📄 9. Sınıf Matematik: Türev Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Verilen fonksiyon f(x) = 3x^2 - 5x + 7'dir.

Bu fonksiyonun türevini almak için kuvvet kuralını kullanırız: x^n fonksiyonunun türevi nx^{n-1}'dir.
Sabit terimin türevi ise 0'dır.

f(x) = 3x^2 - 5x^1 + 7x^0 şeklinde yazabiliriz.

Türevini alalım:
f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(7)
f'(x) = (3 \times 2)x^{2-1} - (5 \times 1)x^{1-1} + 0
f'(x) = 6x^1 - 5x^0
f'(x) = 6x - 5

Şimdi x=2 noktasındaki türev değerini hesaplayalım:
f'(2) = 6(2) - 5
f'(2) = 12 - 5
f'(2) = 7

Sonuç olarak, fonksiyonun türevi f'(x) = 6x - 5 ve x=2 noktasındaki türev değeri 7'dir.

💡 Çözüm Adımları:

Türevin limit tanımı şöyledir: f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

Verilen fonksiyon f(x) = x^2'dir.
Bu tanımı kullanarak f(x)=x^2 fonksiyonunun x=a noktasındaki türevini bulalım:

Önce f(a+h)'ı hesaplayalım:
f(a+h) = (a+h)^2 = a^2 + 2ah + h^2

Şimdi f(a)'yı hesaplayalım:
f(a) = a^2

Bu değerleri limit tanımına yerleştirelim:
f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{(a^2 + 2ah + h^2) - a^2}{h}
f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{2ah + h^2}{h}

Pay kısmındaki ortak çarpan h'ı dışarı alalım:
f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{h(2a + h)}{h}

h
eq 0 olduğu için h'ları sadeleştirebiliriz:
f'(a) = \lim_{h \to 0} (2a + h)

Şimdi limiti alalım ( h yerine 0 koyalım):
f'(a) = 2a + 0
f'(a) = 2a

Dolayısıyla, f(x) = x^2 fonksiyonunun x=a noktasındaki türevi 2a'dır.

💡 Çözüm Adımları:

Bir fonksiyonun türevi, o fonksiyonun değişim hızını gösterir. Geometrik olarak ise fonksiyonun grafiğine çizilen teğet doğrusunun eğimini ifade eder.

f(x) = 5 fonksiyonu, x'in her değeri için sabit bir y değeri (yani 5) alır. Bu fonksiyonun grafiği, y=5 doğrusudur. Bu doğru yatay bir doğrudur.

1. Değişim Hızı Açısından: f(x) = 5 fonksiyonunda x değeri artsa veya azalsa bile fonksiyonun değeri (yani y değeri) değişmez, hep 5 kalır. Fonksiyonun değerinde hiçbir değişim olmadığı için değişim hızı sıfırdır. Türev de bu değişim hızını ölçtüğü için 0 olur.

2. Geometrik Yorum Açısından: y=5 doğrusu yatay bir doğrudur. Yatay doğruların eğimi her zaman 0'dır. Türevin geometrik anlamı teğet doğrusunun eğimi olduğundan ve y=5 doğrusunun kendisi teğet olduğundan, bu noktadaki türev 0'dır.

3. Limit Tanımı ile Gösterim: Türevin limit tanımını kullanalım: f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
f(x) = 5 olduğundan, f(x+h) da 5'tir.
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{5 - 5}{h}
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h}
f'(x) = \lim_{h \to 0} 0
f'(x) = 0

Bu nedenlerle, sabit fonksiyonların türevi her zaman 0'dır.