🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Thales Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Thales Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, DE doğru parçası BC kenarına paraleldir. 📌
A noktası tepe noktasıdır. D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası ise AC kenarı üzerindedir.
Eğer \( AD = 3 \) birim, \( DB = 6 \) birim ve \( AE = 4 \) birim ise, \( EC \) kaç birimdir?
(Şekli zihninizde canlandırın: A en üstte, BC taban, DE tabana paralel ve üçgeni kesen bir çizgi.)
A noktası tepe noktasıdır. D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası ise AC kenarı üzerindedir.
Eğer \( AD = 3 \) birim, \( DB = 6 \) birim ve \( AE = 4 \) birim ise, \( EC \) kaç birimdir?
(Şekli zihninizde canlandırın: A en üstte, BC taban, DE tabana paralel ve üçgeni kesen bir çizgi.)
Çözüm:
Bu problemde, Temel Orantı Teoremi'ni (Thales Teoremi'nin bir uygulaması) kullanacağız. 💡
DE doğru parçası BC kenarına paralel olduğu için, AB ve AC kenarları üzerinde orantılı parçalar oluşturur.
DE doğru parçası BC kenarına paralel olduğu için, AB ve AC kenarları üzerinde orantılı parçalar oluşturur.
- 👉 Orantıyı Kurma:
\[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \] - 👉 Verilen Değerleri Yerine Koyma:
\( AD = 3 \), \( DB = 6 \) ve \( AE = 4 \) olduğu için, denklemimiz şu şekilde olur:
\[ \frac{3}{6} = \frac{4}{EC} \] - 👉 Denklemi Çözme:
Öncelikle, \( \frac{3}{6} \) kesrini sadeleştirelim:
\[ \frac{1}{2} = \frac{4}{EC} \] Şimdi içler dışlar çarpımı yapalım:
\( 1 \times EC = 2 \times 4 \)
\( EC = 8 \) birim.
Örnek 2:
Üç paralel doğru \( d_1, d_2, d_3 \) sırasıyla \( A, B, C \) noktalarında bir \( k \) doğrusunu ve \( D, E, F \) noktalarında bir \( l \) doğrusunu kesmektedir. 📌
\( d_1 \parallel d_2 \parallel d_3 \)'tür.
Eğer \( AB = x+2 \) birim, \( BC = 2x-1 \) birim, \( DE = 6 \) birim ve \( EF = 8 \) birim ise, \( x \) kaçtır?
\( d_1 \parallel d_2 \parallel d_3 \)'tür.
Eğer \( AB = x+2 \) birim, \( BC = 2x-1 \) birim, \( DE = 6 \) birim ve \( EF = 8 \) birim ise, \( x \) kaçtır?
Çözüm:
Bu problemde, Paralel Doğruların Kestiği Orantılı Parçalar Teoremi'ni (genişletilmiş Thales Teoremi) uygulayacağız. 💡
Paralel doğrular iki farklı doğruyu kestiğinde, bu doğrular üzerinde orantılı parçalar oluşturur.
Paralel doğrular iki farklı doğruyu kestiğinde, bu doğrular üzerinde orantılı parçalar oluşturur.
