💡 9. Sınıf Matematik: Thales teoremi, standart sapma Çözümlü Örnekler

Thales Teoremi'ne göre paralel doğruların kestiği parçalar arasında bir oran vardır. Çözüm adımları şu şekildedir:

• Paralel doğrular arasındaki parçaların oranını kuralım:
• \[ \frac{4}{6} = \frac{x}{9} \]
• İçler dışlar çarpımı yaparak denklemi çözelim:
• \( 6 \times x = 4 \times 9 \)
• \( 6x = 36 \)
• Her iki tarafı \( 6 \)'ya böldüğümüzde:
• \( x = 6 \) birim olarak bulunur. ✅

Üçgenlerde temel orantı teoremine (Thales) göre, bir kenara paralel olan doğru diğer iki kenarı orantılı parçalara böler.

• Orantıyı şu şekilde kurarız:
• \[ \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \]
• Verilen değerleri yerine yazalım:
• \[ \frac{3}{5} = \frac{6}{y} \]
• Denklemi çözelim:
• \( 3 \times y = 5 \times 6 \)
• \( 3y = 30 \)
• \( y = 10 \) cm bulunur. 🎯

Bu soru, güneş ışınlarının paralel gelmesi prensibiyle bir Thales teoremi uygulamasıdır. Nesnelerin boyları ile gölge boyları doğru orantılıdır.

• Orantıyı kuralım:
• \[ \frac{\text{Öğrencinin Boyu}}{\text{Öğrencinin Gölgesi}} = \frac{\text{Direğin Boyu}}{\text{Direğin Gölgesi}} \]
• Değerleri yerleştirelim:
• \[ \frac{1.5}{2} = \frac{h}{8} \]
• İçler dışlar çarpımı yapalım:
• \( 2 \times h = 1.5 \times 8 \)
• \( 2h = 12 \)
• \( h = 6 \) metre.
• Bayrak direğinin boyu 6 metre olarak hesaplanır. ✅

Standart sapma hesaplamak için adım adım ilerleyelim:

• 1. Adım: Aritmetik ortalamayı (\( \bar{x} \)) bulalım.
• \[ \bar{x} = \frac{4 + 6 + 8}{3} = \frac{18}{3} = 6 \]
• 2. Adım: Her bir verinin ortalamadan farkının karesini alalım.
• \( (4 - 6)^2 = (-2)^2 = 4 \)
• \( (6 - 6)^2 = 0^2 = 0 \)
• \( (8 - 6)^2 = 2^2 = 4 \)
• 3. Adım: Bu kareleri toplayalım.
• \( 4 + 0 + 4 = 8 \)
• 4. Adım: Toplamı, veri sayısının bir eksiğine (\( n - 1 \)) bölelim.
• \( n = 3 \) olduğu için \( n - 1 = 2 \)'dir.
• \( 8 / 2 = 4 \) (Bu değer varyanstır).
• 5. Adım: Çıkan sonucun karekökünü alalım.
• \( \sqrt{4} = 2 \)
• Veri grubunun standart sapması 2'dir. 📌

İstikrarı ölçmek için verilerin ne kadar yayıldığına, yani standart sapmaya bakılır.

• Ali'nin Durumu: Tüm veriler aynıdır. Ortalaması \( 50 \)'dir. Verilerin ortalamadan farkı \( 0 \) olduğu için standart sapması 0'dır.
• Veli'nin Durumu: Veriler ortalamadan (50) uzaklaşmıştır. Standart sapması \( 0 \)'dan büyüktür.
• Sonuç: Standart sapma ne kadar küçükse, veriler ortalamaya o kadar yakındır ve o grup o kadar istikrarlıdır.
• Ali'nin standart sapması daha küçük olduğu için Ali, Veli'ye göre daha istikrarlıdır. 🏆

Bu problem, paralel doğruların farklı kesenler üzerinde oluşturduğu oranları sormaktadır.

• Thales bağıntısını kuralım:
• \[ \frac{20}{30} = \frac{24}{x} \]
• Sadeleştirme yapalım:
• \[ \frac{2}{3} = \frac{24}{x} \]
• İçler dışlar çarpımı:
• \( 2 \times x = 3 \times 24 \)
• \( 2x = 72 \)
• \( x = 36 \) metre.
• İkinci cadde üzerindeki mesafe 36 metre olarak bulunur. 🚲

Üretim süreçlerinde standart sapmanın düşük olması, ürünlerin birbirine çok yakın ve standartlara uygun olduğunu gösterir.

• A makinesinin standart sapması (\( 0.5 \)), B makinesinin standart sapmasından (\( 2.1 \)) çok daha küçüktür.
• Bu durum, A makinesinin her şişeye hemen hemen aynı miktarda süt doldurduğunu, B makinesinin ise bazen çok az bazen çok fazla doldurarak hata payının yüksek olduğunu gösterir.
• Cevap: A makinesi daha güvenilirdir. ✅

Thales teoremini (Temel Orantı) uygulayalım:

• Oran: \[ \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \]
• Değerleri yerine koyalım:
• \[ \frac{x}{2} = \frac{x + 3}{4} \]
• İçler dışlar çarpımı yapalım:
• \( 4 \times x = 2 \times (x + 3) \)
• \( 4x = 2x + 6 \)
• \( 2x \)'i sol tarafa atalım:
• \( 4x - 2x = 6 \)
• \( 2x = 6 \)
• \( x = 3 \) olarak bulunur. 🌟