🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Üçgen Benzerliği Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Üçgen Benzerliği Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
ABC ve DEF üçgenleri veriliyor.
\( \angle A = \angle D = 50^\circ \) ve \( \angle B = \angle E = 60^\circ \) ise, bu iki üçgenin benzer olup olmadığını ve benzer ise benzerlik durumunu belirtiniz. 💡
\( \angle A = \angle D = 50^\circ \) ve \( \angle B = \angle E = 60^\circ \) ise, bu iki üçgenin benzer olup olmadığını ve benzer ise benzerlik durumunu belirtiniz. 💡
Çözüm:
- İki üçgenin benzer olabilmesi için karşılıklı açıları eşit olmalıdır.
- Verilenlere göre, \( \angle A = \angle D \) ve \( \angle B = \angle E \) olduğu bilgisi verilmiştir.
- Bir üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, üçüncü açıları da eşit olacaktır:
- \( \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \)
- \( \angle F = 180^\circ - (\angle D + \angle E) = 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \)
- Böylece, \( \angle A = \angle D \), \( \angle B = \angle E \) ve \( \angle C = \angle F \) olduğu görülür.
- Bu durum, Açı-Açı-Açı (AAA) benzerlik kuralına göre ABC üçgeninin DEF üçgenine benzer olduğunu gösterir.
- Benzerlik durumu: \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) yazılır. 👉
Örnek 2:
Kenar uzunlukları 4 cm, 6 cm ve 8 cm olan bir ABC üçgeni ile kenar uzunlukları 8 cm, 12 cm ve 16 cm olan bir DEF üçgeni veriliyor.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını ve benzer ise benzerlik oranını bulunuz. 📐
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını ve benzer ise benzerlik oranını bulunuz. 📐
Çözüm:
- İki üçgenin benzer olabilmesi için karşılıklı kenar uzunlukları orantılı olmalıdır (Kenar-Kenar-Kenar benzerlik kuralı).
- ABC üçgeninin kenarlarını küçükten büyüğe sıralayalım: 4, 6, 8.
- DEF üçgeninin kenarlarını küçükten büyüğe sıralayalım: 8, 12, 16.
- Karşılıklı kenarların oranlarını kontrol edelim:
- \( \frac{8}{4} = 2 \)
- \( \frac{12}{6} = 2 \)
- \( \frac{16}{8} = 2 \)
- Tüm karşılıklı kenar oranları eşit (2) olduğu için, bu iki üçgen benzerdir.
- Benzerlik oranı, büyük üçgenin kenarlarının küçük üçgenin kenarlarına oranıdır, yani 2'dir.
- Benzerlik durumu: \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) şeklinde yazılabilir, burada kenar sıralaması önemlidir. ✅
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde \( AB = 5 \) cm, \( AC = 10 \) cm ve \( \angle A = 40^\circ \) olarak verilmiştir.
Bir DEF üçgeninde \( DE = 15 \) cm, \( DF = 20 \) cm ve \( \angle D = 40^\circ \) olarak verilmiştir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını ve benzer ise benzerlik oranını bulunuz. 📏
Bir DEF üçgeninde \( DE = 15 \) cm, \( DF = 20 \) cm ve \( \angle D = 40^\circ \) olarak verilmiştir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını ve benzer ise benzerlik oranını bulunuz. 📏
Çözüm:
- İki üçgenin benzer olabilmesi için iki kenar uzunlukları orantılı ve bu kenarlar arasındaki açının eşit olması gerekir (Kenar-Açı-Kenar benzerlik kuralı).
- Verilenlere göre, her iki üçgende de \( 40^\circ \) açıları mevcuttur.
- Şimdi bu açıların karşısındaki kenarların oranlarına bakalım:
- ABC üçgeninde \( \angle A \) açısının karşısındaki kenarlar AB ve AC'dir. Bu kenarların oranına bakalım: \( \frac{AC}{AB} = \frac{10}{5} = 2 \).
- DEF üçgeninde \( \angle D \) açısının karşısındaki kenarlar DE ve DF'dir. Bu kenarların oranına bakalım: \( \frac{DF}{DE} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} \).
- Oranlar \( 2 \) ve \( \frac{4}{3} \) eşit olmadığı için, bu kenarların orantılı olduğu söylenemez.
- Ancak, KAK benzerlik kuralı için orantılı kenarların arasındaki açının eşit olması gerekir. Bu durumda, \( \angle A \) ve \( \angle D \) açıları eşittir.
- Şimdi, bu açıları oluşturan kenarların oranlarını kontrol edelim:
- ABC üçgeninde \( \angle A \) açısını oluşturan kenarlar AB (5 cm) ve AC (10 cm)'dir. Oran: \( \frac{AC}{AB} = \frac{10}{5} = 2 \).
