🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Trigonometri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Trigonometri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birim çember üzerindeki \( P(x, y) \) noktasının koordinatları \( x = \cos \alpha \) ve \( y = \sin \alpha \) olarak veriliyor. Eğer birim çember üzerindeki bir nokta \( A\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \) ise, bu noktanın oluşturduğu açının ölçüsü kaç derecedir? 💡
Çözüm:
- Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları \( P(x, y) \) ise, \( x = \cos \alpha \) ve \( y = \sin \alpha \) olur.
- Verilen nokta \( A\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \) olduğundan, \( \cos \alpha = \frac{1}{2} \) ve \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \) olur.
- Hangi açının kosinüsünün \( \frac{1}{2} \) ve sinüsünün \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) olduğunu hatırlayalım.
- Bu değerler \( 60^\circ \) açısı için geçerlidir.
- Dolayısıyla, noktanın oluşturduğu açının ölçüsü \( 60^\circ \) dir. ✅
Örnek 2:
Bir dik üçgende \( \sin \theta = \frac{3}{5} \) olarak veriliyor. Buna göre, \( \cos \theta \) değerini bulunuz. 📐
Çözüm:
- Temel trigonometrik özdeşliklerden biri \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) dir.
- Verilen \( \sin \theta = \frac{3}{5} \) değerini bu özdeşlikte yerine koyalım:
- \( \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \theta = 1 \)
- \( \frac{9}{25} + \cos^2 \theta = 1 \)
- \( \cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{25} \)
- \( \cos^2 \theta = \frac{25 - 9}{25} \)
- \( \cos^2 \theta = \frac{16}{25} \)
- Her iki tarafın karekökünü alırsak: \( \cos \theta = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5} \) olur.
- Soruda üçgenin açısı olduğu belirtildiği için \( \theta \) dar açı kabul edilir ve kosinüs değeri pozitif olur.
- Dolayısıyla, \( \cos \theta = \frac{4}{5} \) dir. 👉
Örnek 3:
Bir ABC dik üçgeninde, \( |AC| = 12 \) cm ve \( |BC| = 5 \) cm olarak veriliyor. \( \tan A \) değerini hesaplayınız. 📏
Çözüm:
- Dik üçgende tanjant, karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır.
- \( \tan A = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}} \)
- Burada \( A \) açısının karşısındaki kenar \( |BC| = 5 \) cm'dir.
- \( A \) açısının komşu dik kenarı ise \( |AC| = 12 \) cm'dir.
- Bu değerleri formülde yerine koyalım:
- \( \tan A = \frac{5}{12} \) ✅
Örnek 4:
\( \sin(90^\circ - \alpha) \) ifadesi, \( \alpha \) açısına bağlı olarak hangi trigonometrik fonksiyona eşittir? 🤔
Çözüm:
- Trigonometride tümlleşim açıları kuralına göre, bir açının 90 dereceden farkının sinüsü, o açının kosinüsüne eşittir.
- Yani, \( \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha \) olur.
- Benzer şekilde, \( \cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha \) ve \( \tan(90^\circ - \alpha) = \cot \alpha \) olur.
- Dolayısıyla, \( \sin(90^\circ - \alpha) \) ifadesi \( \cos \alpha \) ya eşittir. 💡
Örnek 5:
Bir inşaat mühendisi, yükseliği \( 15 \) metre olan bir binanın çatısına monte edilecek bir antenin tepesinden, binanın tabanına doğru \( 25 \) metrelik bir ip geriyor. Bu ipin, binanın zeminine yaptığı \( \alpha \) açısının sinüs değerini bulunuz. 🏗️
Çözüm:
- Bu durumu bir dik üçgen olarak düşünebiliriz.
- Binanın yüksekliği \( 15 \) metre (karşı dik kenar).
- İpin uzunluğu \( 25 \) metre (hipotenüs).
- İpin zeminle yaptığı açı \( \alpha \).
- Sinüs, karşı dik kenarın hipotenüse oranıdır.
- \( \sin \alpha = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} \)
- \( \sin \alpha = \frac{15}{25} \)
- Bu kesri sadeleştirelim:
- \( \sin \alpha = \frac{3 \times 5}{5 \times 5} = \frac{3}{5} \)
- İnşaat mühendisinin hesaplaması gereken \( \alpha \) açısının sinüs değeri \( \frac{3}{5} \) dir. ✅
Örnek 6:
Bir parkta bulunan \( 10 \) metre yüksekliğindeki bir direğin tepesinden, direğin \( 24 \) metre uzağındaki bir noktaya bakıldığında oluşan bakış açısının tanjant değerini hesaplayınız. 🌳
Çözüm:
- Bu durumu bir dik üçgen olarak modelleyebiliriz.
- Direğin yüksekliği \( 10 \) metre (karşı dik kenar).
- Direğin uzağındaki nokta ile direğin tabanı arasındaki mesafe \( 24 \) metre (komşu dik kenar).
- Bakış açısı \( \alpha \) olsun.
- Tanjant, karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır.
- \( \tan \alpha = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}} \)
- \( \tan \alpha = \frac{10}{24} \)
- Bu kesri sadeleştirelim:
- \( \tan \alpha = \frac{2 \times 5}{2 \times 12} = \frac{5}{12} \)
- Parktaki bu bakış açısının tanjant değeri \( \frac{5}{12} \) dir. 👉
Örnek 7:
\( \cos 30^\circ \) ve \( \sin 60^\circ \) değerlerini hesaplayınız ve bu iki değerin ilişkisini açıklayınız. 🧮
Çözüm:
- Hangi özel açıların trigonometrik değerlerini bildiğimizi hatırlayalım.
- \( \cos 30^\circ \) değeri \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) dir.
- \( \sin 60^\circ \) değeri de \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) dir.
- Bu iki değer birbirine eşittir: \( \cos 30^\circ = \sin 60^\circ \).
- Bu durum, tümlleşim açıları kuralı ile açıklanabilir: \( \cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha) \).
- Burada \( \alpha = 30^\circ \) alırsak, \( \cos 30^\circ = \sin(90^\circ - 30^\circ) = \sin 60^\circ \) olur. ✅
Örnek 8:
Bir yamaç paraşütü pilotu, yerden \( 600 \) metre yükseklikte süzülmektedir. Pilotun, görüş açısı \( 30^\circ \) olan bir noktaya iniş yapması planlanıyor. Pilotun, iniş noktasından dikey olarak ne kadar uzağa indiğini hesaplamak için hangi trigonometrik fonksiyonu kullanması gerekir ve bu değer nedir? 🪂
Çözüm:
- Bu durumu bir dik üçgen olarak düşünebiliriz.
- Pilotun mevcut yüksekliği \( 600 \) metre (karşı dik kenar).
- Görüş açısı \( 30^\circ \).
- Pilotun dikey olarak ne kadar uzağa indiği, \( 30^\circ \) açısının komşu dik kenarı olacaktır.
- Karşı dik kenar ve komşu dik kenar arasındaki ilişkiyi veren trigonometrik fonksiyon tanjanttır.
- \( \tan(\text{açı}) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}} \)
- \( \tan 30^\circ = \frac{600}{\text{Uzaklık}} \)
- \( \tan 30^\circ \) değerinin \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) olduğunu hatırlayalım.
- \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{600}{\text{Uzaklık}} \)
- İçler dışlar çarpımı yaparsak:
- \( \text{Uzaklık} = 600 \times \sqrt{3} \) metre.
- Pilotun, iniş noktasından dikey olarak \( 600\sqrt{3} \) metre uzağa inmesi gerekmektedir. 💡
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-trigonometri/sorular