🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Thales, Pisagor Ve Öklid Teoremleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Thales, Pisagor Ve Öklid Teoremleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgende dik kenarlar 6 cm ve 8 cm olduğuna göre, hipotenüs kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. Pisagor Teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu söyler.
- Dik kenarlarımız \(a = 6\) cm ve \(b = 8\) cm olsun.
- Hipotenüsümüz \(c\) olsun.
- Pisagor Teoremi formülü: \(a^2 + b^2 = c^2\)
- Değerleri yerine koyalım: \(6^2 + 8^2 = c^2\)
- Kareleri hesaplayalım: \(36 + 64 = c^2\)
- Toplamı bulalım: \(100 = c^2\)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \(c = \sqrt{100}\)
- Sonuç: \(c = 10\) cm
Örnek 2:
Bir dik üçgende hipotenüs 13 cm ve bir dik kenar 5 cm'dir. Diğer dik kenar kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
Yine Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.
- Hipotenüs \(c = 13\) cm ve bir dik kenar \(a = 5\) cm olsun.
- Diğer dik kenar \(b\) olsun.
- Pisagor Teoremi: \(a^2 + b^2 = c^2\)
- Değerleri yerine koyalım: \(5^2 + b^2 = 13^2\)
- Kareleri hesaplayalım: \(25 + b^2 = 169\)
- \(b^2\)'yi yalnız bırakalım: \(b^2 = 169 - 25\)
- Çıkarma işlemini yapalım: \(b^2 = 144\)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \(b = \sqrt{144}\)
- Sonuç: \(b = 12\) cm
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde AB kenarı 10 cm, AC kenarı 15 cm ve A açısı 60 derecedir. BC kenarının uzunluğunu bulunuz. (Bu soruda 9. Sınıf müfredatında henüz işlenmemiş olan Kosinüs Teoremi gereklidir. Bu nedenle, bu örnek müfredat dışı olacaktır. Yerine müfredata uygun bir Öklid Teoremi örneği verilecektir.)
[TEXT] Bir ABC dik üçgeninde C açısı 90 derecedir. AC = 8 cm ve BC = 6 cm'dir. Bu üçgenin kenarortaylarının kesim noktası olan ağırlık merkezine olan uzaklıkları hesaplayınız. (Bu soru da 9. Sınıf müfredatının dışındadır. Yerine daha uygun bir Öklid örneği verilecektir.)
[TEXT] Bir ABC dik üçgeninde C açısı 90 derecedir. CD, AB kenarına ait yüksekliktir. AD = 4 cm ve DB = 9 cm olduğuna göre, AC kenarının uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu soruda Öklid'in Yükseklik Teoremi'ni kullanacağız. Bu teorem, dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçalarla ilgilidir.
- Öklid'in Yükseklik Teoremi'ne göre, yükseklik (CD) ile kendisi çarpımı, hipotenüsün üzerindeki iki parçanın (AD ve DB) çarpımına eşittir. Formülü: \(h^2 = p \times k\)
- Ancak bizden AC kenarı isteniyor. Bunun için Öklid'in Dik Kenar Teoremi'ni kullanabiliriz. Bu teorem, dik kenarların karelerinin, hipotenüsün o kenarın üzerindeki izdüşümünün hipotenüs ile çarpımına eşit olduğunu belirtir. Formülü: \(a^2 = k \times c\) veya \(b^2 = p \times c\)
- Öncelikle hipotenüsün tamamını bulalım: \(AB = AD + DB = 4 + 9 = 13\) cm.
- Şimdi AC kenarını bulmak için dik kenar teoremini kullanalım. AC kenarının hipotenüs üzerindeki izdüşümü AD'dir.
- Formül: \(AC^2 = AD \times AB\)
- Değerleri yerine koyalım: \(AC^2 = 4 \times 13\)
- Çarpımı hesaplayalım: \(AC^2 = 52\)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \(AC = \sqrt{52}\)
- Kökü sadeleştirelim: \(AC = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13}\) cm
Örnek 4:
Bir ABC dik üçgeninde C açısı 90 derecedir. CD, AB kenarına ait yüksekliktir. AD = 4 cm ve DB = 9 cm olduğuna göre, BC kenarının uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu soruda da Öklid'in Dik Kenar Teoremi'ni kullanacağız.
- Hipotenüs \(AB = AD + DB = 4 + 9 = 13\) cm.
- BC kenarının hipotenüs üzerindeki izdüşümü DB'dir.
- Formül: \(BC^2 = DB \times AB\)
- Değerleri yerine koyalım: \(BC^2 = 9 \times 13\)
- Çarpımı hesaplayalım: \(BC^2 = 117\)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \(BC = \sqrt{117}\)
- Kökü sadeleştirelim: \(BC = \sqrt{9 \times 13} = 3\sqrt{13}\) cm
Örnek 5:
Bir ABC dik üçgeninde C açısı 90 derecedir. CD, AB kenarına ait yüksekliktir. AD = 4 cm ve DB = 9 cm olduğuna göre, CD (yükseklik) kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu soruda Öklid'in Yükseklik Teoremi'ni kullanacağız.