- DEF üçgeninde \( \angle D \) açısını oluşturan kenarlar DE (15 cm) ve DF (20 cm)'dir. Oran: \( \frac{DF}{DE} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} \).
- Bu oranlar eşit değildir. Diğer kenar kombinasyonunu deneyelim:
- ABC üçgeninde \( \angle A \) açısını oluşturan kenarlar AB (5 cm) ve AC (10 cm)'dir. Oran: \( \frac{AB}{AC} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \).
- DEF üçgeninde \( \angle D \) açısını oluşturan kenarlar DE (15 cm) ve DF (20 cm)'dir. Oran: \( \frac{DE}{DF} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} \).
- Bu oranlar da eşit değildir. Dolayısıyla, KAK benzerlik kuralı burada geçerli değildir.
- Bu durumda, verilen bilgilerle bu iki üçgenin benzer olduğunu söyleyemeyiz. ❌
Örnek 4:
Bir harita üzerinde A ve B şehirleri arasındaki uzaklık 3 cm olarak gösterilmiştir. Haritanın ölçeği 1:200.000'dir.
Aynı ölçekle çizilmiş başka bir haritada, C ve D noktaları arasındaki uzaklık 5 cm olarak gösterilmiştir.
Bu iki nokta arasındaki gerçek uzaklık kaç kilometredir? 🌍
Aynı ölçekle çizilmiş başka bir haritada, C ve D noktaları arasındaki uzaklık 5 cm olarak gösterilmiştir.
Bu iki nokta arasındaki gerçek uzaklık kaç kilometredir? 🌍
Çözüm:
- Harita ölçeği, harita üzerindeki bir uzunluğun gerçek uzunluğa oranını ifade eder.
- Ölçek 1:200.000 demek, haritada 1 birim olan bir uzunluğun gerçekte 200.000 birim olduğu anlamına gelir.
- A ve B şehirleri arasındaki harita uzaklığı 3 cm'dir. Gerçek uzaklığı bulmak için ölçek ile çarparız:
- Gerçek Uzaklık (A-B) = \( 3 \text{ cm} \times 200.000 = 600.000 \text{ cm} \)
- Bu uzaklığı kilometreye çevirelim. 1 kilometre = 100.000 cm'dir.
- Gerçek Uzaklık (A-B) = \( \frac{600.000 \text{ cm}}{100.000 \text{ cm/km}} = 6 \text{ km} \)
- C ve D noktaları arasındaki harita uzaklığı 5 cm'dir.
- Bu iki nokta arasındaki gerçek uzaklığı bulalım:
- Gerçek Uzaklık (C-D) = \( 5 \text{ cm} \times 200.000 = 1.000.000 \text{ cm} \)
- Kilometreye çevirelim:
- Gerçek Uzaklık (C-D) = \( \frac{1.000.000 \text{ cm}}{100.000 \text{ cm/km}} = 10 \text{ km} \)
- Soruda, "Bu iki nokta arasındaki gerçek uzaklık kaç kilometredir?" diye sorulmuş. Bu ifade, C ve D noktaları arasındaki gerçek uzaklığı sormaktadır.
- C ve D noktaları arasındaki gerçek uzaklık 10 kilometredir. 📌
Örnek 5:
Bir fotoğraf makinesi, bir nesneyi 2 metre uzaklıktan çektiğinde, fotoğraf makinesinin sensöründe oluşan görüntünün yüksekliği 2 cm oluyor.
Aynı nesne, makineye 4 metre uzaklıktan çekilirse, sensörde oluşan görüntünün yüksekliği kaç cm olur? 📸
Aynı nesne, makineye 4 metre uzaklıktan çekilirse, sensörde oluşan görüntünün yüksekliği kaç cm olur? 📸
Çözüm:
Yani, nesne 4 metre uzaklıktan çekildiğinde, sensörde oluşan görüntünün yüksekliği 1 cm olur. 👍
- Bu durum, benzer üçgenler prensibi ile açıklanabilir. Makinenin lensi bir tepe noktası gibi düşünülebilir ve nesne ile sensördeki görüntü, bu tepe noktasına sahip iki benzer üçgenin kenarları gibi düşünülebilir.
- Nesnenin makineye olan uzaklığı ile sensördeki görüntü yüksekliği ters orantılıdır. Yani, uzaklık arttıkça görüntü yüksekliği azalır.
- İlk durumda: Uzaklık = 2 m, Görüntü Yüksekliği = 2 cm.
- İkinci durumda: Uzaklık = 4 m, Görüntü Yüksekliği = \( x \) cm.
