🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Türev Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Türev Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin geometrik yorumu nedir? 💡
Çözüm:
- Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, o noktada fonksiyona çizilen teğetin eğimine eşittir.
- Eğer türev pozitif ise, teğet sağa yatıktır ve fonksiyon o noktada artandır.
- Eğer türev negatif ise, teğet sola yatıktır ve fonksiyon o noktada azalandır.
- Eğer türev sıfır ise, teğet yataydır ve fonksiyon o noktada yerel ekstremum (maksimum veya minimum) noktasına sahip olabilir.
Örnek 2:
Sabit bir fonksiyonun türevi neden sıfırdır? 🧐
Çözüm:
- Sabit bir fonksiyon, f(x) = c şeklindedir, burada c bir sabittir.
- Bu fonksiyonun grafiği, x eksenine paralel bir doğrudur.
- Bir doğrunun eğimi, y'deki değişiminin x'teki değişimine oranıdır. Sabit bir fonksiyon için y değeri hiç değişmediği için (Δy = 0), eğim her zaman sıfırdır.
- Türev, fonksiyonun değişim hızını gösterdiği için, değişmeyen bir fonksiyonun değişim hızı sıfırdır.
- Dolayısıyla, sabit bir fonksiyonun türevi her zaman 0'dır.
Örnek 3:
\( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun \( x=3 \) noktasındaki türevini bulunuz. ✍️
Çözüm:
- Öncelikle, \( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun genel türevini bulalım.
- Kuvvet kuralını kullanarak: \( f'(x) = 2 \cdot x^{2-1} = 2x \).
- Şimdi, bu türevde \( x=3 \) değerini yerine koyalım.
- \( f'(3) = 2 \cdot 3 = 6 \).
Örnek 4:
\( g(x) = 3x^3 - 5x + 2 \) fonksiyonunun türevini bulunuz. 🚀
Çözüm:
- Türev alırken, her terimin türevini ayrı ayrı alabiliriz.
- \( 3x^3 \) teriminin türevi: \( 3 \cdot (3x^{3-1}) = 9x^2 \).
- \( -5x \) teriminin türevi: \( -5 \cdot (1x^{1-1}) = -5 \cdot x^0 = -5 \cdot 1 = -5 \).
- \( +2 \) sabit teriminin türevi 0'dır.
- Bu terimleri topladığımızda, \( g'(x) = 9x^2 - 5 + 0 \).
Örnek 5:
\( h(x) = \frac{1}{x} \) fonksiyonunun türevi nedir? ➿
Çözüm:
- \( h(x) = \frac{1}{x} \) fonksiyonunu üslü ifade olarak yazabiliriz: \( h(x) = x^{-1} \).
- Şimdi kuvvet kuralını uygulayalım: \( h'(x) = -1 \cdot x^{-1-1} \).
- Bu da \( h'(x) = -1 \cdot x^{-2} \) olur.
- Negatif üssü paydada pozitif üs olarak yazarsak: \( h'(x) = -\frac{1}{x^2} \).
Örnek 6:
Bir hareketlinin t saniyedeki konumu \( s(t) = t^3 - 6t^2 + 5 \) metre olarak veriliyor. Buna göre, hareketlinin 4. saniyedeki anlık hızı kaç m/s olur? 🚗💨
Çözüm:
- Hareketlinin konumu \( s(t) \) ise, hızı \( v(t) \) bu konum fonksiyonunun türevidir.
- Öncelikle konum fonksiyonunun türevini alalım: \( s'(t) = v(t) \).
- \( s(t) = t^3 - 6t^2 + 5 \) fonksiyonunun türevi: \( v(t) = 3t^2 - 12t \).
- Şimdi hareketlinin 4. saniyedeki hızını bulmak için \( t=4 \) değerini türevde yerine koyalım.
- \( v(4) = 3(4)^2 - 12(4) \).
- \( v(4) = 3(16) - 48 \).
- \( v(4) = 48 - 48 = 0 \).
Örnek 7:
Bir şirketin haftalık karı, ürettiği ürün sayısına (x) bağlı olarak \( K(x) = -x^2 + 100x - 500 \) TL olarak modellenmiştir. Haftalık karın maksimum olması için kaç ürün üretilmelidir? 📈
Çözüm:
- Kar fonksiyonunun maksimum veya minimum olduğu noktaları bulmak için türevini kullanırız.
- Kar fonksiyonunun türevi: \( K'(x) = -2x + 100 \).
- Maksimum veya minimum noktada türev sıfır olmalıdır: \( K'(x) = 0 \).
- \( -2x + 100 = 0 \).
- \( 100 = 2x \).
- \( x = \frac{100}{2} = 50 \).
Örnek 8:
\( f(x) = (2x + 1)(x - 3) \) fonksiyonunun türevini çarpım kuralını kullanarak bulunuz. ✖️
Çözüm:
- Çarpım kuralı: Eğer \( f(x) = u(x) \cdot v(x) \) ise, \( f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \).
- Burada \( u(x) = 2x + 1 \) ve \( v(x) = x - 3 \).
- \( u(x) \) türevi: \( u'(x) = 2 \).
- \( v(x) \) türevi: \( v'(x) = 1 \).
- Şimdi çarpım kuralını uygulayalım: \( f'(x) = (2)(x - 3) + (2x + 1)(1) \).
- \( f'(x) = 2x - 6 + 2x + 1 \).
- \( f'(x) = 4x - 5 \).
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-turev/sorular