- 👉 Orantıyı Kurma:
\[ \frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} \] - 👉 Verilen Değerleri Yerine Koyma:
\( AB = x+2 \), \( BC = 2x-1 \), \( DE = 6 \) ve \( EF = 8 \) olduğu için, denklemimiz şu şekildedir:
\[ \frac{x+2}{2x-1} = \frac{6}{8} \] - 👉 Denklemi Çözme:
Öncelikle, \( \frac{6}{8} \) kesrini sadeleştirelim:
\[ \frac{x+2}{2x-1} = \frac{3}{4} \] Şimdi içler dışlar çarpımı yapalım:
\( 4 \times (x+2) = 3 \times (2x-1) \)
Parantezleri dağıtalım:
\( 4x + 8 = 6x - 3 \)
\( x \) terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım:
\( 8 + 3 = 6x - 4x \)
\( 11 = 2x \)
Her iki tarafı 2'ye bölelim:
\[ x = \frac{11}{2} \]
Örnek 3:
Bir mühendis, bir binanın yüksekliğini ölçmek için aşağıdaki yöntemi kullanıyor: 📏
Mühendis, yerden \( 1.5 \) metre yükseklikteki bir gözlem noktasından (G) binanın en üst noktasını (B) görüyor. Mühendisin yerden uzaklığı (yatayda) \( 10 \) metre iken, gözlem noktası ile bina arasına, yerden \( 3 \) metre yükseklikte bir direk (D) yerleştiriliyor. Bu direk, mühendisin gözlem noktasından binanın tepesine uzanan görüş hattını kesiyor. Direğin mühendise olan yatay uzaklığı \( 2 \) metredir.
Buna göre, binanın yüksekliği kaç metredir? (Tüm noktalar aynı düzlemdedir ve mühendisin gözlem noktası, direğin üst noktası ve binanın en üst noktası doğrusaldır.)
Mühendis, yerden \( 1.5 \) metre yükseklikteki bir gözlem noktasından (G) binanın en üst noktasını (B) görüyor. Mühendisin yerden uzaklığı (yatayda) \( 10 \) metre iken, gözlem noktası ile bina arasına, yerden \( 3 \) metre yükseklikte bir direk (D) yerleştiriliyor. Bu direk, mühendisin gözlem noktasından binanın tepesine uzanan görüş hattını kesiyor. Direğin mühendise olan yatay uzaklığı \( 2 \) metredir.
Buna göre, binanın yüksekliği kaç metredir? (Tüm noktalar aynı düzlemdedir ve mühendisin gözlem noktası, direğin üst noktası ve binanın en üst noktası doğrusaldır.)
Çözüm:
Bu problem, benzer üçgenler ve Thales Teoremi prensiplerini kullanarak çözülebilir. 💡
Gözlem noktasını (G), direğin üst noktasını (D') ve binanın üst noktasını (B') birleştiren bir doğru hayal edelim. Mühendisin gözlem noktasının yerden yüksekliği ve direğin yerden yüksekliği, zemine paralel iki doğru parçası oluşturur.
Gözlem noktasını (G), direğin üst noktasını (D') ve binanın üst noktasını (B') birleştiren bir doğru hayal edelim. Mühendisin gözlem noktasının yerden yüksekliği ve direğin yerden yüksekliği, zemine paralel iki doğru parçası oluşturur.
- 👉 Şekli Anlama ve Orantıyı Kurma:
Mühendisin gözlem noktasından itibaren zemine paralel bir çizgi çizersek, bir benzer üçgen durumu oluşur.
Gözlem noktasının yerden yüksekliği \( 1.5 \) metredir.
Direğin yerden yüksekliği \( 3 \) metredir. Direğin gözlem noktasının seviyesinden yüksekliği \( 3 - 1.5 = 1.5 \) metredir.
Binanın toplam yüksekliği \( H \) olsun. Binanın gözlem noktasının seviyesinden yüksekliği \( H - 1.5 \) metredir.
Mühendisin direğe yatay uzaklığı \( 2 \) metre.
Mühendisin binaya yatay uzaklığı \( 10 \) metre.
- 👉 Benzer Üçgenleri Tanımlama:
Gözlem noktasından çizilen yatay çizgi ile direk ve bina arasında oluşan iki dik üçgen benzerdir.
Küçük üçgenin yüksekliği: \( 3 - 1.5 = 1.5 \) metre (direğin gözlem seviyesinden yüksekliği).
Küçük üçgenin tabanı: \( 2 \) metre (mühendisin direğe yatay uzaklığı).
Büyük üçgenin yüksekliği: \( H - 1.5 \) metre (binanın gözlem seviyesinden yüksekliği).
