🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Thales Pisagor Öklid Teoremi Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Thales Pisagor Öklid Teoremi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgende dik kenarların uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu dik üçgenin hipotenüsünün uzunluğunu Pisagor teoremini kullanarak bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor teoremini kullanacağız. Pisagor teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.
- Verilenler: Dik kenarlar \(a = 6\) cm ve \(b = 8\) cm.
- İstenen: Hipotenüs \(c\).
- Pisagor Teoremi: \(a^2 + b^2 = c^2\)
- Hesaplama:
- \(6^2 + 8^2 = c^2\)
- \(36 + 64 = c^2\)
- \(100 = c^2\)
- \(c = \sqrt{100}\)
- \(c = 10\) cm
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde, A köşesinden BC kenarına indirilen yükseklik AD'dir. Eğer AB = 13 cm, AC = 15 cm ve BC = 14 cm ise, AD yüksekliğinin uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Öklid'in yükseklik teoremini veya Pisagor teoremini iki kez kullanabiliriz. Burada Pisagor teoremini kullanmayı tercih edeceğiz.
- Verilenler: AB = 13 cm, AC = 15 cm, BC = 14 cm. AD, BC'ye inen yüksekliktir.
- İstenen: AD yüksekliği (h).
- Yaklaşım: BD = x diyelim. O zaman DC = 14 - x olur.
- İki dik üçgen oluşturuyoruz:
- ABD dik üçgeninde: \(AD^2 + BD^2 = AB^2 \Rightarrow h^2 + x^2 = 13^2\)
- ADC dik üçgeninde: \(AD^2 + DC^2 = AC^2 \Rightarrow h^2 + (14-x)^2 = 15^2\)
- Denklemleri çözelim:
- İlk denklemden: \(h^2 = 169 - x^2\)
- İkinci denklemden: \(h^2 = 225 - (14-x)^2\)
- İki \(h^2\) ifadesini eşitleyelim: \(169 - x^2 = 225 - (196 - 28x + x^2)\)
- \(169 - x^2 = 225 - 196 + 28x - x^2\)
- \(169 = 29 + 28x\)
- \(140 = 28x\)
- \(x = 5\) cm
- Şimdi \(h^2\) değerini bulalım: \(h^2 = 169 - x^2 = 169 - 5^2 = 169 - 25 = 144\)
- \(h = \sqrt{144}\)
- \(h = 12\) cm
Örnek 3:
Bir inşaat işçisi, 5 metre yüksekliğindeki bir duvarın üzerine çıkmak için 13 metre uzunluğunda bir merdiven kullanıyor. Merdivenin duvara olan uzaklığının (tabanının) kaç metre olduğunu Pisagor teoremini kullanarak hesaplayınız. 🪜
Çözüm:
Bu durum, bir dik üçgen oluşturur. Merdiven hipotenüs, duvar dik kenar ve merdivenin duvara olan uzaklığı diğer dik kenardır.
- Verilenler: Merdiven uzunluğu (hipotenüs) \(c = 13\) m, Duvar yüksekliği (dik kenar) \(a = 5\) m.
- İstenen: Merdivenin duvara olan uzaklığı (diğer dik kenar) \(b\).
- Pisagor Teoremi: \(a^2 + b^2 = c^2\)
- Hesaplama:
- \(5^2 + b^2 = 13^2\)
- \(25 + b^2 = 169\)
- \(b^2 = 169 - 25\)
- \(b^2 = 144\)
- \(b = \sqrt{144}\)
- \(b = 12\) m
Örnek 4:
Bir parkta, iki ağaç arasındaki düz çizgi mesafesi 20 metredir. Bir kuş, birinci ağacın tepesinden (yerden 15 metre yükseklikte) ikinci ağacın tepesine (yerden 10 metre yükseklikte) uçuyor. Kuşun aldığı mesafeyi (düz uçuş mesafesi) hesaplayınız. 🐦
Çözüm:
Bu problemi çözmek için bir dik üçgen oluşturabiliriz. Kuşun uçtuğu mesafe hipotenüs olacaktır.
- Verilenler: İki ağaç arasındaki yatay mesafe (dik kenar) \(x = 20\) m.
