💡 9. Sınıf Matematik: Thales Ve Öklid Teoremleri Çözümlü Örnekler

• ✅ Paralel doğrular (DE // BC) bir üçgenin kenarlarını orantılı olarak böler.
• 👉 Yani, \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \) eşitliğini yazabiliriz.
• Şimdi verilen değerleri yerine yazalım:
  \[ \frac{4}{8} = \frac{3}{EC} \]
• Denklemi basitleştirelim:
  \[ \frac{1}{2} = \frac{3}{EC} \]
• İçler dışlar çarpımı yaparak EC'yi bulalım:
  \[ 1 \cdot EC = 2 \cdot 3 \] \[ EC = 6 \text{ cm} \]

Buna göre, EC uzunluğu 6 cm'dir. ✅

• ✅ AB // CD olduğu için iç ters açılar eşittir. Bu da KAB ve KCD üçgenlerinin benzer olduğunu gösterir.
• 👉 Benzer üçgenlerde kenar uzunlukları oranı eşittir:
  \[ \frac{AB}{CD} = \frac{AK}{KC} \]
• Verilen değerleri denklemde yerine koyalım:
  \[ \frac{6}{9} = \frac{4}{KC} \]
• Denklemi basitleştirelim:
  \[ \frac{2}{3} = \frac{4}{KC} \]
• İçler dışlar çarpımı yaparak KC'yi bulalım:
  \[ 2 \cdot KC = 3 \cdot 4 \] \[ 2 \cdot KC = 12 \] \[ KC = \frac{12}{2} \] \[ KC = 6 \text{ cm} \]

Buna göre, KC uzunluğu 6 cm'dir. ✅

• ✅ Paralel doğrular, kendilerini kesen doğrular üzerinde orantılı parçalar ayırır.
• 👉 Yani, birinci doğru üzerindeki parçaların oranı, ikinci doğru üzerindeki karşılık gelen parçaların oranına eşittir.
  \[ \frac{\text{Birinci doğrunun üst parçası}}{\text{Birinci doğrunun alt parçası}} = \frac{\text{İkinci doğrunun üst parçası}}{\text{İkinci doğrunun alt parçası}} \]
• Verilen değerleri yerine yazalım:
  \[ \frac{5}{10} = \frac{3}{x} \]
• Denklemi basitleştirelim:
  \[ \frac{1}{2} = \frac{3}{x} \]
• İçler dışlar çarpımı yaparak x'i bulalım:
  \[ 1 \cdot x = 2 \cdot 3 \] \[ x = 6 \text{ cm} \]

Buna göre, ikinci kesen doğru üzerindeki alt parça 6 cm'dir. ✅

• ✅ Dik üçgende, dik köşeden hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
• 👉 Formül: \( h^2 = p \cdot k \)
• Verilen değerleri yerine yazalım:
  \[ h^2 = 2 \cdot 8 \] \[ h^2 = 16 \]
• h'yi bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:
  \[ h = \sqrt{16} \] \[ h = 4 \text{ cm} \]

Buna göre, yüksekliğin uzunluğu 4 cm'dir. ✅

• ✅ Dik üçgende, bir dik kenarın karesi, hipotenüsün tamamı ile bu dik kenara yakın olan hipotenüs parçasının çarpımına eşittir.
• 👉 Formül: \( AB^2 = BH \cdot BC \)
• Öncelikle hipotenüsün tamamını (BC) bulalım:
  \[ BC = BH + HC = 3 + 9 = 12 \text{ cm} \]
• Şimdi formülde değerleri yerine yazalım:
  \[ AB^2 = 3 \cdot 12 \] \[ AB^2 = 36 \]
• AB'yi bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:
  \[ AB = \sqrt{36} \] \[ AB = 6 \text{ cm} \]

Buna göre, AB kenarının uzunluğu 6 cm'dir. ✅

• Adım 1: Diğer hipotenüs parçasını bulma (Yükseklik Teoremi)
• ✅ Yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerindeki parçaların çarpımına eşittir: \( h^2 = p \cdot k \)
• Verilenler: \( h = 6 \) cm, \( p = 3 \) cm. Diğer parçaya \( k \) diyelim.
  \[ 6^2 = 3 \cdot k \] \[ 36 = 3 \cdot k \] \[ k = \frac{36}{3} \] \[ k = 12 \text{ cm} \]
• Adım 2: Hipotenüsün toplam uzunluğunu bulma
• Hipotenüsün toplam uzunluğu, iki parçanın toplamıdır:
  \[ \text{Hipotenüs} = p + k \] \[ \text{Hipotenüs} = 3 + 12 \] \[ \text{Hipotenüs} = 15 \text{ cm} \]

Buna göre, hipotenüsün diğer parçası 12 cm ve hipotenüsün toplam uzunluğu 15 cm'dir. ✅

• ✅ Ağaç ve gölgesi ile kişi ve gölgesi, dik açılı ve tepe açıları aynı (güneş ışınları nedeniyle) olan benzer üçgenler oluşturur.
• 👉 Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları eşittir:
  \[ \frac{\text{Ağacın boyu}}{\text{Ağacın gölgesi}} = \frac{\text{Kişinin boyu}}{\text{Kişinin gölgesi}} \]
• Verilen değerleri yerine yazalım:
  \[ \frac{5}{8} = \frac{\text{Kişinin boyu}}{2} \]
• Kişinin boyuna \( x \) diyelim ve denklemi çözelim:
  \[ 8 \cdot x = 5 \cdot 2 \] \[ 8x = 10 \] \[ x = \frac{10}{8} \] \[ x = \frac{5}{4} \] \[ x = 1.25 \text{ metre} \]

Buna göre, bu kişinin boyu 1.25 metredir. ✅

• Adım 1: Ana kirişin (hipotenüsün) uzunluğunu bulma
• ✅ Çatı dik üçgen şeklinde olduğu için Pisagor Teoremi'ni kullanabiliriz: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
  \[ 6^2 + 8^2 = c^2 \] \[ 36 + 64 = c^2 \] \[ 100 = c^2 \] \[ c = \sqrt{100} = 10 \text{ metre} \]
• Adım 2: Destek kirişinin (yüksekliğin) uzunluğunu bulma
• ✅ Dik üçgende alan formülünden veya Öklid'in Yükseklik Teoremi'nin türetilmiş halinden faydalanabiliriz: \( a \cdot b = c \cdot h \).
  \[ 6 \cdot 8 = 10 \cdot h \] \[ 48 = 10 \cdot h \] \[ h = \frac{48}{10} = 4.8 \text{ metre} \]
• Adım 3: Ana kiriş üzerinde ayırdığı parçaların (p ve k) uzunluklarını bulma
• ✅ Öklid'in Dik Kenar Teoremi'ni kullanırız: \( a^2 = p \cdot c \) ve \( b^2 = k \cdot c \).
  \[ 6^2 = p \cdot 10 \implies 36 = 10p \implies p = 3.6 \text{ metre} \] \[ 8^2 = k \cdot 10 \implies 64 = 10k \implies k = 6.4 \text{ metre} \]

Buna göre, mühendis destek kirişinin uzunluğunu 4.8 metre olarak hesaplar ve bu kirişi ana kiriş üzerinde 3.6 metre ve 6.4 metrelik parçalar ayıracak şekilde konumlandırır. Bu sayede çatının dengesini ve dayanıklılığını maksimuma çıkarabilir. ✅