Büyük üçgenin tabanı: \( 10 \) metre (mühendisin binaya yatay uzaklığı).
- 👉 Orantıyı Kurma ve Çözme:
\[ \frac{\text{Küçük Üçgenin Yüksekliği}}{\text{Büyük Üçgenin Yüksekliği}} = \frac{\text{Küçük Üçgenin Tabanı}}{\text{Büyük Üçgenin Tabanı}} \] \[ \frac{1.5}{H - 1.5} = \frac{2}{10} \] Kesri sadeleştirelim:
\[ \frac{1.5}{H - 1.5} = \frac{1}{5} \] İçler dışlar çarpımı yapalım:
\( 5 \times 1.5 = 1 \times (H - 1.5) \)
\( 7.5 = H - 1.5 \)
\( H \) değerini bulmak için \( 1.5 \)'i karşıya atalım:
\( H = 7.5 + 1.5 \)
\( H = 9 \) metre.
Örnek 4:
Bir kişi, güneşli bir günde ☀️ bir ağacın boyunu ölçmek istiyor.
Yere dik duran \( 1.8 \) metre boyundaki bir çubuğun gölge boyu \( 2.4 \) metre olarak ölçülüyor.
Aynı anda, ağacın gölge boyu ise \( 12 \) metre olarak ölçülüyor.
Buna göre, ağacın boyu kaç metredir? (Güneş ışınlarının paralel geldiği varsayılacaktır.)
Yere dik duran \( 1.8 \) metre boyundaki bir çubuğun gölge boyu \( 2.4 \) metre olarak ölçülüyor.
Aynı anda, ağacın gölge boyu ise \( 12 \) metre olarak ölçülüyor.
Buna göre, ağacın boyu kaç metredir? (Güneş ışınlarının paralel geldiği varsayılacaktır.)
Çözüm:
Bu problem, benzer üçgenler ve Thales Teoremi prensiplerinin günlük hayattaki güzel bir uygulamasıdır. 💡
Güneş ışınları paralel geldiği için, çubuk ve gölgesi ile ağaç ve gölgesi arasında oluşan dik üçgenler benzerdir.
Güneş ışınları paralel geldiği için, çubuk ve gölgesi ile ağaç ve gölgesi arasında oluşan dik üçgenler benzerdir.
- 👉 Benzer Üçgenleri Tanımlama:
1. Üçgen (Çubuk): Yükseklik = çubuğun boyu, Taban = çubuğun gölge boyu.
2. Üçgen (Ağaç): Yükseklik = ağacın boyu (bilinmeyen \( x \)), Taban = ağacın gölge boyu.
- 👉 Verilen Bilgiler:
Çubuğun boyu = \( 1.8 \) metre.
Çubuğun gölge boyu = \( 2.4 \) metre.
Ağacın gölge boyu = \( 12 \) metre.
Ağacın boyu = \( x \) metre (aranan değer).
- 👉 Orantıyı Kurma:
Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir:
\[ \frac{\text{Çubuğun Boyu}}{\text{Çubuğun Gölge Boyu}} = \frac{\text{Ağacın Boyu}}{\text{Ağacın Gölge Boyu}} \] \[ \frac{1.8}{2.4} = \frac{x}{12} \] - 👉 Denklemi Çözme:
Önce \( \frac{1.8}{2.4} \) kesrini sadeleştirelim. Her iki tarafı \( 0.6 \)'ya bölebiliriz:
\( 1.8 \div 0.6 = 3 \)
\( 2.4 \div 0.6 = 4 \)
Yani, \( \frac{1.8}{2.4} = \frac{3}{4} \).
Denklemimiz şimdi şu şekilde:
\[ \frac{3}{4} = \frac{x}{12} \] İçler dışlar çarpımı yapalım:
\( 4 \times x = 3 \times 12 \)
\( 4x = 36 \)
Her iki tarafı 4'e bölelim:
\( x = 9 \) metre.