- Ağaç yükseklikleri farkı: Birinci ağaç 15 m, ikinci ağaç 10 m. Yükseklik farkı \(y = 15 - 10 = 5\) m. Bu da diğer dik kenardır.
- İstenen: Kuşun aldığı mesafe (hipotenüs) \(d\).
- Pisagor Teoremi: \(x^2 + y^2 = d^2\)
- Hesaplama:
- \(20^2 + 5^2 = d^2\)
- \(400 + 25 = d^2\)
- \(425 = d^2\)
- \(d = \sqrt{425}\)
- \(d = \sqrt{25 \times 17}\)
- \(d = 5\sqrt{17}\) metre
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde AC kenarı, AB kenarına diktir. AC = 5 birim ve AB = 12 birim ise, BC kenarının uzunluğunu bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu bir dik üçgen sorusudur ve Pisagor teoremi ile çözülebilir.
- Verilenler: Dik kenarlar AC = 5 ve AB = 12.
- İstenen: Hipotenüs BC.
- Pisagor Teoremi: \(AC^2 + AB^2 = BC^2\)
- Hesaplama:
- \(5^2 + 12^2 = BC^2\)
- \(25 + 144 = BC^2\)
- \(169 = BC^2\)
- \(BC = \sqrt{169}\)
- \(BC = 13\) birim
Örnek 6:
Bir ABC dik üçgeninde C açısı 90 derecedir. Bu üçgenin kenarortayı olan CD'nin uzunluğu 5 cm'dir. Eğer AB kenarının uzunluğu 20 cm ise, AC kenarının uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu soruda dik üçgenlerde kenarortay özelliğini ve Pisagor teoremini kullanacağız.
- Bilgi: Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün yarısına eşittir.
- Verilenler: AB (hipotenüs) = 20 cm. CD (kenarortay) = 5 cm.
- Kontrol: Hipotenüsün yarısı = \(20 / 2 = 10\) cm. Verilen kenarortay uzunluğu 5 cm. Bu durum, sorunun dik üçgen tanımına uymadığını gösterir. Soruda bir hata olabilir veya bu bilgiyle çözülemez. Eğer CD kenarortayı hipotenüse ait olsaydı, uzunluğu 10 cm olurdu.
- Varsayım: Soruda "CD kenarortayı" yerine "ABC üçgeninde C köşesinden AB kenarına indirilen yükseklik CD'nin uzunluğu 5 cm" olsaydı, bu Öklid teoremi ile çözülebilirdi. Ancak mevcut haliyle, dik üçgenin hipotenüsüne ait kenarortay uzunluğu 5 cm ise, hipotenüs 10 cm olmalıdır. Bu da verilen 20 cm ile çelişir.
- Soruyu revize ederek çözelim (varsayım): Eğer C açısı 90 derece ve AB = 20 cm ise, hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu 10 cm olmalıdır. Eğer sorulan CD kenarortayı değil de, AC kenarına ait kenarortay olsaydı, bu daha karmaşık bir problem olurdu.
- Soruyu "Bir dik üçgende dik kenarlar AC ve BC'dir. AC = 6 cm ve BC = 8 cm ise, hipotenüse ait kenarortayın uzunluğunu bulunuz." şeklinde revize edersek:
- Hipotenüs AB = \(\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\) cm.
- Hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu = \(10 / 2 = 5\) cm.
Örnek 7:
Bir harita üzerinde A ve B şehirleri arasındaki kuş uçuşu mesafe 15 km olarak gösterilmiştir. Gerçekte bu iki şehir arasındaki yol, düz bir çizgi değil, önce kuzeye 9 km gidip sonra doğuya 12 km giderek ulaşılmaktadır. Bu yolun düz (kuş uçuşu) mesafeden ne kadar daha uzun olduğunu hesaplayınız. 🗺️
Çözüm:
Bu soruda, yolun gittiği yönler bir dik üçgen oluşturur.
- Verilenler: Yolun kuzeye gidişi (dik kenar) \(a = 9\) km, Yolun doğuya gidişi (diğer dik kenar) \(b = 12\) km.
- İstenen: Kuş uçuşu mesafe (hipotenüs) \(c\) ve yolun uzunluğu ile kuş uçuşu mesafesi arasındaki fark.
