📄 9. Sınıf Matematik: Üçgen Benzerlikleri Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Temel Orantı Teoremi'ne göre, bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı orantılı böler. Bu durumda, \(\text{DE} \parallel \text{BC}\) olduğu için \(\frac{|\text{AD}|}{|\text{DB}|} = \frac{|\text{AE}|}{|\text{EC}|}\) bağıntısı geçerlidir.

Verilen değerleri yerine yazalım:

\(\frac{6}{4} = \frac{9}{|\text{EC}|}\)

İçler dışlar çarpımı yaparak \(|\text{EC}|\) uzunluğunu bulalım:

\(6 \cdot |\text{EC}| = 4 \cdot 9\)

\(6 \cdot |\text{EC}| = 36\)

\(|\text{EC}| = \frac{36}{6}\)

\(|\text{EC}| = 6\) cm.



\(\text{ADE}\) üçgeni ile \(\text{ABC}\) üçgeninin benzerlik oranı için, \(\text{DE} \parallel \text{BC}\) olduğundan \(\widehat{\text{ADE}} = \widehat{\text{ABC}}\) ve \(\widehat{\text{AED}} = \widehat{\text{ACB}}\) (yöndeş açılar). Ayrıca \(\widehat{\text{A}}\) açısı her iki üçgen için de ortaktır. Bu nedenle \(\text{ADE}\) üçgeni ile \(\text{ABC}\) üçgeni A.A. benzerlik kuralına göre benzerdir.

Benzerlik oranı \(k = \frac{|\text{AD}|}{|\text{AB}|}\) veya \(k = \frac{|\text{AE}|}{|\text{AC}|}\) veya \(k = \frac{|\text{DE}|}{|\text{BC}|}\) şeklinde bulunabilir.

\(|\text{AB}| = |\text{AD}| + |\text{DB}| = 6 + 4 = 10\) cm.

Benzerlik oranı \(k = \frac{|\text{AD}|}{|\text{AB}|} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\) tir.

Veya \(|\text{AC}| = |\text{AE}| + |\text{EC}| = 9 + 6 = 15\) cm.

Benzerlik oranı \(k = \frac{|\text{AE}|}{|\text{AC}|} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}\) tir.

Sonuç olarak, \(|\text{EC}| = 6\) cm ve benzerlik oranı \(\frac{3}{5}\) tir.

💡 Çözüm Adımları:

İki üçgenin K.K.K. (Kenar-Kenar-Kenar) benzerlik kuralına göre benzer olabilmesi için karşılıklı kenar uzunluklarının orantılı olması gerekir.

\(\text{ABC}\) üçgeninin kenarları: \(8, 10, 12\)

\(\text{DEF}\) üçgeninin kenarları: \(4, 5, 6\)

Karşılıklı kenarların oranlarını kontrol edelim:

\(\frac{|\text{AB}|}{|\text{DE}|} = \frac{8}{4} = 2\)

\(\frac{|\text{BC}|}{|\text{EF}|} = \frac{10}{5} = 2\)

\(\frac{|\text{AC}|}{|\text{DF}|} = \frac{12}{6} = 2\)

Tüm karşılıklı kenar uzunlukları arasındaki oran sabittir ve 2'ye eşittir. Bu durumda, \(\text{ABC}\) üçgeni ile \(\text{DEF}\) üçgeni K.K.K. benzerlik kuralına göre benzerdir.

Benzerlik oranı \(k = 2\) (\(\text{ABC}\) üçgeninin \(\text{DEF}\) üçgenine benzerlik oranı).

Eğer \(\text{DEF}\) üçgeninin \(\text{ABC}\) üçgenine benzerlik oranı sorulsaydı \(k = \frac{1}{2}\) olurdu.

Sonuç olarak, üçgenler benzerdir ve benzerlik oranı 2'dir.

💡 Çözüm Adımları:

İki üçgenin A.A. (Açı-Açı) benzerlik kuralına göre benzer olabilmesi için karşılıklı ikişer açısının eşit olması gerekir.

\(\text{ABC}\) üçgeninde:

\(\text{m}(\widehat{\text{A}})=60^\circ\)

\(\text{m}(\widehat{\text{B}})=40^\circ\)

Üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\) olduğundan, \(\text{m}(\widehat{\text{C}}) = 180^\circ - (60^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\).



\(\text{KLM}\) üçgeninde:

\(\text{m}(\widehat{\text{K}})=60^\circ\)

\(\text{m}(\widehat{\text{M}})=80^\circ\)

Üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\) olduğundan, \(\text{m}(\widehat{\text{L}}) = 180^\circ - (60^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\).



Şimdi karşılıklı açıları karşılaştıralım:

\(\text{m}(\widehat{\text{A}}) = 60^\circ\) ve \(\text{m}(\widehat{\text{K}}) = 60^\circ\) (Eşit)

\(\text{m}(\widehat{\text{B}}) = 40^\circ\) ve \(\text{m}(\widehat{\text{L}}) = 40^\circ\) (Eşit)

\(\text{m}(\widehat{\text{C}}) = 80^\circ\) ve \(\text{m}(\widehat{\text{M}}) = 80^\circ\) (Eşit)



Her iki üçgenin de karşılıklı tüm açıları eşit olduğu için, bu iki üçgen A.A. benzerlik kuralına göre benzerdir (hatta A.A.A. benzerliği de denilebilir, ama A.A. yeterlidir).

Benzerlik sıralaması: \(\triangle \text{ABC} \sim \triangle \text{KLM}\)



Karşılıklı gelen açılar:

\(\widehat{\text{A}} \leftrightarrow \widehat{\text{K}}\)

\(\widehat{\text{B}} \leftrightarrow \widehat{\text{L}}\)

\(\widehat{\text{C}} \leftrightarrow \widehat{\text{M}}\)



Karşılıklı gelen kenarlar (orantılı olanlar):

\(\text{A}\) açısının karşısındaki kenar \(|\text{BC}|\) ile \(\text{K}\) açısının karşısındaki kenar \(|\text{LM}|\)

\(\text{B}\) açısının karşısındaki kenar \(|\text{AC}|\) ile \(\text{L}\) açısının karşısındaki kenar \(|\text{KM}|\)

\(\text{C}\) açısının karşısındaki kenar \(|\text{AB}|\) ile \(\text{M}\) açısının karşısındaki kenar \(|\text{KL}|\)

Bu kenarların oranları benzerlik oranını verir: \(\frac{|\text{BC}|}{|\text{LM}|} = \frac{|\text{AC}|}{|\text{KM}|} = \frac{|\text{AB}|}{|\text{KL}|} = k\).