- Benzerlik oranı gereği, uzaklık iki katına çıktığında görüntü yüksekliği yarıya iner.
- Bu durumu bir denklemle de gösterebiliriz:
- \( \frac{\text{Nesne Uzaklığı}_1}{\text{Görüntü Yüksekliği}_1} = \frac{\text{Nesne Uzaklığı}_2}{\text{Görüntü Yüksekliği}_2} \)
- \( \frac{2 \text{ m}}{2 \text{ cm}} = \frac{4 \text{ m}}{x \text{ cm}} \)
- Denklemi çözersek:
- \( 2 \times x = 2 \times 4 \)
- \( 2x = 8 \)
- \( x = \frac{8}{2} \)
- \( x = 4 \) cm
- Ancak burada bir hata yaptık. Uzaklık arttıkça görüntü küçülür. Orantıyı doğru kurmalıyız:
- \( \frac{\text{Nesne Uzaklığı}_1}{\text{Nesne Uzaklığı}_2} = \frac{\text{Görüntü Yüksekliği}_1}{\text{Görüntü Yüksekliği}_2} \)
- \( \frac{2 \text{ m}}{4 \text{ m}} = \frac{2 \text{ cm}}{x \text{ cm}} \)
- \( \frac{1}{2} = \frac{2}{x} \)
- \( 1 \times x = 2 \times 2 \)
- \( x = 4 \) cm
- Tekrar kontrol edelim. Uzaklık 2m'den 4m'ye çıktığında, yani 2 katına çıktığında, görüntü yüksekliği yarıya inmelidir.
- O halde, \( x = \frac{2 \text{ cm}}{2} = 1 \text{ cm} \) olmalıdır.
- Denklemi tekrar kuralım:
- \( \frac{\text{Nesne Uzaklığı}_1}{\text{Görüntü Yüksekliği}_1} = \frac{\text{Nesne Uzaklığı}_2}{\text{Görüntü Yüksekliği}_2} \)
- \( \frac{2}{2} = \frac{4}{x} \)
- \( 1 = \frac{4}{x} \)
- \( x = 4 \) cm. Bu hala yanlış.
- Doğru orantı kurmak için, "Uzaklık" ve "Görüntü Yüksekliği" arasında ters orantı vardır.
- Yani, \( \text{Uzaklık}_1 \times \text{Görüntü Yüksekliği}_1 = \text{Uzaklık}_2 \times \text{Görüntü Yüksekliği}_2 \)
- \( 2 \text{ m} \times 2 \text{ cm} = 4 \text{ m} \times x \text{ cm} \)
- \( 4 \text{ m} \cdot \text{cm} = 4 \text{ m} \cdot x \text{ cm} \)
- \( x = 1 \text{ cm} \)
Örnek 6:
ABC ve KLM üçgenleri veriliyor.
\( AB = 6 \) cm, \( BC = 8 \) cm, \( AC = 10 \) cm.
\( KL = 9 \) cm, \( LM = 12 \) cm, \( KM = 15 \) cm.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını ve benzer ise \( \triangle ABC \sim \triangle KLM \) benzerlik durumunu yazınız. ✍️
\( AB = 6 \) cm, \( BC = 8 \) cm, \( AC = 10 \) cm.
\( KL = 9 \) cm, \( LM = 12 \) cm, \( KM = 15 \) cm.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını ve benzer ise \( \triangle ABC \sim \triangle KLM \) benzerlik durumunu yazınız. ✍️
Çözüm:
- İki üçgenin benzer olup olmadığını anlamak için kenar uzunluklarının oranlarına bakmalıyız (Kenar-Kenar-Kenar benzerlik kuralı).
- ABC üçgeninin kenarlarını küçükten büyüğe sıralayalım: 6, 8, 10.
- KLM üçgeninin kenarlarını küçükten büyüğe sıralayalım: 9, 12, 15.
- Karşılıklı kenarların oranlarını hesaplayalım:
- \( \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \)
- \( \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \)
- \( \frac{15}{10} = \frac{3}{2} \)
- Tüm oranlar eşit \( \frac{3}{2} \) olduğundan, bu iki üçgen benzerdir.
- Benzerlik oranı \( \frac{3}{2} \)'dir.
- Benzerlik durumunu yazarken, karşılıklı köşeleri doğru eşleştirmeliyiz.
- En kısa kenarlar \( AB \) ve \( KL \), orta kenarlar \( BC \) ve \( LM \), en uzun kenarlar \( AC \) ve \( KM \)'dir.
- Bu durumda, \( A \) köşesi \( K \) köşesine, \( B \) köşesi \( L \) köşesine ve \( C \) köşesi \( M \) köşesine karşılık gelir.
