📄 9. Sınıf Matematik: Trigonometri Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Bir dik üçgende \(\alpha\) açısı için:

* Sinüs (sin \(\alpha\)): Açının karşısındaki dik kenarın uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranıdır.
\(\sin \alpha = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}}\)

* Kosinüs (cos \(\alpha\)): Açının komşu dik kenarının uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranıdır.
\(\cos \alpha = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}}\)

* Tanjant (tan \(\alpha\)): Açının karşısındaki dik kenarın uzunluğunun komşu dik kenarın uzunluğuna oranıdır.
\(\tan \alpha = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\)

* Kotanjant (cot \(\alpha\)): Açının komşu dik kenarının uzunluğunun karşı dik kenarın uzunluğuna oranıdır.
\(\cot \alpha = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Karşı Dik Kenar}} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\)

Bu tanımlar, dik üçgenlerde trigonometrik oranların temelini oluşturur.

💡 Çözüm Adımları:

Derece ve radyan, açıları ölçmek için kullanılan iki farklı birimdir. Aralarındaki temel ilişki, tam bir çemberin \(360^\circ\) veya \(2\pi\) radyan olmasıdır.

Bu ilişkiden yola çıkarak:

\(360^\circ = 2\pi \text{ radyan}\)

Her iki tarafı 2'ye bölersek:

\(180^\circ = \pi \text{ radyan}\)

Bu eşitlik, dereceyi radyana veya radyeni dereceye çevirmek için kullanılabilir.

Dereceyi Radyana Çevirme Kuralı:
Bir açıyı derece cinsinden radyana çevirmek için o sayıyı \(\frac{\pi}{180}\) ile çarparız.

Örnek: \(135^\circ\) açısını radyana çevirelim:

\(135^\circ \times \frac{\pi \text{ radyan}}{180^\circ} = \frac{135\pi}{180} \text{ radyan}\)

Bu kesri sadeleştirelim. Hem 135 hem de 180, 45'e bölünebilir:

\(135 \div 45 = 3\)
\(180 \div 45 = 4\)

Dolayısıyla, \(135^\circ = \frac{3\pi}{4}\) radyandır.

💡 Çözüm Adımları:

Birim çember, merkezi koordinat sisteminin başlangıç noktası (0,0) olan ve yarıçapı 1 birim olan çemberdir. Denklemi \(x^2 + y^2 = 1\)'dir.

Trigonometride birim çemberin önemi:

1. Fonksiyonların Tanım Kümesi ve Değer Kümesi: Birim çember, trigonometrik fonksiyonların (sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant) tüm reel sayılar için tanımlanabileceğini ve değerlerinin belirli sınırlar içinde kaldığını görselleştirir.
2. Açıların Genişletilmesi: Açıları sadece dik üçgenlerle sınırlı kalmadan, 0 ile \(360^\circ\) (veya 0 ile \(2\pi\) radyan) arasındaki tüm değerler ve hatta daha büyük açılar için de incelememizi sağlar.
3. İşaretlerin Belirlenmesi: Farklı bölgelerdeki (I, II, III, IV) açıların trigonometrik oranlarının işaretlerinin (pozitif veya negatif) kolayca belirlenmesini sağlar.

Sinüs ve Kosinüs Değerleri:

Birim çember üzerinde, pozitif x-ekseninden başlayarak saat yönünün tersine doğru bir \(\theta\) açısı aldığımızda, bu açının birim çemberi kestiği noktanın koordinatları \((x, y)\) olsun.

* Bu noktanın x-koordinatı, \(\theta\) açısının kosinüs değerine eşittir: \(x = \cos \theta\).
* Bu noktanın y-koordinatı, \(\theta\) açısının sinüs değerine eşittir: \(y = \sin \theta\).

Örneğin, \(90^\circ\) açısı için birim çember üzerindeki nokta \((0, 1)\)'dir. Bu durumda \(\cos 90^\circ = 0\) ve \(\sin 90^\circ = 1\)'dir.

Bu ilişki, \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) özdeşliğinin de geometrik temelini oluşturur, çünkü birim çember üzerindeki her nokta için Pisagor teoremi geçerlidir.