- Kuş uçuşu mesafeyi hesaplama (Pisagor Teoremi): \(c^2 = a^2 + b^2\)
- \(c^2 = 9^2 + 12^2\)
- \(c^2 = 81 + 144\)
- \(c^2 = 225\)
- \(c = \sqrt{225}\)
- \(c = 15\) km
- Yolun toplam uzunluğu: \(9 + 12 = 21\) km
- Farkı hesaplama: Yolun uzunluğu - Kuş uçuşu mesafesi
- \(21 - 15 = 6\) km
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde, A açısı 90 derecedir. AB = 10 cm ve AC = 24 cm'dir. BC kenarına ait yükseklik AD'dir. AD'nin uzunluğunu Öklid'in yükseklik teoremini kullanarak bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Öklid'in yükseklik teoremini kullanacağız. Bu teorem, dik üçgende dik kenarların çarpımının, hipotenüs ile o hipotenüse ait yüksekliğin çarpımına eşit olduğunu söyler.
- Verilenler: Dik kenarlar AB = 10 cm, AC = 24 cm.
- İstenen: Hipotenüse ait yükseklik AD (h).
- Önce hipotenüs BC'yi bulalım (Pisagor Teoremi):
- \(BC^2 = AB^2 + AC^2\)
- \(BC^2 = 10^2 + 24^2\)
- \(BC^2 = 100 + 576\)
- \(BC^2 = 676\)
- \(BC = \sqrt{676}\)
- \(BC = 26\) cm
- Öklid'in Yükseklik Teoremi: \(AB \times AC = BC \times AD\)
- Hesaplama:
- \(10 \times 24 = 26 \times AD\)
- \(240 = 26 \times AD\)
- \(AD = \frac{240}{26}\)
- \(AD = \frac{120}{13}\) cm
Örnek 9:
Bir futbol sahasının kenar uzunlukları 100 metre ve 50 metredir. Bir futbolcu, sahanın bir köşesinden (A noktası) çapraz olarak karşı köşeye (C noktası) koşuyor. Ardından C noktasından, başlangıç noktasına en yakın olan kenarın orta noktasına (D noktası) koşuyor. Futbolcunun toplam kaç metre koştuğunu hesaplayınız. ⚽
Çözüm:
Bu problemi çözmek için Pisagor teoremini ve temel geometri bilgilerini kullanacağız.
- Saha boyutları: Uzun kenar = 100 m, Kısa kenar = 50 m.
- A noktasından C noktasına koşu (Çapraz): Bu, sahanın köşegenidir ve bir dik üçgenin hipotenüsüdür.
- Dik kenarlar: 100 m ve 50 m.
- Köşegen \(AC^2 = 100^2 + 50^2\)
- \(AC^2 = 10000 + 2500\)
- \(AC^2 = 12500\)
- \(AC = \sqrt{12500} = \sqrt{2500 \times 5} = 50\sqrt{5}\) metre.
- C noktasından D noktasına koşu: D noktası, başlangıç noktasına en yakın olan kenarın orta noktasıdır. Eğer A noktası sol alt köşe ise, en yakın kenar sol kenar (50 m) veya alt kenar (100 m) olabilir. Sorunun "başlangıç noktasına en yakın olan kenar" ifadesi, genellikle kısa kenarı ima eder. Bu durumda D noktası, C'ye bitişik olan 50 metrelik kenarın orta noktasıdır.
- C noktasının koordinatlarını (100, 50) alırsak, A noktası (0,0) olur.
- Başlangıç noktasına (A) en yakın kenar, y ekseni üzerindeki kenardır (uzunluğu 50m). Bu kenarın orta noktası D = (0, 25) olur.
- C noktasından D noktasına olan mesafe:
- İki nokta arasındaki mesafe formülü: \(\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)
- \(CD = \sqrt{(100-0)^2 + (50-25)^2}\)
- \(CD = \sqrt{100^2 + 25^2}\)
- \(CD = \sqrt{10000 + 625}\)
- \(CD = \sqrt{10625}\)
- \(CD = \sqrt{625 \times 17} = 25\sqrt{17}\) metre.
- Toplam koşulan mesafe: \(AC + CD\)
- Toplam Mesafe = \(50\sqrt{5} + 25\sqrt{17}\) metre.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-thales-pisagor-oklid-teoremi/sorular