- Dolayısıyla, benzerlik durumu \( \triangle ABC \sim \triangle KLM \) şeklindedir. ✅
Örnek 7:
Bir parkta bulunan iki direğin yükseklikleri farklıdır. Kısa direğin boyu 3 metre ve uzun direğin boyu 5 metredir.
Aynı anda, kısa direğin gölgesinin uzunluğu 2 metre olarak ölçülüyor.
Bu durumda uzun direğin gölgesinin uzunluğu kaç metre olur? ☀️
Aynı anda, kısa direğin gölgesinin uzunluğu 2 metre olarak ölçülüyor.
Bu durumda uzun direğin gölgesinin uzunluğu kaç metre olur? ☀️
Çözüm:
- Bu problemde, direkler ve gölgeleri ile oluşan üçgenler benzerdir. Güneş ışınlarının geliş açısı aynı olduğu için, direklerin tepelerinden gölgelerin uçlarına çizilen çizgilerle oluşan üçgenler arasında Açı-Açı (AA) benzerliği vardır.
- Kısa direk ve gölgesi bir dik üçgen oluşturur.
- Uzun direk ve gölgesi de benzer bir dik üçgen oluşturur.
- Benzerlik oranı gereği, direklerin yükseklikleri ile gölgelerinin uzunlukları orantılıdır.
- Kısa direk için: Yükseklik = 3 m, Gölge Uzunluğu = 2 m.
- Uzun direk için: Yükseklik = 5 m, Gölge Uzunluğu = \( x \) m.
- Orantıyı kuralım:
- \( \frac{\text{Kısa Direk Yüksekliği}}{\text{Kısa Direk Gölgesi}} = \frac{\text{Uzun Direk Yüksekliği}}{\text{Uzun Direk Gölgesi}} \)
- \( \frac{3}{2} = \frac{5}{x} \)
- Denklemi çözersek:
- \( 3 \times x = 2 \times 5 \)
- \( 3x = 10 \)
- \( x = \frac{10}{3} \) metre
- Uzun direğin gölgesinin uzunluğu \( \frac{10}{3} \) metre olur. 📏
Örnek 8:
ABC üçgeninde \( DE \parallel BC \) olacak şekilde D noktası AB kenarı üzerinde ve E noktası AC kenarı üzerinde alınıyor.
\( AD = 4 \) cm, \( DB = 2 \) cm ve \( AE = 6 \) cm olarak verilmiştir.
Buna göre EC uzunluğunu bulunuz. 📏
\( AD = 4 \) cm, \( DB = 2 \) cm ve \( AE = 6 \) cm olarak verilmiştir.
Buna göre EC uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
- \( DE \parallel BC \) olduğundan, Thales (Temel Orantı) Teoremi'ne göre ABC üçgeni ile ADE üçgeni benzerdir.
- Bu benzerlikten dolayı, karşılıklı kenarların oranları eşittir.
- ADE üçgeninin kenarları: AD, AE, DE.
- ABC üçgeninin kenarları: AB, AC, BC.
- Benzerlik oranı:
- \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \)
- Verilen değerleri yerine koyalım:
- \( AB = AD + DB = 4 + 2 = 6 \) cm
- \( AC = AE + EC = 6 + EC \) cm
- Orantıyı kullanalım:
- \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \)
- \( \frac{4}{6} = \frac{6}{6 + EC} \)
- Sadeleştirme yapalım:
- \( \frac{2}{3} = \frac{6}{6 + EC} \)
- İçler dışlar çarpımı yapalım:
- \( 2 \times (6 + EC) = 3 \times 6 \)
- \( 12 + 2 \times EC = 18 \)
- \( 2 \times EC = 18 - 12 \)
- \( 2 \times EC = 6 \)
- \( EC = \frac{6}{2} \)
- \( EC = 3 \) cm
- EC uzunluğu 3 cm'dir. ✅
Örnek 9:
İki eşkenar üçgenin benzerliği hakkında ne söylenebilir? 💡
Çözüm:
- Eşkenar üçgenlerin tüm iç açıları \( 60^\circ \) dir.
- Herhangi iki eşkenar üçgeni ele alalım. Bu üçgenlerin her birinin üç açısı da \( 60^\circ \) olacaktır.
- Bu durumda, iki eşkenar üçgenin karşılıklı tüm açıları eşit olur.
- Açı-Açı-Açı (AAA) benzerlik kuralına göre, tüm eşkenar üçgenler birbirine benzerdir.
- Dolayısıyla, iki eşkenar üçgen her zaman benzerdir. 👉
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-ucgen-benzerligi/sorular