritanın ölçeği 1:2.000.000'dur. 🗺️
Bu iki şehir arasındaki gerçek uzaklık kaç kilometredir?
Çözüm:
Harita ölçekleri, gerçek dünya boyutlarını küçülterek kağıt üzerine aktarmak için kullanılır ve üçgen benzerliği mantığıyla çalışır.
- Ölçek Anlamı: Haritanın ölçeği 1:2.000.000 demek, haritada 1 birim uzunluğun gerçekte 2.000.000 birim uzunluğa karşılık geldiği anlamına gelir.
- Verilenler:
Haritadaki uzaklık = \( 5 \) cm
Ölçek = \( 1 \) : \( 2.000.000 \) - Gerçek Uzaklığı Hesaplama: Gerçek uzaklığı bulmak için haritadaki uzaklığı ölçekteki ikinci sayıyla çarparız.
Gerçek Uzaklık (cm) = Haritadaki Uzaklık \( \times \) Ölçekteki Sayı
Gerçek Uzaklık (cm) = \( 5 \) cm \( \times 2.000.000 \)
Gerçek Uzaklık (cm) = \( 10.000.000 \) cm - Birim Dönüşümü: Bu uzaklığı kilometreye çevirmemiz gerekiyor.
1 km = 1000 metre
1 metre = 100 cm
Dolayısıyla, 1 km = \( 1000 \times 100 \) cm = \( 100.000 \) cm - Kilometreye Çevirme:
Gerçek Uzaklık (km) = \( \frac{\text{Gerçek Uzaklık (cm)}}{100.000} \)
Gerçek Uzaklık (km) = \( \frac{10.000.000}{100.000} \)
Gerçek Uzaklık (km) = \( 100 \) km
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde, \( |AB| = 12 \) cm, \( |AC| = 18 \) cm ve \( \angle BAC = 60^\circ \) 'dir. Bu üçgenin AC kenarı üzerinde bir D noktası ve AB kenarı üzerinde bir E noktası alınıyor. Eğer \( |AD| = 6 \) cm ve \( |AE| = 4 \) cm ise, \( |DE| \) uzunluğunu bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu problemde, iki kenar ve aralarındaki açı (KAK) bilgisi verilmiş. Benzerlikten yararlanarak DE uzunluğunu bulacağız.
- Benzerlik Kontrolü: İki üçgenin (ABC ve ADE) iki kenar uzunlukları ve aralarındaki açıları karşılaştıralım.
\( \frac{|AE|}{|AB|} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \)
\( \frac{|AD|}{|AC|} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} \)
Görüyoruz ki, \( \frac{|AE|}{|AB|} = \frac{|AD|}{|AC|} \) ve \( \angle EAD = \angle BAC \) (ortak açı). Bu durum, KKK benzerlik teoremine göre ADE üçgeninin ABC üçgenine benzer olduğunu gösterir. - Benzerlik Oranı: Benzerlik oranı \( k = \frac{1}{3} \)'tür.
- Benzer Üçgenlerin Kenar Orantıları: Benzerlikten dolayı,
\( \frac{|DE|}{|BC|} = \frac{|AE|}{|AB|} = \frac{|AD|}{|AC|} = \frac{1}{3} \) - BC Kenarını Bulma (Kosinüs Teoremi): DE uzunluğunu bulmak için önce BC kenar uzunluğunu bulmamız gerekiyor. ABC üçgeninde kosinüs teoremini uygulayalım:
\( |BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \cos(\angle BAC) \)
\( |BC|^2 = 12^2 + 18^2 - 2 \cdot 12 \cdot 18 \cdot \cos(60^\circ) \)
\( |BC|^2 = 144 + 324 - 2 \cdot 12 \cdot 18 \cdot \frac{1}{2} \)
\( |BC|^2 = 468 - 216 \)
\( |BC|^2 = 252 \)
\( |BC| = \sqrt{252} = \sqrt{36 \times 7} = 6\sqrt{7} \) cm - DE Uzunluğunu Hesaplama: Şimdi benzerlik oranını kullanarak DE uzunluğunu bulabiliriz:
\( \frac{|DE|}{|BC|} = \frac{1}{3} \)
\( |DE| = \frac{1}{3} \cdot |BC| \)
\( |DE| = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{7} \)
\( |DE| = 2\sqrt{7} \) cm
Örnek 6:
İki paralel doğru parçası, bir kesen tarafından kesildiğinde oluşan açılar arasında benzerlik ilişkileri kurulabilir.