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde, D noktası AB üzerinde ve E noktası AC üzerindedir.
Eğer \( AD = 4 \) birim, \( AB = 10 \) birim, \( AE = 6 \) birim ve \( AC = 15 \) birim ise, DE doğru parçasının BC doğru parçasına paralel olup olmadığını belirleyiniz.
Eğer \( AD = 4 \) birim, \( AB = 10 \) birim, \( AE = 6 \) birim ve \( AC = 15 \) birim ise, DE doğru parçasının BC doğru parçasına paralel olup olmadığını belirleyiniz.
Çözüm:
Bu problemde, Temel Orantı Teoremi'nin karşıtını (tersini) kullanarak DE'nin BC'ye paralel olup olmadığını kontrol edeceğiz. 💡
Eğer \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \) oranı sağlanıyorsa, DE doğru parçası BC'ye paraleldir.
Eğer \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \) oranı sağlanıyorsa, DE doğru parçası BC'ye paraleldir.
- 👉 Gerekli Uzunlukları Bulma:
\( AD = 4 \) birim ve \( AB = 10 \) birim ise, \( DB = AB - AD = 10 - 4 = 6 \) birimdir.
\( AE = 6 \) birim ve \( AC = 15 \) birim ise, \( EC = AC - AE = 15 - 6 = 9 \) birimdir.
- 👉 Oranları Hesaplama:
Birinci oran: \( \frac{AD}{DB} = \frac{4}{6} \). Bu kesri sadeleştirirsek \( \frac{2}{3} \) olur.
İkinci oran: \( \frac{AE}{EC} = \frac{6}{9} \). Bu kesri sadeleştirirsek \( \frac{2}{3} \) olur.
- 👉 Sonucu Karşılaştırma:
Gördüğümüz gibi, \( \frac{AD}{DB} = \frac{2}{3} \) ve \( \frac{AE}{EC} = \frac{2}{3} \).
Oranlar birbirine eşittir: \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \).
Örnek 6:
Bir ABC üçgeninde, D noktası AB üzerinde, E noktası AC üzerinde ve DE doğru parçası BC kenarına paraleldir.
Eğer \( AD = 2x+1 \) birim, \( DB = x+3 \) birim, \( AE = 4 \) birim ve \( EC = 3 \) birim ise, \( x \) kaçtır?
Eğer \( AD = 2x+1 \) birim, \( DB = x+3 \) birim, \( AE = 4 \) birim ve \( EC = 3 \) birim ise, \( x \) kaçtır?
Çözüm:
Bu problemde, Temel Orantı Teoremi'ni kullanarak \( x \) değerini bulacağız. 💡
DE doğru parçası BC kenarına paralel olduğu için, AB ve AC kenarları üzerinde orantılı parçalar oluşturur.
DE doğru parçası BC kenarına paralel olduğu için, AB ve AC kenarları üzerinde orantılı parçalar oluşturur.
- 👉 Orantıyı Kurma:
\[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \] - 👉 Verilen Değerleri Yerine Koyma:
\( AD = 2x+1 \), \( DB = x+3 \), \( AE = 4 \) ve \( EC = 3 \) olduğu için, denklemimiz şu şekildedir:
\[ \frac{2x+1}{x+3} = \frac{4}{3} \] - 👉 Denklemi Çözme:
İçler dışlar çarpımı yapalım:
\( 3 \times (2x+1) = 4 \times (x+3) \)
Parantezleri dağıtalım:
\( 6x + 3 = 4x + 12 \)
\( x \) terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım:
\( 6x - 4x = 12 - 3 \)
\( 2x = 9 \)
Her iki tarafı 2'ye bölelim:
\[ x = \frac{9}{2} \]
Örnek 7:
Bir harita üzerinde, üç paralel sokak \( S_1, S_2, S_3 \) iki ana caddeyi \( C_1 \) ve \( C_2 \) kesmektedir. 🗺️
\( C_1 \) caddesi üzerinde \( S_1 \) ile \( S_2 \) arasındaki mesafe \( 4 \) cm, \( S_2 \) ile \( S_3 \) arasındaki mesafe ise \( 6 \) cm olarak ölçülmüştür.