- Öklid'in Yükseklik Teoremi: \(CD^2 = AD \times DB\)
- Değerleri yerine koyalım: \(CD^2 = 4 \times 9\)
- Çarpımı hesaplayalım: \(CD^2 = 36\)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \(CD = \sqrt{36}\)
- Sonuç: \(CD = 6\) cm
Örnek 6:
Bir inşaat işçisi, bir duvarın tam ortasına gelecek şekilde bir merdiven dayayacaktır. Merdivenin uzunluğu 5 metre ve duvardan 3 metre uzakta yere konulmuştur. Merdivenin duvara değdiği noktanın yerden yüksekliği kaç metredir? 🪜
Çözüm:
Bu problemde Pisagor Teoremi'ni kullanabiliriz. Merdiven, duvar ve yer bir dik üçgen oluşturur.
- Merdivenin uzunluğu hipotenüstür: \(c = 5\) metre.
- Merdivenin yerdeki ayağının duvardan uzaklığı bir dik kenardır: \(a = 3\) metre.
- Merdivenin duvara değdiği noktanın yerden yüksekliği diğer dik kenardır: \(b\).
- Pisagor Teoremi: \(a^2 + b^2 = c^2\)
- Değerleri yerine koyalım: \(3^2 + b^2 = 5^2\)
- Kareleri hesaplayalım: \(9 + b^2 = 25\)
- \(b^2\)'yi yalnız bırakalım: \(b^2 = 25 - 9\)
- Çıkarma işlemini yapalım: \(b^2 = 16\)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \(b = \sqrt{16}\)
- Sonuç: \(b = 4\) metre
Örnek 7:
Bir parkta, iki ağaç arasındaki en kısa mesafe 12 metre olarak ölçülmüştür. Bir kuş, birinci ağacın tepesinden uçarak ikinci ağacın tepesine konacaktır. Kuşun uçuş mesafesi, ağaçların boyları dikkate alındığında 15 metre olarak hesaplanmıştır. İki ağacın boyları arasındaki fark kaç metredir? 🌳🐦
Çözüm:
Bu soruda da Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. İki ağacın boyları arasındaki fark, dik üçgenin bir dik kenarını oluşturacaktır.
- İki ağaç arasındaki mesafe (yerdeki uzunluk) bir dik kenardır: \(a = 12\) metre.
- Kuşun uçuş mesafesi (iki tepenin arasındaki mesafe) hipotenüstür: \(c = 15\) metre.
- İki ağacın boyları arasındaki fark diğer dik kenardır: \(b\).
- Pisagor Teoremi: \(a^2 + b^2 = c^2\)
- Değerleri yerine koyalım: \(12^2 + b^2 = 15^2\)
- Kareleri hesaplayalım: \(144 + b^2 = 225\)
- \(b^2\)'yi yalnız bırakalım: \(b^2 = 225 - 144\)
- Çıkarma işlemini yapalım: \(b^2 = 81\)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \(b = \sqrt{81}\)
- Sonuç: \(b = 9\) metre
Örnek 8:
Bir ABC dik üçgeninde C açısı 90 derecedir. AC kenarı 9 cm ve BC kenarı 12 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüsüne ait yükseklik (CD) ile hipotenüsün kendisi (AB) arasındaki ilişkiyi bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu soruda hem Pisagor Teoremi hem de Öklid'in Yükseklik Teoremi'ni kullanacağız.
- Öncelikle Pisagor Teoremi ile hipotenüs AB'yi bulalım:
- \(AB^2 = AC^2 + BC^2\)
- \(AB^2 = 9^2 + 12^2\)
- \(AB^2 = 81 + 144\)
- \(AB^2 = 225\)
- \(AB = \sqrt{225} = 15\) cm
- Şimdi Öklid'in Yükseklik Teoremi'ni kullanarak CD yüksekliğini bulalım:
- \(CD^2 = AD \times DB\) formülünü kullanmak için önce AD ve DB'yi bulmamız gerekiyor. Bunun için Öklid'in Dik Kenar Teoremi'ni kullanabiliriz:
- \(AC^2 = AD \times AB \implies 9^2 = AD \times 15 \implies 81 = AD \times 15 \implies AD = \frac{81}{15} = \frac{27}{5}\) cm
- \(BC^2 = DB \times AB \implies 12^2 = DB \times 15 \implies 144 = DB \times 15 \implies DB = \frac{144}{15} = \frac{48}{5}\) cm
- Kontrol edelim: \(AD + DB = \frac{27}{5} + \frac{48}{5} = \frac{75}{5} = 15\) cm (Hipotenüs AB'ye eşit, doğru)
- Şimdi CD'yi bulalım: \(CD^2 = AD \times DB = \frac{27}{5} \times \frac{48}{5} = \frac{1296}{25}\)
- \(CD = \sqrt{\frac{1296}{25}} = \frac{36}{5}\) cm
- Hipotenüs AB = 15 cm ve yükseklik CD = \(\frac{36}{5}\) cm'dir.
- İlişkiyi bulmak için alan formülünü de kullanabiliriz: Dik üçgenin alanı = \(\frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54\) cm²
- Aynı zamanda alan = \(\frac{1}{2} \times AB \times CD = \frac{1}{2} \times 15 \times \frac{36}{5} = \frac{1}{2} \times 3 \times 36 = 54\) cm²
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-thales-pisagor-ve-oklid-teoremleri/sorular