Bir \( d_1 \) doğrusu ile \( d_2 \) doğrusu birbirine paraleldir. Bir \( d_3 \) doğrusu bu iki doğruyu kesmektedir. \( d_1 \) ve \( d_3 \) doğruları arasında oluşan 70 derecelik bir açı verilmiştir. 📏
Bu 70 derecelik açının ters açısı kaç derecedir?
Çözüm:
Bu soru, doğrudan üçgen benzerliği ile ilgili olmasa da, geometrideki temel açı ilişkilerini anlamak için önemlidir ve benzerlik sorularında sıklıkla karşımıza çıkar.
- Açı İlişkileri: İki paralel doğruyu kesen bir doğru olduğunda, ters açılar, yöndeş açılar ve iç ters açılar gibi kavramlar devreye girer.
- Ters Açılar: İki doğrunun kesişmesiyle oluşan ve köşeleri aynı olan, birbirine zıt yönlü iki açıya ters açılar denir. Ters açıların ölçüleri her zaman eşittir.
- Verilen Bilgi: \( d_1 \) ve \( d_3 \) doğruları arasında oluşan açı \( 70^\circ \)'dir.
- Ters Açıyı Bulma: Bu 70 derecelik açının ters açısı, kesişme noktasında tam karşısında yer alan açıdır. Ters açıların özelliği gereği, bu açı da \( 70^\circ \) olacaktır.
Örnek 7:
Bir ABC üçgeninde, \( |AB| = 15 \) birim, \( |BC| = 20 \) birim ve \( |AC| = 25 \) birimdir. Bu üçgenin kenar uzunlukları incelendiğinde, \( 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 \) ve \( 25^2 = 625 \) olduğu görülür. Bu durum, üçgenin dik üçgen olduğunu gösterir. 📐
Bu ABC dik üçgeninde, C köşesinden AB hipotenüsüne bir yükseklik (CD) çiziliyor. Bu yükseklik, AB kenarını D noktasında kesiyor.
Buna göre, \( |AD| \) kaç birimdir?
Çözüm:
Bu problemde, dik üçgenlerde yüksekliğin oluşturduğu benzerlikleri kullanacağız.
- Benzer Üçgenler: ABC dik üçgeninde çizilen yükseklik CD, üçgeni iki küçük dik üçgene ayırır: ADC ve BDC. Bu üç üçgen de birbirine benzerdir.
\( \triangle ABC \sim \triangle ADC \sim \triangle CDB \) - Benzerlik Nedenleri:
\( \triangle ABC \) ve \( \triangle ADC \): \( \angle ACB = \angle ADC = 90^\circ \) ve \( \angle BAC \) ortak açı. (AA Benzerliği)
\( \triangle ABC \) ve \( \triangle CDB \): \( \angle ACB = \angle CDB = 90^\circ \) ve \( \angle ABC \) ortak açı. (AA Benzerliği) - Verilenler:
\( |AB| = 15 \) (Bu soruda AB'nin hipotenüs olduğu belirtilmiş, ancak kenar uzunlukları \( 15, 20, 25 \) ise, 25 hipotenüstür. Soruyu bu doğruya göre revize edelim: \( |AC| = 15 \), \( |BC| = 20 \), \( |AB| = 25 \). C köşesinden AB hipotenüsüne inen yükseklik CD.)
\( |AC| = 15 \)
\( |BC| = 20 \)
\( |AB| = 25 \) - Benzerlik Orantıları: \( \triangle ABC \sim \triangle ADC \) benzerliğini kullanalım.
\( \frac{|AC|}{|AB|} = \frac{|AD|}{|AC|} \) - Çözüm: Verilen değerleri orantıya yerleştirelim:
\( \frac{15}{25} = \frac{|AD|}{15} \)
İçler dışlar çarpımı yapalım:
\( 25 \times |AD| = 15 \times 15 \)
\( 25|AD| = 225 \)
\( |AD| = \frac{225}{25} \)
\( |AD| = 9 \) birim
Örnek 8:
Bir mimar, bir yapının maketini tasarlamaktadır. Maketin bir duvarı, gerçek duvara benzer bir üçgen şeklinde olacaktır. Maket duvardaki bir üçgenin kenar uzunlukları 12 cm, 18 cm ve 24 cm'dir. Gerçek duvardaki benzer üçgenin en kısa kenarı 6 metre ise, bu üçgenin diğer kenar uzunlukları kaç metredir? 🏗️
Çözüm:
Bu problem, ölçeklendirme ve benzerlik kavramlarını bir araya getirir.