Eğer \( C_2 \) caddesi üzerinde \( S_1 \) ile \( S_2 \) arasındaki mesafe \( 5 \) cm ise, \( S_2 \) ile \( S_3 \) arasındaki mesafe kaç cm'dir?
\( C_1 \) caddesi üzerinde \( S_1 \) ile \( S_2 \) arasındaki mesafe \( 4 \) cm, \( S_2 \) ile \( S_3 \) arasındaki mesafe ise \( 6 \) cm olarak ölçülmüştür.
Eğer \( C_2 \) caddesi üzerinde \( S_1 \) ile \( S_2 \) arasındaki mesafe \( 5 \) cm ise, \( S_2 \) ile \( S_3 \) arasındaki mesafe kaç cm'dir?
Çözüm:
Bu problem, Paralel Doğruların Kestiği Orantılı Parçalar Teoremi'nin harita üzerindeki bir uygulamasını göstermektedir. 💡
- 👉 Verilen Bilgileri Tanımlama:
\( C_1 \) üzerindeki parçalar: \( d_1 = 4 \) cm ( \( S_1 \) ile \( S_2 \) arası), \( d_2 = 6 \) cm ( \( S_2 \) ile \( S_3 \) arası).
\( C_2 \) üzerindeki parça: \( d'_1 = 5 \) cm ( \( S_1 \) ile \( S_2 \) arası).
Aranan: \( C_2 \) üzerindeki \( S_2 \) ile \( S_3 \) arası mesafe (\( d'_2 \)).
- 👉 Orantıyı Kurma:
Paralel sokaklar (\( S_1, S_2, S_3 \)) iki ana caddeyi (\( C_1, C_2 \)) kestiği için, bu caddeler üzerinde orantılı parçalar oluşur:
\[ \frac{d_1}{d_2} = \frac{d'_1}{d'_2} \] - 👉 Değerleri Yerine Koyma:
\[ \frac{4}{6} = \frac{5}{d'_2} \] - 👉 Denklemi Çözme:
Öncelikle \( \frac{4}{6} \) kesrini sadeleştirelim:
\[ \frac{2}{3} = \frac{5}{d'_2} \] Şimdi içler dışlar çarpımı yapalım:
\( 2 \times d'_2 = 3 \times 5 \)
\( 2d'_2 = 15 \)
Her iki tarafı 2'ye bölelim:
\[ d'_2 = \frac{15}{2} \] \( d'_2 = 7.5 \) cm.
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde, D noktası AB üzerinde ve E noktası AC üzerindedir. DE doğru parçası BC kenarına paraleldir.
Eğer \( AD = 5 \) birim, \( AB = 15 \) birim ve \( AE = 4 \) birim ise, \( AC \) kaç birimdir?
Eğer \( AD = 5 \) birim, \( AB = 15 \) birim ve \( AE = 4 \) birim ise, \( AC \) kaç birimdir?
Çözüm:
Bu problemde, Temel Orantı Teoremi'ni farklı bir oranlama biçimiyle kullanacağız. 💡
DE doğru parçası BC kenarına paralel olduğu için, küçük üçgen (ADE) ile büyük üçgen (ABC) benzerdir. Bu durumda, karşılıklı kenarların oranları eşittir.
DE doğru parçası BC kenarına paralel olduğu için, küçük üçgen (ADE) ile büyük üçgen (ABC) benzerdir. Bu durumda, karşılıklı kenarların oranları eşittir.