- Benzerlik Oranı: Maket üçgeni ile gerçek duvar üçgeni benzerdir. Benzerlik oranını, bilinen karşılıklı kenarların oranından bulabiliriz.
Maket üçgenin kenarları: \( 12 \) cm, \( 18 \) cm, \( 24 \) cm.
Gerçek duvar üçgeninin en kısa kenarı = \( 6 \) metre.
Maket üçgenin en kısa kenarı \( 12 \) cm'dir. - Birim Dönüşümü: Gerçek kenarı metre olarak verdiğimiz için, maket kenarını da metreye çevirelim veya gerçek kenarı santimetreye çevirelim. Kolaylık olması açısından, maket kenarlarını metreye çevirelim:
\( 12 \) cm = \( 0.12 \) m
\( 18 \) cm = \( 0.18 \) m
\( 24 \) cm = \( 0.24 \) m - Benzerlik Oranının Hesaplanması:
Benzerlik Oranı \( k = \frac{\text{Gerçek Kenar}}{\text{Maket Kenarı}} = \frac{6 \text{ m}}{0.12 \text{ m}} = 50 \) - Diğer Kenarları Hesaplama: Gerçek duvar üçgeninin diğer kenar uzunluklarını bulmak için maket kenar uzunluklarını benzerlik oranı ile çarparız.
Orta Kenar (Gerçek) = Maket Orta Kenarı \( \times k \)
Orta Kenar (Gerçek) = \( 0.18 \) m \( \times 50 = 9 \) m
Uzun Kenar (Gerçek) = Maket Uzun Kenarı \( \times k \)
Uzun Kenar (Gerçek) = \( 0.24 \) m \( \times 50 = 12 \) m
Örnek 9:
Bir fotoğrafçı, uzaktaki bir binanın fotoğrafını çekerken, merceğin oluşturduğu görüş açısını kullanarak binanın yüksekliğini tahmin etmek istemektedir. Fotoğrafçının göz hizası yerden 1.6 metre yüksekliktedir. Fotoğrafçı ile bina arasındaki yatay uzaklık 50 metredir. Fotoğrafçının gözünden binanın tepesine doğru çizilen ışın, binanın tepesinden 3 metre aşağıda bir noktaya denk gelmektedir (yani binanın tepesi, fotoğrafçının göz hizasının 3 metre üzerindedir). 📸
Binanın gerçek yüksekliği kaç metredir?
Çözüm:
Bu problemde, iki benzer dik üçgen oluşturarak binanın yüksekliğini tahmin edeceğiz.
- Şekil Betimlemesi:
1. Üçgen: Fotoğrafçının göz hizasından binanın tepesine kadar olan yatay uzaklık (50 m) ve binanın tepesinin fotoğrafçının göz hizasının üzerindeki yüksekliği (3 m).
2. Üçgen: Bu üçgen, fotoğrafçının göz hizasının yerden yüksekliği (1.6 m) ve fotoğrafçının kendisini bir nokta olarak düşünerek oluşturduğu küçük bir üçgendir. Ancak burada, daha basit bir yaklaşım kullanabiliriz: Fotoğrafçının göz hizasını referans alarak, binanın göz hizasının üzerindeki kısmını ve binanın toplam yüksekliğini hesaplayacağız. - Benzer Üçgenler: Fotoğrafçının göz hizasından binanın tepesine giden doğru parçası, binanın kendisi ve yer düzlemi ile bir dik üçgen oluşturur. Bu üçgen, fotoğrafçının göz hizasının yerden yüksekliği ile ilgili küçük bir üçgenle benzerlik kurabilir. Ancak burada, daha doğrudan bir hesaplama yapabiliriz.
- Verilenler:
Fotoğrafçının göz hizası = \( 1.6 \) m
Fotoğrafçı ile bina arası yatay uzaklık = \( 50 \) m
Binanın tepesinin fotoğrafçının göz hizasının üzerindeki yüksekliği = \( 3 \) m - Binanın Göz Hizasının Üzerindeki Kısmı: Bu kısım zaten \( 3 \) metredir.
- Binanın Toplam Yüksekliği: Binanın toplam yüksekliği, göz hizasının üzerindeki kısım ile göz hizasının yerden yüksekliğinin toplamıdır.
Binanın Yüksekliği = Binanın Göz Hizasının Üzerindeki Kısmı + Göz Hizasının Yerden Yüksekliği
Binanın Yüksekliği = \( 3 \) m + \( 1.6 \) m
Binanın Yüksekliği = \( 4.6 \) m
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgen-benzerlikleri/sorular