- 👉 Orantıyı Kurma:
Küçük üçgenin bir kenarının, büyük üçgenin karşılık gelen kenarına oranı sabittir:
\[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \] - 👉 Verilen Değerleri Yerine Koyma:
\( AD = 5 \), \( AB = 15 \) ve \( AE = 4 \) olduğu için, denklemimiz şu şekildedir:
\[ \frac{5}{15} = \frac{4}{AC} \] - 👉 Denklemi Çözme:
Öncelikle \( \frac{5}{15} \) kesrini sadeleştirelim:
\[ \frac{1}{3} = \frac{4}{AC} \] Şimdi içler dışlar çarpımı yapalım:
\( 1 \times AC = 3 \times 4 \)
\( AC = 12 \) birim.
Örnek 9:
Bir ABC üçgeninde, D noktası AB üzerinde, E noktası AC üzerinde ve DE doğru parçası BC kenarına paraleldir.
Ayrıca, F noktası DE üzerinde ve G noktası BC üzerindedir. AG doğru parçası DE'yi F noktasında, BC'yi G noktasında kesmektedir.
Eğer \( AD = 4 \) birim, \( DB = 6 \) birim ve \( DF = 3 \) birim ise, \( BG \) kaç birimdir?
Ayrıca, F noktası DE üzerinde ve G noktası BC üzerindedir. AG doğru parçası DE'yi F noktasında, BC'yi G noktasında kesmektedir.
Eğer \( AD = 4 \) birim, \( DB = 6 \) birim ve \( DF = 3 \) birim ise, \( BG \) kaç birimdir?
Çözüm:
Bu problem, Temel Orantı Teoremi'nin daha karmaşık bir uygulamasını içermektedir. 💡
DE // BC olduğu için, \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) (ADE üçgeni ABC üçgenine benzerdir). Ayrıca, AG doğrusu bu benzer üçgenlerin birer kenarortayı (veya herhangi bir çizgisi) gibi davranır ve benzerlik oranını korur.
DE // BC olduğu için, \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) (ADE üçgeni ABC üçgenine benzerdir). Ayrıca, AG doğrusu bu benzer üçgenlerin birer kenarortayı (veya herhangi bir çizgisi) gibi davranır ve benzerlik oranını korur.
- 👉 Benzerlik Oranını Bulma:
\( AD = 4 \) birim ve \( DB = 6 \) birim ise, \( AB = AD + DB = 4 + 6 = 10 \) birimdir.
\( \triangle ADE \) ile \( \triangle ABC \) arasındaki benzerlik oranı \( k \) şu şekildedir:
\[ k = \frac{AD}{AB} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \] - 👉 DE ve BC Arasındaki İlişki:
Benzerlik oranına göre, \( \frac{DE}{BC} = k = \frac{2}{5} \) olur.
Ancak, burada DE'nin tamamını bilmiyoruz. DF uzunluğunu kullanarak BG'yi bulmaya çalışacağız. - 👉 AG Doğrusunun Oluşturduğu Oran:
AG doğrusu, benzer üçgenlerin içinden geçtiği için, bu doğru üzerinde de benzerlik oranı korunur. Yani, \( \triangle ADF \) ile \( \triangle ABG \) üçgenleri de benzerdir.
Bu benzerlikten yola çıkarak:
\[ \frac{AD}{AB} = \frac{DF}{BG} \] - 👉 Değerleri Yerine Koyma ve Çözme:
\( AD = 4 \), \( AB = 10 \) ve \( DF = 3 \) olduğu için, denklemimiz şu şekildedir:
\[ \frac{4}{10} = \frac{3}{BG} \] Kesri sadeleştirelim:
\[ \frac{2}{5} = \frac{3}{BG} \] İçler dışlar çarpımı yapalım:
\( 2 \times BG = 5 \times 3 \)
\( 2BG = 15 \)
Her iki tarafı 2'ye bölelim:
\[ BG = \frac{15}{2} \] \( BG = 7.5 \) birim.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-thales/sorular